Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методические указания по физике. Часть 1. Механика. Учебное пособие
.pdf
10
32
tt
(5),
11
1
1
2V
S
t
S
t
(6).
Найдем время движения
2
t
и
3
t
.
2
2
2
V
S
t
(7),
3
3
3
V
S
t
(8). Решая
совместно уравнения 4,5,7,8 получаем
)(2
32
32
VV
tt
(9)
Подставляя значения
321
,, ttt
в уравнение (2) получаем, что
321
121
2
)(2
VVV
VVV
V
cp
(10). Подставляя данные в данное уравнение (10)
определяем среднюю скорость:
cp
V
7,5 м/с
Ответ: 7,5 м/с
1
t
2
t
Дано:
мкмS
4
1015150
счt
2
1
10722
счt
2
2
101083
Найти
А
V
,
В
V
Решение:
Если направить ось ОХ вдоль движения катера, то скорость
катера относительно берега реки по течению
BA
VVV
1
(1).
В координатной форме уравнение (1) имеет вид
BA
VVV
1
(2).
Скорость катера против течения
BA
VVV
2
(3). Так катер
движется с постоянной скоростью, то
222
111
)(
)(
tVVtVS
tVVtVS
Ba
BA
(4)
Решая уравнение (4) относительно
A
V
и
B
V
получаем, что
с
м
tt
ttS
V
A
4,17
2
)(
21
12
;
с
м
tt
ttS
V
B
5,3
2
)(
21
12
4,17
A
V
5,3
B
V
2,3
1
V
2,1
2
V
Дано:
1
V
= 3,2 м/с
2
V
= 1,2 м/с
Найти V
Решение:
Чтобы моторную лодку не сносило течением
реки, ее скорость должна иметь составляющую
1
V
, равную скорости течения реки и
противоположно направленную (рис. б). Тогда
скорость лодки в векторной форме
2
1
VVV
(1). В координатной форме равенство (1)
записывают в следующем виде:
2
2
2
1
2
VVV
или
4,3
2
2
2
1
VVV
м/с.
Пример 3. Пассажирский катер проходит расстояние S = 150 км между двумя
пристанями по течению за
= 2 часа, а против течения – за
скорость катера в горячей воде и скорость течения воды в реке.
=3 часа. Определить
Ответ:
м/с,
м/с
Пример 4. Какую скорость должна иметь моторная лодка, чтобы пересечь реку
перпендикулярно со скоростью
Ответ: 3,4 м/с.
м/с, если скорость течения равна
м/с?
11
Пример 5. Тело имеет начальную скорость
0
V
Дано:
0
V
5 м/с
5,4
45
SSS
м
Найти a, S
Решение:
Перемещение тела в векторной форме
4
5
SSS
(1). Если
направить ось ОХ вдоль направления движения, то в
координатной форме векторное равенство (1) запишется
2
2
2
2
4
40
2
5
5045
t
tV
at
tVSSS
(2).
Из (2) можно найти ускорение
1,0
)(2)(2
2
5
2
4
45450
tt
SSttV
a
м/с2
Путь пройденный за 10 с:
45
2
1
24
0
tatVS
м
1,0a
2
4
1
t
4
2
V
3
2
t
Дано:
1
t
= 4 с
2
t
= 8 с
3
t
= 3 с
2
V
= 4 м/с
Найти S
Решение:
Направляем ось ОУ вертикально вверх, начало координат
совместим с началом движения лифта. Весь путь движения
лифта разобьем на три участка (рис. в). На участке ОК путь
111
tVS
cp
(1).
Где
1cp
V
- средняя скорость движения на участке ОК. Так
как движение на этом участке равноускоренное, то
22
0
2
22
1
VV
VV
V
коннач
cp
(2).
Подставим (2) в (1), получим
2
12
1
tV
S
. (3)
На участке KL
222
tVS
(4)
на участке
2
32
3
tV
S
(5)
Полный путь
46)2(
22
321
2
32
2212321
ttt
V
tV
tVtVSSSS
м
0
V
t
5 м/с и прошло за пятую секунду
путь, равный S = 4,5 м Определить ускорение и путь, пройденный телом за 10 с.
Ответ:
м/с
, S=45 м.
Пример 6. Кабина лифта поднимается в течение первых
достигая скорости
м/с. С этой скоростью кабина двигалась в течение
движется равнозамедленно с тем же по величине ускорением. Определить путь,
пройденный кабиной лифта.
Ответ: S=46 м.
