Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы оптимизации сложных систем. Учебное пособие
.pdf
41
Рассмотрим подробнее применение метода к некоторому частному слу-
a x b
0 ab
2m
12
( ) , ( )x a x x x b
22
( ) max ,0 max ,0g x a x x b
*
X
X
( ) ( 1, 2,..., )
i
imX
*
lim ( , ) ( )FfXX
0
g(x)/β
0 a b x 0 1 a b x
β1 β
2
F(x)
β1 β
2
2
чаю с одной переменной x (индекс опустим). Пусть допустимая область задана
неравенствами
, где
.
Согласно (2.2)
,
,
а значит, при p = 2
.
Примерный вид штрафа изображен на рис. 2. 10, а для двух значений β;
при этом β
< β1. На рис. 2.101, б показаны примерные графики штрафной
2
функции также для двух значений β при линейной целевой функции (обозначена тонкой линией). Пунктирными стрелками 1 и 2 показано ориентировочное
положение минимума штрафной функции при β = β1 и β = β2 соответственно.
Несложные обобщения ситуации, отраженной на рис. 2.10, позволяют предположить, что с уменьшением β на границах допустимой области как бы
возводится все более крутая «стена». При этом минимум штрафной функции
все более смещается в сторону точки a, которая и дает решение задачи.
а б
Рис. 2.10. Штрафы (а) и штрафные функции (б)
в одномерном случае
Существует теорема, подтверждающая это предположение [6]. Ее форму-
лировка приводится ниже с учетом того, что допустимая область определяется
условиями (2.2).
Теорема 2.4
Пусть существует решение
множество решений
задачи о минимуме (2.16) для всех β > 0; функции
основной задачи (2.15) и замкнутое
в (2.2) непрерывны. Тогда
.
42
При численном решении серии задач о минимуме функции (2.16) часто
( , ) ( , ) ( ) ( )F F f g X X X X
заменяют ее функцией
Суть метода штрафных функций при этом несколько «маскируется», но резуль-
тат, разумеется, сохраняется, а вычисления могут оказаться более удобными.
.
43
ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
b
a
dxxy )(
2
0
0
1
()
T
y t y dt
T
y(x)
x
0
a b
y(t)
y
0
0 T t
§ 3.1. Постановка задач вариационного исчисления
В отличие от задач математического программирования, в которых оптимизация сводится к отысканию многих переменных, доставляющих экстремум
некоторой функции при возможном наличии ограничений, в задачах вариаци-
онного исчисления объектом поиска является некоторая функция непрерывного
аргумента или несколько таких функций (далее будем рассматривать только
одну). При этом экстремума добиваются для так называемого функционала
(«функции от функции»).
J[y(x)] называется функционалом y(x), если каждому конкретному виду
y(x) соответствует числовое значение J. Один из простейших видов функциона-
ла − определенный интеграл от функции на интервале [a, b], т. е. площадь под
ее кривой (рис. 3.1, а).
J[y(x)] =
.
а б
Рис. 3.1. К понятию функционала: площадь под кривой (а)
и ошибка стабилизации (б)
Функционалом J[y(t)] является среднеквадратическая на промежутке [0, T]
ошибка системы стабилизации параметра y относительно требуемого значения
y0 при различных переходных процессах y(t) (рис. 3. 1, б).
J[y(t)] =
Практическими примерами функционалов могут быть расход топлива самолетом в зависимости от высоты полета как функции пройденного пути или
выход продукта из реактора непрерывного действия в зависимости от распре-
деления температуры по его длине.
.
44
В вариационном исчислении рассматриваются функционалы вида
1
b
a
dxyyxF ),,(
у
a
Ω
b
Ω
a
Ω
b
Ω
( , , ) .
b
a
G x y y dx
1
J[y(x)] =
. (3.1)
Предполагается, что существуют непрерывные производные до второго поряд-
ка включительно y по x, а также F по всем ее аргументам.
