Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методические указания по физике. Часть 1. Механика. Учебное пособие
.pdf
40
или
0
VmVmtF
tF
1
m
2
m
1
V
2
V
1
F
2
F
3
V
4
V
,
11
3
1
1
t
VmVm
F
,
22
4
2
2
t
VmVm
F
21
FF
,
2242
1131
t
VmVm
t
VmVm
,
22421131
VmVmVmVm
,
42312211
VmVmVmVm
(3)
В уравнении (3) правая часть представляет собой изменение величины
произведения массы на его скорость. Величина называется импульсом тела.
Импульс – это векторная величина, равная произведению массы тела на его
скорость.
Левая часть уравнения (3)
называется импульсом силы. изменение импульса
тела равно импульсу силы.
Закон сохранения импульса.
Рассмотрим взаимодействие двух тел массами
относительно какой-то системы отсчета со скоростями
тела сил
и
через некоторое время t скорости этих тел станут равными
этом случае можно записать
Согласно третьему закону Ньютона
(6)
Подставляя (4) и (5) в (6) получают
(4)
(5)
и
и
, которые движутся
. после действия на эти
и
. В
(7)
Равенство (7) означает, что импульс двух тел при их взаимодействии сохраняется.
41
Импульсивность тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при
n
i
ix
constVm
1
1
500
1
m
10
2
m
смV /5
смV /8000
0
Дано:
500
1
m
кг
10
2
m
кг
смV /5
смV /8000
0
Найти
??21VV
Решение:
Закон сохранения импульса для данной системы записывают в виде
,)(
2211021
VmVmVmm
(1)
где
1
V
- скорость ракетоносителя после момента отделения
относительно Земли;
2
V
- скорость головного конуса после момента отделения относительно
Земли.
Согласно условию
VVV
12
или
VVV
21
(2)
После проекции не вертикаль уравнений (1) и (2) и совместного их
решения получают
см
mm
VmVmm
V /8005
)(
21
1021
2
Из уравнения (2)
смV /800058005
1
./8005;/8000
21
смVсмV
150
1
m
смV /3
50
2
m
смV /5
2
Дано:
150
1
m
кг
смV /3
50
2
m
кг
смV /5
2
Найти
?
1
V
Решение:
Закон сохранения импульса для системы лодка-груз записывают в
следующем виде
,)(
221121
VmVmVmm
(1)
Проектируя (1) на горизонтальное направление получают
,)(
221121
VmVmVmm
Из (2) имеем
любых взаимодействиях тел этой системы между собой (закон сохранения импульса).
Закон сохранения импульса записывают в таком виде.
(8)
Примеры решения задач на импульс и закон сохранения импульса.
Пример 1. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой
головного конуса массой
Если на Земле пружина сообщала конусу скорость
кг, между которыми помещена очень упругая пружина.
, то каковы будут скорости
конуса и ракеты при их отделении на орбите при движении со скоростью
кг и
Ответ:
Пример 2. С лодки массой
кг, которая движется со скоростью
сторону, противоположную ее движению, бросают предмет массой
горизонтальной скоростью
. Какой станет скорость лодки после бросания
предмета?
, в
кг с
42
см
m
VmVmm
V /7,5
)(
1
2221
2
Из уравнения (2)
смV /800058005
1
Ответ:
./7,5
1
смV
Дано:
m=60 кг
М=120 кг
l=3 м
Найти S
Решение:
Систему лодка-человек можно считать замкнутой и для
этой системы применяют закон сохранения импульса. В
течение времени движения человека вдоль лодки
импульс движения системы относительно берега равен
(рис. а)
21
VMVm
,
где
1
V
и
2
V
- скорости человека и лодки относительно
берега. согласно закону сохранения импульса
21
VMVm
=0, (1)
или
0
21
MVmV
(2)
Если человек в лодке перемещается со скоростью V, то
относительно берега его скорость
21
VVV
(3)
Скорость человека при перемещении вдоль лодки на
расстоянии
t
l
V
(4)
Скорость человека относительно берега
,
2
t
S
V
(5)
где S – перемещение относительно берега.
Подставляя (5) и (4) в (2) получают
мl
mM
m
S 1
3
2
1016m
3
3
103m
50
1
m
Дано:
Решение:
Пример 3. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке,
переходит с носа на корму. На какое расстояние сдвинется лодка, если масса человека
m=60 кг, масса лодки М=120 кг, длина лодки l=3 м.
направлению х (рис. а).
горизонту. Чему равна скорость снаряда массой
Ответ: Лодка сместилась на 1 м в сторону противоположно выбранному
Пример 4. На платформе массой
кг, столб которого расположен вдоль полотна дороги под углом α=60º к
при выстреле на l=3 м за t=6 с.