останавливается через
Пример 7. Самолет касается посадочной полосы имея скорость
20 с. Найти ускорение самолета и длину тормоза пути.
с равноускоренно,
с она
=100 м/с и
12
Дано:
0
H
300 м
20
0
V
м/с
200l
м
g =9,8 м/с
Найти a, S
Решение:
Направим ось ОХ горизонтально движению самолета, а начало
координат совместим с моментом касания самолета посадочной
полосы. Тогда движение самолета можно описать уравнением
atVV
t 0
(1). Из (1) находим, что
t
V
t
VV
a
t 00
(2).
Длина тормозного пути будет определяться по уравнению
2
2
0
dt
tVS
(3)
После подстановки численных данных в уравнениях (2) и (3)
получаем
5a
м/с
2
,
1000S
м.
Ответ:
5a
2
1000S
300
0
H
20
0
V
200l
Дано:
0
V
100 м/с
t
20 с
0
t
V
g = 9,8 м/с2
Найти t, V
Решение:
Перемещение тел друг относительно друга в векторной форме
21
lll
(1). Если направить ось ОУ вдоль направления
бросания, то в координатной форме векторное равенство (1)
запишется в виде
21
yyl
(2), где
2
2
01
gt
tVy
(3),
2
2
02
gt
tVy
(4).
Учитывая (3), (4) равенство (2) записывают в виде
tV
gt
tV
gt
tVl
0
2
0
2
0
2)
2
(
2
(5)
Из уравнения (5)
5
202
200
20V
l
t
с. В момент удара о Землю
021
Hyy
и поэтому
0
2
0
2
2gHVV
(6).
Из (6) имеем
802
0
2
0
gHVV
м/с
5t
80V
10
0
V
3t
м/с
,
м.
Пример 8. Из точки, расположенной на высоте
м от поверхности Земли,
одновременно бросают два тела с одинаковой скоростью
м/с, первое вертикально
вниз, второе – вертикально вверх. Определить, через какое время от начала движения тела
будут находиться на расстоянии
м друг от друга и скорость первого тела в
момент удара о Землю.
скоростью
Ответ:
Пример 9. Какова высота обрыва, если тело, брошенное вертикально вверх со
14 августа
с,
м/с, через
м/с.
с достигает подножия?
13
Дано:
10
0
V
м/с
g = 9,8 м/с2
t
3 с
Найти h
Решение:
Кинематические законы движения тела определяют
функциональную зависимость от времени векторов
смещения, скорости и ускорения. Из рис. г видно, что все
векторы, которые характеризуют движение тела, лежат на
одной вертикальной оси OZ. (Проекции векторов
0
V
и g
на оси ОХ и ОУ равны нулю.) Движение тела относительно
оси OZ происходит с постоянным ускорением
(
constga
). Таким образом, тело перемещается за все
рассматриваемое время поступательно и равнопеременно.
Закон для рассматриваемого вида движения
2
2
00
at
tVZZ
(1).
Величины входящие в уравнение (1),
),,(
00
aVZ
принимают
в конкретной задаче определенные значения
(положительное, отрицательное, нулевое) в зависимости от
начальных условий задачи и выбора системы отсчета. В
данном случае (рис. г)
0
0
Z
- отсчет времени ведется от
момента, когда тело находится в начале координат:
0
0
V
- проекция вектора
0
V
, направлена на оси ОХ;
0qa
- проекция вектора
q
, направлена против
положительно направления оси. Таким образом
2
2
0
gt
tVZ
(2).
В момент времени
3t
с смещение
hZ
(в
выбранной системе координат). Тогда
15)
2
98,9
310(h
м
14
Ответ: 15 м.
2
1c
V
18
2c
V
Дано:
2
01
V
м/с
18
2c
V
м/с
g=9,8 м/с
2
Найти h
Решение:
Направляем ось ОУ вертикально вверх и начало
координат поместим в точку 0, в которой находился
вертолет и тело в момент бросания тела (рис. д).
Уравнение движения вертолета и тела примут вид
tVy
o11
(1)
2
2
022
gt
Vy
(2)
Скорость движения тела изменяется по закону
gtVV
02
(3)
В наивысшей точке подъема L скорость тела равна нулю
и уравнение (3) примет вид
gtV
02
0
(4).
Из (4) время подъема тела
g
V
t
m
02
(5).
