Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика решения задач по курсу физики в техническом университете на заочном факультете. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
71
время релаксации, число колебаний за это время и добротность контура. Изобра-
зить график затухающих колебаний для напряжения в пределах двух времён релаксации. Изобразить график изменения энергии в пределах двух
времён релаксации.
Дано:
;
;
;
Найти:
Решение:
Коэффициент затухания:
Собственная частота колебаний
Для нашей задачи выполняется
– следовательно,
в контуре реализуется слабое затухание.
При слабом затухании
1) Определяем уравнение затухающих колебаний заряда
.
Уравнение затухающих колебаний заряда в общем виде:
Максимальное значение колебаний заряда:
Определяем начальную фазу
В начальный момент времени заряд в конденсаторе максимальный
Уравнение колебаний заряда с численными коэффициентами:
Уравнение колебаний напряжения в общем виде:
72
Уравнение колебаний напряжения с численными коэффициентами:
Уравнение колебаний силы тока в общем виде:
– смещение по фазе тока относительно заряда и напряжения;
– амплитуда
колебаний силы тока.
Находим максимальное значение тока в контуре
Находим смещение по фазе тока относительно заряда и напряжения
Уравнение колебаний силы тока с численными коэффициентами
2) Энергия затухающих колебаний
– энергия в начальный момент времени, вся энергия в момент нахо-
дится в конденсаторе, она максимальна:
Энергия затухающих колебаний с численными коэффициентами
3) Время релаксации
Период колебаний
Число колебаний за время релаксации
Логарифмический декремент затухания
Добротность контура
4) График затухающих колебаний напряжения в пределах двух времён
релаксации
Амплитуда колебаний напряжения
73
Графики для ,
строим с помощью программы Excel, разобьём ось
времени на 100 делений, тогда одно деление равно
Создаем в Excel таблицу для времени и ,
.
Таблица 3.3 – Время, напряжения и амплитуда
N
1 2 3 … …
…
100
101
t×10–4с
0 2 4 … …
…
198
200
24,0
20,64
12,46 … …
…
1,98
2,00
24,0
23,06
22,60 … …
…
3,31
3,25
Заполняем Табл. 1 данными и строим по ним графики для ,
, рис.
3.8. Внизу под графиком приводим: 1) уравнение ; 2) время релаксации ; 3)
число колебаний за время релаксации
. Методику построения таких графиков
см. в Приложении А.
Рисунок 3.8 – График затухающих колебаний напряжения в пределах
двух времён релаксации
6) График энергии в пределах двух времён релаксации.
74
Графики для
строим с помощью программы Excel, разобьём ось вре-
мени на 10 делений, тогда одно деление равно
Создаем в Excel таблицу для времени и
.
Таблица 3.4 – Время и энергия
N 1 2 3 …
10
11
t×10–2с 0 0,2
0,4 … 1,8
2
×10
–4
Дж
5,76
3,86
2,58
…
0,16
0,11
Строим график . Внизу под графиком приводим: 1) уравнение
; 2)
время релаксации .
Рисунок 3.9 – График энергии в пределах двух времён релаксации
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии для
максимального значения энергии в контуре, проверяем равенство левой и правой
частей:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ:
75
,
,
, , .
5. Дан колебательный контур со следующими параметрами: емкость кон-
денсатора 1 мкФ, индуктивность катушки 250 мГн. Известно, что на поддержание в этом контуре незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе 2 В требуется мощность 400 мкВт. Определите: 1) коэффициент затухания; 2) время релаксации и число колебаний за это время; 3) добротность контура. Запишите уравнение затухающих колебаний для заряда, напряжения и
силы тока с числовыми коэффициентами. Изобразить график затухающих коле-
баний для заряда в пределах двух времён релаксации.
Дано:
;
;
Найти:
Решение: Определяем коэффициент затухания . По определению мгновен-
ная мощность – это скорость изменения энергии в контуре. Она определяется
как производная от энергии
Для начального момента времени мы получаем
Данная мощность является отрицательной, так как при затухающих колебаниях энергии поглощается от начальной энергии, запасённой в конденсаторе.
Чтобы скомпенсировать потери энергии, в контур подаётся мощность
от
внешнего источника, следовательно, мы имеем уравнение
Выражаем коэффициент затухания
В (1) нам неизвестна начальная энергия
. Определяем её по формуле
76
Рассчитываем коэффициент затухания
Время релаксации
Собственная частота незатухающих колебаний
Собственная частота затухающих колебаний
Период колебаний затухающих колебаний
Число колебаний за время релаксации
Логарифмический декремент затухания
Добротность контура
Уравнение затухающих колебаний для напряжения.
Определяем начальную фазу
В начальный момент времени напряжение в конденсаторе макси-
мально, тогда
Уравнение затухающих колебаний для напряжения с численными коэффициентами
Уравнение колебаний заряда в общем виде
В (2) нам неизвестна
– амплитуда колебаний заряда.