кг установлено орудие массой
кг, если платформа откатилась
43
50
1
m
кг
3
2
1016m
кг
3
3
103m
кг
α=60º
l=3 м
t=6 с
Найти
1
V
Закон сохранения импульса для данной системы имеет
вид
11232
)( VmVmm
(1)
Спроектируем (1) на ось ОХ (рис. б)
11232
)( VmVmm
(2)
Из (2) имеют
1
232
1
)(
m
Vmm
V
(3)
Из уравнения (2) учтена скорость
2
V
, а на самом деле
платформа двигается со скоростью
2
V
, в
горизонтальном направлении и
cos
22
VV
(4)
Найдем
2
V
,
,
2
2
2
at
tVl
где
t
V
a
2
, тогда
tVl
2
2
1
и
t
lV2
2
(5)
Подставляя (5) в (4) получают
cos
2
2
t
l
V
(6)
Подставляя (6) в (3) получают
смV /760
1
Ответ:
смV /760
1
Задачи для самостоятельного решения по импульсу и
закону сохранения импульса
172. Шарик массой m подлетает перпендикулярно к стенке со скоростью V и
упруго ударяется о нее (отскакивает с такой же по величине скоростью). С какой средней
силой действует шарик на стенку, если удар продолжается t с?
Определить скорость тележки после того, как вскочил на нее мальчик. Скорость прыжка
мальчика 4 м/с, вес мальчика 490 Н, масса тележки 80 кг.
скоростями, соответственно равными 6 м/с и 4 м/с. Направления движения шариков
составляют друг с другом угол 90º. Чему равен суммарный импульс этих шариков?
173. Мальчик догнал тележку, движущуюся со скоростью 3 м/с, и вскочил на нее.
174. Два шарика массами 2 г и 3 г движутся в горизонтальной плоскости со
175. С железнодорожной платформы, движущейся со скоростью 9 км/ч,
выстрелили из пушки. общая масса платформы с пушкой 20 т, масса снаряда 25 кг, его
начальная скорость 700 м/с. какова будет скорость платформы в момент выстрела, если
направление выстрела совпадает с направлением платформы? Противоположно
направлению движения платформы?
44
176. С лодки выбирается канат, поданный на баркас. Расстояние лодки от баркаса
185. Шарик упруго ударяется о стенку под углом α (рис. 26). Масса
шарика m, скорость до удара и после удара имеет одну и ту же
величину V, угол падения равен углу отражения. Определить величину
и направление вектора изменения импульса шарика.
55 м. Определить пути, пройденные лодкой и баркасом до их встречи. Масса лодки 0,3 т,
масса баркаса 1,2 т.
177. Ракета весом 2,5 Н содержит 350 г взрывчатого вещества. На какую высоту
поднимется ракета, если считать, что взрыв горючего и выход газов, вылетавших со
скоростью 0,3 км/с, произошли мгновенно, а сопротивление воздуха в 6 раз уменьшает
высоту подъема?
g=10м/с2
178. Первая в мире ракета весила около 20 Н (без толкающего заряда). При взрыве
из ракеты выбрасывалось 200 г пороховых газов со скоростью 600 м/с. На каком
расстоянии от места бросания упадет такая ракета, если она выпущена под углом 45º к
горизонту? Сопоставлением воздуха пренебречь.
179. Старинная пушка не имеющая противооткатного устройства, стреляет ядром
под углом 40º к горизонту. Масса ядра 10 кг и начальная скорость 200 м/с. Какова будет
скорость отката пушки, если ее масса 500 кг? Трение не учитывать.
180. Человек, сидящий в лодке, бросает камень под углом 60º к горизонту. масса
камня 1 кг, масса человека в лодке 150 кг, начальная скорость камня 10 м/с. Найти
расстояние между точкой падения камня и лодкой, в момент, когда камень коснулся воды.
Трение лодки о воду не учитывать. g=10м/с2
181. На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна линии берега и
обращена к нему носом. Расстояние между носом лодки и берегом равно 0,75 м. В
начальный момент лодка была неподвижна. Человек, находящийся в лодке, переходит с
носа лодки на корму. Причалит ли лодка к берегу, если ее длина 2 м? Масса лодки 140 кг,
масса человека 60 кг.
182. Снаряд массой 50 кг, летящий параллельно рельсам со скоростью 400 м/с,
попадает в движущуюся платформу с песком и застревает в песке. Масса платформы с
песком 20 т. С какой скоростью будет двигаться платформа со снарядом: 1) если она
катилась навстречу со скоростью 2 м/с; 2) если она катилась в сторону движения снаряда
со скоростью 2 м/с?
183. Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит
горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по
горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения 0,05?