За это время тело окажется в точке L с координатой
g
V
g
Vg
g
V
V
mgt
tVy
m
2
02
2
2
0202
02
2
0212
2
2
(6)
За это время вертолет опустился в точку К с координатой
g
VV
tVy
mcm
0201
01
(7)
Расстояние между точками L и K
20)2(
22
0202
020201
2
02
212
VV
g
V
g
VV
g
V
yySKL
m
м
5
0
V
Дано:
Н=300м
0
V
100 м/с
g = 9,8 м/с2
Найти
1
t
Решение:
Направим ось ОУ вертикально вниз, а начало координат
расположим на высоте
0
y
от поверхности Земли. Так как перед
падением груз опускается вместе с аэростатом, то уравнение
движения груза будет иметь вид
2
2
0
gt
tVy
Пример 10. С вертолета, опускающегося вниз с постоянной скоростью
м/с,
бросили вертикально вверх тело со скоростью
м/с относительно Земли. какое
расстояние будет между вертолетом и телом, когда тело достигает высшей точки теплого
полета?
Ответ: KL=20 м.
Пример 11. С аэростата, находящегося на высоте H=300 м, упал груз. Через
сколько времени груз достигнет поверхности Земли, если опускается он со скоростью
м/с.
15
Когда груз достигнет поверхности Земли, то
21
tt
и
2
2
1
10
gt
tVyy
o
;
2
1100
22 gttVy
;
0
22
010
2
1
g
y
g
tV
t
.
3,7
2
2
0
2
00
1
g
gVV
g
V
t
с.
(отрицательный корень отбрасывается).
Ответ:
3,7
1
t
2
Дано:
β=314 1/
2
с
N = 16
ω = 0
Найти
Решение:
Из уравнений для равнопеременного движения без начальной
скорости имеем
(1)
(2)
Из (1) находим, что
(3)
Подставим 3) и (2) и имея в виду то, что Y=2πN,
находим
N2
251 1/с
8
103
с.
Пример 12. Маховик приведен в равноускоренное вращательное движение с
угловым ускорением 314 1/с
. Найти угловую скорость маховика через N=16 полных
оборотов.
Ответ: ω = 251 1/с
Задачи для самостоятельного решения по кинематике
1. С одной и той же позиции два стрелка стреляют из винтовки по мишени,
находящейся на расстоянии 100 м. Скорость пути первого стрелка 310 м/с, второго – 325
м/с, причем второй стрелок стреляет позже на 0,01 с. Какой из стрелков первым поразит
мишень?
2. Поезд, вышедший в 12 ч дня из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч. Поезд.
вышедший в 2 часа дня из пункта В, движется со скоростью 40 км/ч навстречу первому
поезду. В котором часу они встретятся, если расстояние АВ равно 420 км? Задачу решить
графически и аналитически.
3. Радиосигнал, посланный на Луну, отразился и был принят на Земле через 2,5 с
после посылки, такой же сигнал, посланный на Венеру, был принят через 2,5 мин.
Определить расстояние от Земли до Луны и от Земли до Венеры во время локации.
Скорость распространения радиоволн
м/с.
4. Поезд длиной 120 м движется по мосту равномерно со скоростью 18 км/ч. За
сколько времени поезд пройдет мост, если длина моста 480 м? Можно ли поезд в этой
задаче рассматривать как материальную точку?
16
5. Вагон шириной 2,4 м, движущийся со скоростью 15 м/с, был пробит пулей,
летевшей перпендикулярно к направлению движения вагона. Смещение отверстий в
стенках вагона 6 см. Какова скорость движения пули?
6. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 36 км/ч, через 30 мин
по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого 72 км/ч. через какое время
после выхода товарного поезда и на каком расстоянии от станции экспресс нагонит
товарный поезд?
7. Если поезд будет двигаться со скоростью 60 км/ч, то он прибудет к месту
назначения с опозданием на 10 мин. Сколько времени ему необходимо двигаться с
повышенной скоростью 75 км/ч, чтобы ликвидировать опоздание? какова относительная
скорость движения поездов, если они: а) движутся в одном направлении; б) в
противоположных направлениях? В течение какого времени один поезд проходит мимо
другого в этих случаях?
8. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью
80 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость
движения автомобиля?
9. На дистанции 1500 м одновременно стартуют два бегуна. Первый бегун
пробегает первую половину пути со скоростью 4 м/с, а вторую – со скоростью 6 м/с,
второй – половину времени, затраченного на преодоление всей дистанции, двигался со
скоростью 4 м/с, а вторую половину времени – со скоростью 6 м/с. какой из бегунов
финиширует раньше? На какое расстояние он обгонит другого бегуна?
