Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика решения задач по курсу физики в техническом университете на заочном факультете. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
61
Проанализируем построенные графики, рис. 3.4. Сравним их значения в точ-
ках
.
При вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора,
поэтому мы видим максимум для
, магнитная энергия в этот момент равна
нулю, мы видим минимум для
. При
вся энергия элек-
трического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля, мы видим
минимум для
и максимум для
. При
вся энергия маг-
нитного поля снова переходит в энергию электрического поля конденсатора, мы
видим максимум для
и минимум для
. Следовательно, за время
про-
изошло полное колебание для
и
. В следующем полупериоде
также
происходит полное колебание для
и
. Таким образом, на протяжении
периода колебаний электрическая и магнитная энергии , совер-
шают два полных колебания, как это мы видели из теоретического анализа выше.
5) Находим все значения времени из промежутка
электри-
ческая энергия равна магнитной энергии .
Обратимся вновь к графику рис. 3.4, данные значения времени – это все
точки пересечения электрической и магнитной энергии . Как видно
– это четыре точки. Находим их из уравнения:
Используя уравнения (3.23) и (3.24), мы получаем условие
(3.25)
Найдём все решения (3.25) на промежутке
. Проведём преобразо-
вания в (3.25): заменим
на
, получаем
(3.26)
Решая (3.26) на промежутке
, получаем все значения
Значения времени из промежутка
электрическая энергия
равна магнитной энергии :
62
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии,
проверяем равенство левой и правой частей:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ:, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2. Электрический контур состоит из катушки с индуктивностью
и двух одинаковых конденсаторов
, включенных последова-
тельно. При этом частота собственных колебаний контура составила
. После этого контур разобрали, конденсаторы соединили параллельно,
зарядили до напряжения и подключили к катушки индуктивности.
Определить: 1) частоту собственных колебаний
получившегося контура; 2)
уравнение колебаний заряда; 3) уравнение колебаний магнитной энергии; 4) че-
рез какое минимальное время электрическая энергия сравняется с магнитной
энергией?
Дано:
__________
Найти:
– ?
– ?
– ?
– ?
Решение:
63
Рисунок 3.5 – Схема контура в начальном состоянии
Конденсаторы
, включены последовательно, их общая электроемкость
равна
Период колебаний
выразим по формуле Томсона
Собственная частота колебаний контура
(3.27)
Выражаем из (3.27) параметр
(3.28)
Схема контура в конечном состоянии, рис. 3.6
Конденсаторы
, включены параллельно, их общая электроемкость
равна
Период колебаний
выразим по формуле Томсона
Собственная колебаний контура
(3.29)
Подставим в (3.29) выражение
по формуле (3.28) и определим
64
Рисунок 3.6 – Схема контура в конечном состоянии
Нам неизвестна электроемкость конденсатора
, определим её из (3.28)
(3.30)
Определяем
Определяем циклическую частоту колебаний контура в конечном состоя-
нии, рис. 3.6
2) Уравнение колебаний заряда.
Уравнение колебаний заряда в общем виде
(3.31)
В (3.31) нам неизвестно – амплитуда колебаний заряда;
– начальная
фаза колебаний.
В начальный момент времени напряжение в конденсаторе было мак-
симально. Напряжение и заряд взаимосвязаны между собой соотношением
(3.32)
Следовательно, заряд в начальный момент времени также будет максималь-
ным . Запишем (3.31) для начального момента времени и определим
;
Амплитуду колебаний заряда определим с помощью (3.32)
Уравнение колебаний заряда
3) Уравнение колебаний магнитной энергии.
Уравнение колебаний магнитной энергии в общем виде
(3.33)
65
В (3.33) нам неизвестно
– амплитуда колебаний энергии, её определим
по формуле
Записываем уравнение колебаний магнитной энергии
(3.34)
4) Время, когда электрическая энергия сравняется с магнитной энергией.
Определяем уравнение колебаний электрической энергии.
Уравнение колебаний электрической энергии в общем виде
(3.35)
Все параметры в (3.35) уже определены, записываем уравнение колебаний
электрической энергии
(3.36)
Приравниваем формулы (3.34) и (3.35)
Используем основное тригонометрическое тождество
Получаем
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии,
проверяем равенство левой и правой частей:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: ;
; ;
66
3. Электрический контур состоит из катушки с индуктивностью
и конденсатора. По катушке пропускают ток силой
. В начальный момент времени ток резко разрывают, в результате в
контуре возбуждаются электромагнитные колебания. Рассчитать: 1) циклическую частоту колебаний, частоту колебаний, период колебаний. Определить: 2)
уравнение колебаний заряда, напряжения и силы тока; 3) полную энергию системы, уравнение колебаний электрической энергии, уравнение колебаний маг-
нитной энергии; 4) построить и проанализировать графики для напряжения
и силы тока на протяжении одного периода колебаний
, сравнить их зна-
чения в точках
.