184. Хоккейная шайба, имея начальную скорость 5 м/с, прошла от удара о борт
площадки 10 м. Удар считать абсолютно упругим, коэффициент трения шайбы о лед 0,1,
сопротивлением воздуха пренебречь. Определить какой путь пройдет шайба после удара.
45
186. Тело массой 8 кг скользит без трения с наклонной плоскости на
неподвижную тележку с песком (рис. 27). Вес тележки с песком 882 Н,
угол наклона плоскости к горизонту 60º, высота начального положения
тела над уровнем тележки 4,9 м. Какую скорость будет иметь тележка,
когда груз упадет на нее. Тележка движется без трения.
1
F
SFA
187. Граната, летевшая горизонтально со скоростью 15 м/с, разорвалась на две
части массой 1,5 кг и 2,5 кг. Скорость большей части гранаты возросла до 30 м/с (по
направлению движения). Определить скорость и направление движения меньшей части.
188. Снаряд в верхней точке траектории, соответствующей высоте 100 м,
разорвался на две части 1 кг и 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке 100 м/с. Скорость
большого осколка оказалась горизонтальной, равной 250 м/с и совпадающей по
направлению с начальной скоростью. Определить расстояние между точками падения
обоих осколков.
189. Лягушка массой «m» сидит на конце доски массой «M» и длиной L. Доска
плавает по поверхности воды. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль доски.
Определить начальную скорость лягушки, чтобы после прыжка она оказалась на другом
конце доски?
190. На рельсах стоит платформа, на которой стоит орудие. Из орудия производят
выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса снаряда 10 кг, скорость снаряда 1000 м/с,
масса платформы с орудием 20 т. Определить на какое расстояние откатится платформа
после выстрела, если коэффициент трения равен 0,002?
191. Ядро атома массой М, летящее со скорость V самопроизвольно распадается на
два осколка равной массы, один из которых вылетает со скоростью V
, под углом α к
первоначальному направлению полета. Определить скорость и угол вылета второго
осколка.
§ 5. Работа, мощность, энергия.
Механическая работа.
Изучение процессов, при которых совершается механическая работа, показывает,
что одновременно с работой всегда происходит и превращение одних форм движения
материи в другие или передача движения от одного тела к другому.
Если точка приложения силы перемещается, то сила совершает работу, которая
измеряется произведением силы на перемещение в направлении силы.
В том случае, когда сила
и перемещение – векторы, то работа определяется
произведением абсолютных значений силы и перемещения
(1)
Работа является величиной скалярной, хотя она и определяется произведением
двух векторных величин, так как в отношении работы нельзя сказать, куда она
направлена.
46
В более общем случае работа совершается постоянной силой
cosSFA
mghA
)(
2
2
2
2
1
xx
k
A
21
, xx
2/с2
2
7
T
A
N
VF
t
SF
T
A
N
с
Дж
Bт 11
, (2)
где α – угол между векторами силы и перемещением.
Работа силы тяжести определяется выражением
, (3)
где h – изменение положения центра тяжести тела относительно поверхности Земли по
вертикали, mg – сила тяжести.
Работа силы упругости, например, при сжатии пружины
, (4)
где k – жесткость пружины.
- начальное и конечное удлинение пружины.
Единицу измерения работы можно получить из (1). В системе СИ за единицу
измерения работы принимают 1 ДЖ – это такая работа, которая совершается силой в 1 Н
при перемещении точки ее приложения в направлении силы на расстояние в 1 м.
Размерность этой единицы - кгм
В системе СГС работа измеряется в эргах. 1 эрг = 1 дн·1 см=1 г·см2/с
Легко видеть, что 1 Дж=10
.
.
эрг.
Одинаковою работу можно совершить за разное время в зависимости от скорости
перемещения точки приложения данной силы, т.е. работа совершается с разной
скоростью. Величину, измеряемую работой в единицу времени, называют мощностью
(5)
Мощность также можно выразить через силу и скорость равномерного движения,
используя формулу (1)
(6)
Единицей измерения мощности в системе СИ является 1 Вт и, согласно, (4)
В системе СГС единицей измерения мощности является 1 эрг/с. Очевидно, что
47
с
эрг
Вт
7
101
.
2
2
mV
k
2
2
kx
П
Дано:
l = 100 м
V = 20 м/с
m = 1800 кг
Решение:
Работа двигателя определяется по формуле
А = F·S (1)
В уравнении (1) сила F = M·mg + ma (2).
Механическая энергия.
Так как механической энергией обладает движущееся или поднятое над Землей
тело, упруго деформированное тело, то механическую энергию разделяют на
кинетическую и потенциальную.
Кинетической называется энергия, обусловленная механическим движением тела и
измеряется работой, которую может тело выполнить до полной остановки.