10. а) Автомобиль проехал половину пути со скоростью 40 км/ч, а вторую
половину – со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всем пройденном пути.
б) Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть
пути он половину времени шел со скоростью 15 км/ч, а последний участок – со скоростью
45 км/ч. найти среднюю скорость движения на всем пути.
11. Эскалатор метрополитена поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в
течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за три
минуты. Сколько времени будет подниматься пассажир по движущемуся эскалатору?
12. Пассажир электропоезда заметил, что встречный поезд, состоящий из паровоза
и 10 вагонов, прошел мимо него за 10 с. Чему равна скорость электропоезда, если
известно, что длина вагона встречного поезда 16,5 м, длина паровоза с тендером 20 м, а
расстояние между вагонами 1,5 м? Оба поезда в момент встречи шли с одинаковыми
скоростями.
13. От пристани С к пристани Т по реке плывет со скоростью 3 км/ч относительно
воды весельная лодка. От пристани Т с пристани С одновременно с лодкой отходит катер,
скорость которого относительно воды 10 км/ч. За время движения лодки между
пристанями катер успевает пройти это расстояние 4 раза и прибывает к пристани Т
одновременно с лодкой. Определить направление течения реки и скорость течения.
17
14. Катер идет по течению реки из пункта А в пункт Б 3 часа, обратно, т.е. против
течения -6 часов. Сколько времени потребуется плотам, чтобы проплыть из пункта А в
пункт Б?
15. Когда два тела равномерно движутся навстречу друг другу, то расстояние
между ними уменьшается на 16 м за каждые 10 секунд. Если два тела с прежними по
величине скоростями будут двигаться в одном направлении, то расстояние между ними
будет увеличиваться на 3 м за каждые 5 секунд.
Каковы скорости каждого из тел?
16. По двум параллельным путям равномерно движутся два поезда: грузовой
длиной 630 м со скоростью 48 км/ч, пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч.
какова относительная скорость движения поездов, если они: а) движутся в одном
направлении; б) в противоположных направлениях? В течение какого времени один поезд
проходит мимо другого в этих случаях?
17. Дрейфующая льдина, двигаясь равномерно, переместилась на 20 м. человек на
льдине за то же время и в том же направлении прошел 65 м. Определить перемещение
человека.
18. Колонна войск во время похода движется со скоростью 5 км/ч, растянувшись а
дороге на дороге на расстояние 400 м. Командир, находящийся в хвосте колонны,
посылает велосипедиста с поручением головному отряду. Велосипедист отправляется и
идет со скоростью 15 км/ч и на ходу выполнив поручение, сразу же возвращается обратно
с той же скоростью. через сколько времени после получения поручения он вернется
обратно?
19. Самолет поднимается с аэродрома под углом 30º к горизонту со скоростью 216
км/ч. Найти вертикальную и горизонтальную составляющие скорости. Какой высоты
достигнет самолет за 10 с подъема?
20. За какое время преодолеет самолет расстояние 390 км, если его скорость в
воздухе 360 км/ч, а скорость попутного бокового ветра, направленного под углом 60º к
курсу, равна 20 м/с?
21. Рыбак переплывает на лодке реку шириной 300м. Скорость течения реки 1,2
м/с, скорость, сообщаемая лодке рыбаком, 1,6 м/с. На какое расстояние отнесет лодку
вниз по течению? Какой путь пройдет лодка?
22. Дождевые капли, падающие отвесно, попадают на окно вагона, движущегося со
скоростью 45 км/ч, и оставляют на нем след по углом 60º к вертикали. Какова скорость
падения капель?
23. Человек, стоящий на крутом берегу озера, тянет веревкой находящуюся на воде
лодку. Скорость, с которой человек вытягивает лодку постоянна и равна 0,75 м/с.
Определить скорость лодки, когда угол между веревкой и поверхностью воды составит
60º.
18
24. Взаимно перпендикулярные составляющие скорости при подъеме груза
0
0
V
2.05.2V
2
42,035,011 ttx
2
2
мостовым краном соответственно равны 0,3 м/с, 0,4 м/с и 0,5 м/с. с какой скоростью
перемещается груз в пространстве?
25. Тело в течение 6 с прошло 270 см, причем первые 3 с оно двигалось
равномерно-ускоренно, а последние 3 с равномерно со скоростью, которую оно приобрело
к концу третьей секунды. Определить путь, пройденный телом за первую секунду и
скорость равномерного движения.