При каждой функции y определится и ее производная
с тем же аргу-
ментом x (обозначения производных штрихами применяются во всей этой
главе), вследствие чего F станет функцией только x, а после интегрирования в
определенных пределах получится число. Таким образом, приведенное выше
определение остается в силе.
В простейших случаях задают еще и значения y на концах интервала интегрирования (так называемые условия закрепления):
y(a) = ya , y(b) = yb . (3.2)
В более общих случаях (их подробно рассматривать далее не будем) − только
области этих значений
и
(так называемая задача с незакрепленными
концами):
y(a)
, y(b)
.
В простейшем варианте отыскивается минимум или максимум функционала
J[y(x)] min (max). (3.3)
При возможных усложнениях добавляется условие (ограничение) в виде равенства
K[y(x)] = C, (3.4)
где C − константа, а K − еще один функционал вида
K[y(x)] =
(3.5)
Неравенства в условии возможны лишь в отдельных случаях.
§ 3.2. Классические примеры вариационных задач
Приводимые здесь примеры рассматривались еще на заре вариационно-
го исчисления, почему и названы классическими. Пока будет сформулирована
Возможны функционалы и более сложного вида, зависящие от многих функцио-
нальных переменных, содержащие производные выше первого порядка и др. [13]. Здесь они
не рассматриваются.
45
только постановка задач. Возможности их решения изучаются в последующих
0А
dt
0
()
А
ds
Vs
gy2
у
2
2
2
22
11 ydx
dx
dy
dxdydx
2
0
1
1
2
b
y
dx
gy
0 b x
h
y
•A
0 b x
y
1
2
параграфах.
1. Задача о брахистохроне (линии наискорейшего спуска).
Требуется найти линию 0А в координатах x, y (рис. 3.2, а), при свободном
скольжении по которой под действием силы тяжести (направлена по оси y) материальная точка, стартуя из точки 0 без начальной скорости, достигает точки А
за минимальное время.
а б
Рис. 3.2. К задачам о брахистохроне (а) и равновесии тяжелой нити (б)
Время движения T составляет величину
T =
=
,
где dt − время прохождения точкой элемента ds пути s, отсчитываемого вдоль
0А, а V(s) − достигнутая на этом пути скорость.
При движении в поле сил тяготения с ускорением g скорость нарастает
по закону
V =
,
где y − ордината точки, прошедшей путь s. Выразим элемент пути через диф-
ференциал dxи производную
ds =
Выполняя подстановки и замену пределов интегрирования, получим
T =
. (3.6)
.
46
Множитель
1/ 2g
dx
y
y
b
O
21
1
gds
gdsy
2
0
1
b
П g y y dx
2
2
0
1 min
b
П g y y dx
2
0
1
b
y y dx
1
2
на отыскание минимума не влияет, поэтому можно положить
J[y(x)] =
min. (3.7)
Условия закрепления (3.2) примут вид
y(0) = 0, y(b) = h . (3.8)
Таким образом, постановка задачи о брахистохроне определяется требо-
ваниями (3.7), (3.8).
2. Задача о равновесии тяжелой нити.
Рассмотрим нить заданной длины L, концы которой закреплены в точках
0 и b (линия 1 на рис. 3.2, б). Разумеется, при этом L > b. Поперечными размерами нити пренебрежем, рассматривая ее как геометрическую линию, однако
будем считать «тяжелой», обладающей неизменной на всем ее протяжении линейной плотностью
также предполагать, что нить не сопротивляется изгибу
– массой, приходящейся на единицу длины нити. Будем
.
Тогда элемент нити длиной ds с ординатой y будет обладать потенциальной энергией dП, зависящей только от высоты его положения и с точностью до
аддитивной константы равной его весу
, умноженному на эту ординату со
знаком минус,
dП
.
Знак минус обусловлен выбором положительных значений y в направлении силы тяжести. Полная потенциальная энергия нити П получится путем
интегрирования этого выражения по всем элементам ds. Применив замену переменной по формуле (3.6), найдем
Следуя одному из принципов механики
.