Формула для вычисления кинетической энергии имеет вид:
(7)
Потенциальная энергия – это такая энергия, которая обусловлена положением
взаимодействующих тел или частей тела относительно друг друга и измеряется, которую
тело может выполнить при перемещении из одного положения в другое.
Например, потенциальная энергия деформированной пружины равна
, (8)
где х – начальное удлинение пружины.
Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли по вертикали
П=mgh (9)
Единицы измерения механической энергии и работы совпадают.
Закон сохранения механической энергии.
Полная механическая энергия изолированной системы тел остается постоянной,
если между телами действуют силы тяготения или силы упругости.
К+П=const (10)
Примеры решения задач на работу, мощность и энергию
Пример 1. Определить работу двигателя автомобиля, который двигается
равноускоренно и на участке пути l = 100 м развил скорость V = 20 м/с. Масса автомобиля
m = 1800 кг, коэффициент трения М = 0,05.
48
М = 0,05
g = 9,8 м/с2
Найти А.
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что
S
V
a
2
2
, получаем
3
2
10450
2
mV
MmgSA
Дж
Ответ:
3
10450A
Дано:
S = 50 м
l = 0,5 м
m=5 г=5·103кг
V0 = 300 м/с
g = 9,8 м/с2
Найти А.
Решение:
Работа, совершенная пулей при пробивании, равна разности
кинетических энергий пути до и после пробивания доски:
22
2
1
2
0
mV
mV
A
, (1)
где V1 - скорость пули после пробивания доски.
Определим V1 (рис. а):
t
St
V
1
(2)
Из уравнения равноускоренного движения
2
2
gt
, откуда
g
lt2
(3)
Подставляя (3) во (2), находим
g
l
S
V
2
1
. (4)
Подставляя (4) в (1) можно найти работу
162)
2
2
(
22
2
0
g
l
m
mV
A
Дж
162A
15,0
0
l
mH
x
F
k /980
05,0
1
l
Дано:
15,0
0
l
м
mHk /980
Решение:
При сжатии пружины упругая сила, которая возникает в ней,
увеличивается прямо пропорционально деформации:
Дж
Пример 2. Из винтовки дважды выстрелили в горизонтальном направлении в щит,
который находился на расстоянии S = 50 м. После первого выстрела перед дулом
винтовки поставили доску. Вторая пуля, пробив доску, попала в щит на расстоянии l = 0,5
м ниже первой. какая работа совершена пулей при пробивании доски, если масса пули m =
5 г, а начальная скорость V0 = 300 м/с?
Ответ:
Пример 3. Пружина пистолета имеет в свободном состоянии длину
Коэффициент жесткости пружины
массой m=0,01 кг, которым выстрелили из пистолета вертикально вверх, если была сжата
до
м.
Дж.
. Какой высоты достигает шарик
м.
49
m=0,01 кг
05,0
1
l
м
g = 9,8 м/с2
Найти h.
F = - k·x (1)
где «х» - деформация пружины.
По мере сжатия на величину «х» будет совершена работа против этой
силы:
22
2
kxxkx
A
(2)
За счет убыли этой работы увеличивается потенциальная энергия
пружины на эту же величину (2). Во время выстрела потенциальная
энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика, которая,
в свою очередь, переходит в потенциальную энергию шарика
mghW
n
(3)
где
h
- максимальная высота подъема шарика.
Все рассмотренные превращения энергии проходят без потерь, так как
в системе пружина-шарик-земля действует только упругая сила и сила
тяготения. Поэтому, можно (3) и (2) приравнять
mgh
kx
2
2
(4)
Из (4)
м
mg
kx
h 50
2
2
Ответ:
h
Дано:
V=30 м/с
S=150 м
mg=9800H
К=0,03
Найти
ср
N
Решение:
Мощность моторов численно равна работе, произведенной ими за
единицу времени, т.е.
cpTср
VF
T
A
N
(1)
Определим силу тяги. Второй закон Ньютона для самолета имеет вид:
maFF
TPT
, где
kmgF
TP
, тогда
makmgF
T
(2)
Учитывая, что
S
V
a
2
2
, а
2
V
O
cp
подставляем (2) в (1) и получаем
кВт
gS
V
K
mgV
N
cp
5,49)
2
(
2
2
кВтN
cp
5,49
гm 20
1
смV /500
0
кгm 5
2
=50 м
Пример 4. Самолет для вылета должен иметь скорость V=30 м/с. Длина пробега
перед взлетом S=150 м. Какова средняя мощность мотора при взлете, если вес самолета
9800 Н, а коэффициент трения колес о землю К=0,03?
Ответ:
шар, подвешенный на длинной нити, застревает в нем. Определить на какую высоту
поднимется шар, если его масса
Пример 5. Пуля массой
, летящая со скоростью
(рис. б).
, попадая в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]