Амплитуду колебаний заряда определим с помощью соотношения
Уравнение колебаний заряда с численными коэффициентами
77
Уравнение колебаний силы тока в общем виде:
– смещение по фазе тока относительно заряда и напряжения;
– ампли-
туда колебаний силы тока.
Находим амплитуду силы тока
Находим смещение по фазе тока относительно заряда и напряжения
Уравнение колебаний силы тока с численными коэффициентами
2) Энергия затухающих колебаний в общем виде
– энергия в начальный момент времени.
Энергия затухающих колебаний с численными коэффициентами
График затухающих колебаний для заряда в пределах двух времён ре-
лаксации.
Амплитуда колебаний заряда
Графики для ,
строим с помощью программы Excel, разобьём ось
времени на 100 делений, тогда одно деление равно
Создаем в Excel таблицу для времени и ,
.
Таблица 3.5 – Время, заряда и амплитуда
N 1 2 3 … … …
100
101
t×10–4с
0 2 4 … …
…
198
200
×10
–6
,Кл
2,0
1,806
1,34 … …
…
– 0,08
– 0,17
×10–6,Кл
2,0
1,64
1,34 … …
…
0,33
0,27
Заполняем Табл. 1 данными и строим по ним графики для ,
, рис.
3.10. Внизу под графиком обязательно приводим: 1) уравнение ; 2) время
релаксации ; 3) число колебаний за время релаксации
. Методику построения
таких графиков см. в Приложении А.
78
Рисунок 3.10 – График затухающих колебаний для заряда в пределах
двух времён релаксации
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии для
максимального значения энергии в контуре, проверяем равенство левой и правой
частей:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: ; ;
;
.
3.3 Контрольные вопросы к разделу КОЛЕБАНИЯ
1. Конденсатор ёмкостью 15 мкФ заряжен до напряжения 50 В и подсоеди-
нён к катушке с индуктивность 100 мГн. Определить: 1) циклическую частоту
колебаний , частоту колебаний , период колебаний
; 2) уравнение колеба-
ний заряда, напряжения и силы тока; 3) полную энергию системы, уравнение ко-
лебаний электрической энергии , уравнение колебаний магнитной энергии
79
; 4) построить и проанализировать графики для , , сравнить их
значения в точках
; 5) найти все значения времени из проме-
жутка
электрическая энергия равна магнитной энергии
.
2. Электрический контур состоит из катушки с индуктивностью
и двух одинаковых конденсаторов
, включенных параллельно.
При этом частота собственных колебаний контура составила . По-
сле этого контур разобрали, конденсаторы соединили последовательно, зарядили
до напряжения и подключили к катушки индуктивности. Определить:
1) частоту собственных колебаний
получившегося контура; 2) уравнение ко-
лебаний заряда; 3) уравнение колебаний магнитной энергии; 4) через какое ми-
нимальное время электрическая энергия сравняется с магнитной энергией?
3. Электрический контур состоит из катушки с индуктивностью
и конденсатора . По катушке пропускают ток силой
. В начальный момент времени ток резко разрывают, в результате в
контуре возбуждаются электромагнитные колебания. Рассчитать: 1) циклическую частоту колебаний, частоту колебаний, период колебаний. Определить: 2)
уравнение колебаний заряда, напряжения и силы тока; 3) полную энергию системы, уравнение колебаний электрической энергии, уравнение колебаний маг-
нитной энергии; 4) построить и проанализировать графики для напряжения
и силы тока на протяжении одного периода колебаний
.
4. Затухающие колебания происходят в колебательном контуре с индуктив-
ностью катушки 100 мГн, емкостью конденсатора 25 мкф и сопротивлением 8
Ом. В начальный момент времени напряжение на обкладках конденсатора было
30 В, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний
для заряда, напряжения и силы тока с числовыми коэффициентами, определите
время релаксации, число колебаний за это время и добротность контура. Изобра-
зить график затухающих колебаний для напряжения в пределах двух времён релаксации. Изобразить график изменения энергии в пределах двух
времён релаксации.
5. Дан колебательный контур со следующими параметрами: емкость кон-
денсатора 10 мкФ, индуктивность катушки 120 мГн. Известно, что на поддержа-
ние в этом контуре незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе 6,5 В требуется мощность 500 мкВт. Определите: 1) коэффициент затухания; 2) время релаксации и число колебаний за это время; 3) добротность
контура. Запишите уравнение затухающих колебаний для заряда, напряжения и
силы тока с числовыми коэффициентами. Изобразить график затухающих коле-
баний для напряжения в пределах двух времён релаксации.
80
6. Затухающие колебания происходят в колебательном контуре с индуктив-
ностью катушки 25 мГн, емкостью конденсатора 120 мкф и сопротивлением 12
Ом. В начальный момент времени напряжение на обкладках конденсатора было
24 В, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний
для заряда, напряжения и силы тока с числовыми коэффициентами, определите
время релаксации, число колебаний за это время, логарифмический декремент
затухания δ и добротность контура. Изобразить график затухающих колебаний
для напряжения в пределах двух времён релаксации. Изобразить график изменения энергии в пределах двух времён релаксации.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]