, согласно которому потенциаль-
ная энергия механической системы, находящейся в положении равновесия,
минимальна, потребуем
.
Постоянный множитель перед интегралом снова не влияет на отыскание мини-
мума, и можно положить
J[y(x)] =
min. (3.9)
Такому предположению хорошо соответствует объект типа цепи с мелкими звенья-
ми; часто и говорят «задача о равновесии цепи».
Это один из принципов, которые так и называются «вариационными».
47
Заданная длина нити найдется как интеграл по всем элементам ds и с уче-
2
0
1
b
L y dx
CL
2
0
1by dx L
()yx
( ) ( ) ( ),y x y x x
()x
()yx
()
a
y a y
()
b
y b y
( ) ( ) 0ab
( ) ( ) ( )y x y x x
( , , ) ( )
b
a
F x y y dx
y
том (3.6) запишется в виде
С учетом обозначений, принятых в (3.4), (3.5), и после замены
K[y(x)] =
.
получим
. (3.10)
Условия закрепления имеют вид
y(0) = 0, y(b) = 0 (3.11)
и вместе с (3.9), (3.10) составляют постановку задачи о равновесии нити.
Кривая 2 на рис. 3.2, б иллюстрирует еще один возможный вариант поста-
новки задачи, когда правый конец нити не зафиксирован жестко, а может
скользить по вертикальной направляющей. Согласно приведенной выше терминологии это задача с незакрепленными концами (здесь – только с одним правым).
§ 3.3. Решение простейшей вариационной задачи
Рассмотрим задачу (3.3) для функционала (3.1) с условиями (3.2). Ограничение (3.4) отсутствует. Для определенности будем считать, что ищется
минимум функционала.
Предположим, что существует хотя бы одна функция y(x), решающая задачу, т. е. доставляющая минимум функционалу. Другие возможные функции,
необязательно обладающие этим свойством, обозначим
и запишем в виде
где
функции
– произвольная функция, а – некоторое число. Будем считать, что
тоже удовлетворяют условиям закрепления
,
(3.12)
,
откуда следует
. (3.13)
Очевидно также
После подстановки (3.12), (3.14) в (3.1) получим
J[y(x)] =
В результате вычисления определенного интеграла в (3.15) при любом
виде
числа
функции с аргументом
(x) зависимость от x не сохранится. Останется только зависимость от
. Этот факт подчеркнут обозначением в правой части (3.15) некоторой
.
. (3.14)
. (3.15)
48
Согласно (3.12) при
()yx
()
()
(0) 0
()x
()yx
()x
()yx
()yx
()
bb
aa
F y F y F F
dx dx
y y y y
yy
0
b
a
FF
dx
yy
0
bb
b
a
aa
F F d F
dx dx
y y dx y
0
b
a
F d F
dx
y dx y
F d F
y dx y
= 0
становится равной y(x), а это означает,
что
условием этого является равенство 0 производной
достигает экстремума при = 0. Как хорошо известно, необходимым
при = 0
. (3.16)
Однако это классическое условие в рассматриваемой задаче сопровождается
существенным дополнением: оно должно выполняться при любой функцио-
нальной зависимости
переходит в y(x) при = 0 независимо от вида
. Такое требование следует из того, что
.
в (3.12)
Согласно (3.12), (3.14) и (3.15) входит в выражение для через по-
средство
и
. Поэтому, пользуясь теоремой о дифференцировании
сложной функции, найдем (аргументы функций для краткости опущены)
. (3.17)
Положим теперь = 0, для чего в (3.17) можно просто принять
, и
воспользуемся условием (3.16)
.
Применяя формулу интегрирования по частям по отношению ко второму слага-
емому подынтегральной функции, получим
.