26. Расстояние между двумя станциями метрополитена 1,5 км. Первую половину
пути поезд проходит равноускоренно, вторую – равнозамедленно. Максимальная скорость
поезда 50 км/ч. Найти ускорение движения поезда между станциями. Построить график
скорости движения поезда.
27. При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую
секунду 0,9 м. Какой путь пройдет это тело за седьмую секунду?
28. За какую секунду от начала движения путь, пройденный в равноускоренном
движении, второе больше пути, пройденного в предыдущую секунду?
29. Скорость, приобретенная телом через t секунд после начала движения
выражается формулой
м/с. Написать формулу, выражающую путь,
пройденный телом за t секунд, и вычислить путь, пройденный за 20 с.
30. Координаты точки, движущейся прямолинейно вдоль оси ОХ, меняется со
временем по закону:
, х измеряется в метрах, а t – в секундах.
Определить скорость и ускорение точки.
31. Поезд, достигнув скорости 54 км/ч, стал двигаться равномерно-замедленно с
ускорением – 0,4 м/с
. Через сколько времени скорость его уменьшится в три раза, и
какой путь он пройдет за это время?
32. Два велосипедиста едут друг другу навстречу: один из них, имея скорость 18
км/ч, поднимается в гору с ускорением (-0,2) м/с
, а другой имея скорость 5,4 км/ч,
спускается с горы с ускорением 0,2 м/с2. Через сколько времени они встретятся и какое
расстояние до встречи пройдет каждый, если расстояние между ними в начальный момент
равнялось 130 м?
33. Камень брошен по гладкой поверхности льда со скоростью 12 м/с. Сколько
времени будет двигаться камень до остановки, если ускорение при его движении равно 0,6
м/с2? Какое расстояние пройдет камень до остановки и какова его средняя скорость
движения? Движение считать равнопеременным.
34. Один автомобиль движется равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и
ускорением 0,25 м/с2. Определить через сколько времени автомобили будут иметь
одинаковую скорость и какую именно. Какой путь пройдет каждый автомобиль за это
время?
19
1
а
2
а
0
V
0
0
V
35. Реактивный самолет летит со скоростью 720 км/ч. С некоторого момента
самолет движется с ускорением в течение 10 с и в последнюю секунду проходит путь 295
м. Определить ускорение и конечную скорость.
36. Посадочная скорость пассажирского самолета 135 км/ч, а длина его пробега 500
м. Определить время пробега самолета по полосе и ускорение самолета, считая движение
равнозамедленным.
37. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него
на глубину 0,36 м. Сколько времени двигалась она внутри вала? С каким ускорением?
Какова была ее скорость на глубине 0,18 м? На какой глубине скорость пули уменьшилась
в три раза? Движение считать равнопеременным.
38. Две автомашины одновременно выехали и из пункта А и через два часа
прибыли в пункт В. Первая машина прошла половину пути со скоростью 30 км/ч, другую
половину – со скоростью 45 км/ч. Вторая машина прошла весь путь с постоянным
ускорением. В какой момент времени скорости машин были одинаковы? Обгонит ли в
пути одна из машин другую?
39. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 0,3 м
от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения.
Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.
40. Мостовой кран поднимает с земли груз с ускорением
, направленным вверх.
Одновременно крюк крана, на котором укреплен груз, перемещается относительно крана,
на котором укреплен груз, перемещается относительно крана в горизонтальном
направлении с ускорением
. Кроме того сам кран движется по рельсам с постоянной
скоростью
. Начальная скорость крюка относительно крана равна нулю. Определить
скорость крюка относительно земли в тот момент, когда он поднят над землей на высоту
h.
41. Лыжник съехал с горы длиной 40 м и за 10 с, после чего он проехал по
горизонтальной площадке до остановки 20 м. Считая движение с горы равноускоренным,
а по горизонтальной площадке равнозамедленным. найти скорость лыжника в конце горы
и среднюю скорость на всем пути.
42. Для определения высоты мачты к низу к ее верхушке бросают камень. Чему
равна высота мачты, если камень возвращается на землю через 4 с? Сопротивлением
воздуха пренебречь, g=10 м/с2.
43. Определить на сколько путь, пройденный свободно падающим телом и h-10
секунду, больше пути, пройденного телом в предыдущую секунду?
44. С крыши через каждую 0,1 с падают капли воды. На каком расстоянии друг от
друга будут находиться через 1 с после начала падения первой капли следующие капли?
g=10 м/с2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]