Второе слагаемое в левой части этого равенства обращается в 0 в силу (3.13),
вследствие чего оно приобретает вид
. (3.18)
Учитывая требование выполнения условия (3.16) независимо от вида
найдем, что выражение в квадратных скобках в подынтегральной функции
должно обращаться в 0:
= 0. (3.19)
,
49
2 2 2
2
0
F F F F
yy
y y x y y y
,,x y y
.y
( , )F F x y
Fy
1
Действительно, если это не так, то, пользуясь произволом в выборе
, всегда
можно добиться положительности подынтегральной функции на всем промежут-
ке интегрирования в (3.18) и тем самым сделать невозможным условие (3.16)1.
Полученное уравнение (3.19) и дает решение поставленной задачи. Его
называют уравнением Эйлера-Лагранжа. По существу, это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно y(x). В самом деле,
пользуясь снова теоремой о дифференцировании сложной функции, найдем из
(3.19)
. (3.20)
Аргументами Fявляются
вании. В последнем слагаемом фигурирует еще
, и их состав не меняется при дифференциро-
Таким образом, уравнение
(3.19) действительно связывает производные y(x) до второго порядка включи-
тельно. Его можно рассматривать как развернутую форму уравнения (3.19).
Учитывая условия (3.2), можно констатировать, что в итоге получилась краевая
задача для обыкновенного дифференциального уравнения (3.19)
Решения такого уравнения (их называют экстремалями) содержат две
произвольные постоянные, которые могут быть найдены из условий (3.2).
Следует подчеркнуть, что уравнение (3.19), вытекающее из (3.16), дает
лишь необходимое условие минимума функционала: всякое решение задачи яв-
ляется экстремалью, но не наоборот. Возможно, что экстремаль определяет
максимум, а не минимум функционала. Выяснение этого требует дополнительного анализа, в подробности которого здесь и впредь вдаваться не будем,
поскольку в задачах, имеющих прикладное значение, характер экстремума
обычно ясен из физических соображений.
§ 3.4. Частные случаи функционалов
Постановки некоторых практических задач приводят к функционалам
частного, более простого по сравнению с (3.1) вида. В результате оказывается
возможным понизить порядок уравнения Эйлера-Лагранжа, т. е. найти, как говорят, его первый интеграл. Ниже рассмотрены два характерных частных
случая.
Случай 1. Подынтегральная функция в (3.1) не содержит в явном виде
y(x) в качестве аргумента:
. (3.21)
Тогда в уравнении (3.19)
Строгое доказательство этого положения основано на так называемой основной лем-
ме вариационного исчисления.
= 0, и оно приобретает вид
50
dF
dx y
Fy
1
C
1
C
( , )xy
F
( , )xy
1
C
y
y
1
( , )xC
12
( ) ( , )y x x C dx C
1
C
2
C
2
( , )F x y xy y
1
2x y C
1
2
Cx
y
2
1
2
24
Cx
y x C
( , )F F y y
22
2
0
F F F
yy
y y y y
dF
Fy
dx y
Отсюда след
= 0.
=
, (3.22)
где
– произвольная постоянная. Это и есть частный вид уравнения Эйлера-
Лагранжа для рассматриваемого функционала.
Производная в левой части является некоторой функцией
аргументов, что и
, т. е.
=
.
Если удается разрешить это уравнение относительно
=
,
и найти зависимость
тех же
то можно получить решение уравнения (3.21) в явном виде (говорят: «в квадра-
турах»):
Произвольные постоянные
и
найдутся из условий закрепления (3.2).
.
▲Пример 3.1. Пусть
.
Согласно (3.22) получим
и далее
,
.▼
Случай 2. Подынтегральная функция в (3.1) не содержит в явном виде x
в качестве аргумента:
. (3.23)
Обратимся к уравнению Эйлера-Лагранжа в форме (3.20). Благодаря отсутствию аргумента x в (3.23) второе слагаемое в (3.20) обратится в 0:
. (3.24)
Рассмотрим теперь полную производную
. С учетом состава ар-
гументов в (3.23) выражение для нее приобретает вид
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]