Дано:
__________
Найти:
– ? – ?
– ?
– ? – ? – ?
– ? – ? – ?
Решение:
Схема контура в момент времени , рис. 3.7
Рисунок 3.7 – Ток резко разрывают в момент времени
В начальный момент времени ток
проходит только по катушке, так
как конденсатор представляет для постоянного тока разрыв цепи. После того как
цепь разорвали, ток не может мгновенно оборваться, этому препятствует индук-
тивность катушки . В катушке возникает ЭДС самоиндукции
67
которая поддерживает убывающий ток (закон Ленца). Этот ток заряжает конден-
сатор до максимального значения
. При этом магнитная энергия, запасённая
в катушке, переходит в электрическую энергию заряженного конденсатора. Конденсатор начинает разряжаться на катушку, и в контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания.
1) Циклическая частота колебаний
Частота колебаний
Период колебаний
2) Уравнение колебаний силы тока в общем виде
(3.37)
– амплитуда колебаний силы тока, она определяется током в начальный мо-
мент времени , т.е.
Рассчитываем начальную фазу колебаний
. В начальный момент времени
ток в контуре максимальный
, следовательно
Уравнение колебаний силы тока с численными коэффициентами
Используя формулу приведения
, запишем
в более
компактной форме
Уравнение колебаний заряда в общем виде
(3.38)
В (3.38) нам неизвестна
– амплитуда колебаний заряда. Запишем связь
между и
Уравнение колебаний заряда с численными коэффициентами
Используя формулу приведения
, запишем
в более
компактной форме
68
Уравнение колебаний напряжения в общем виде
(3.39)
Амплитуду колебаний напряжения связана с амплитудой колебаний заряда
соотношением
Уравнение колебаний напряжения с численными коэффициентами
Используя формулу приведения
, запишем
в более
компактной форме
3) Полная энергия системы
.
В начальный момент времени вся энергия была сосредоточена в ка-
тушке, в виде энергии магнитного поля, поэтому полная энергия системы
С другой стороны, полная энергия системы
равна амплитуде колебаний
энергии
.
Уравнение колебаний электрической энергии в общем виде
Уравнение колебаний электрической энергии с численными коэффициен-
тами
Уравнение колебаний магнитной энергии в общем виде
Уравнение колебаний магнитной энергии с численными коэффициентами
4) построить и проанализировать графики для напряжения и силы
тока на протяжении одного периода колебаний, сравнить их значения в точ-
ках
.
Запишем уравнения , в символьной форме
Для удобства анализа будем строить графики, нормированные на единицу.
(3.40)
(3.41)
69
Период колебаний
; циклическая частота
. Эти величины связаны соотношением
На протяжении периода колебаний
заряд, напряжение и сила тока совер-
шают одно колебание,
Графики для ,
строим с помощью программы Excel, разобьём ось
времени на 50 делений, тогда одно деление равно
Создаем в Excel таблицу для времени и
,
.
Таблица 3.2 – Время, сила тока и напряжение
N 1 2 3 … … …
50
51
0
0,088
0,176
…
…
…
4,312
4,4
1,0
0,98
0,94 … …
…
0,98
1,0
0
0,02
0,06 … …
…
0,02
0
Заполняем табл. 3.2 данными и строим по ним графики для ,
, рис.
3.7. Для удобства анализа мы специально построили два графика на одних осях.
Методику построения таких графиков см. в Приложении А.
Рисунок 3.7 – График колебаний для напряжения и силы тока
Проанализируем построенные графики, рис. 3.7. Сравним их значения в точ-
ках
.
70
При сила тока максимальна, а напряжение равно нулю, конденсатор
не заряжен. При
сила тока обращается в ноль, а напряжение
на конденсаторе становится максимальным. При
сила тока
изменяет свое направление на противоположное, но максимальна по абсолют-
ному значению, а напряжение на конденсаторе равно нулю. При
сила тока обращается в ноль, а напряжение на конденсаторе становится
противоположным по знаку, но максимально по абсолютному значению. При
все значения в контуре вернулись к исходному состоянию, сила
тока максимальна, а напряжение равно нулю, конденсатор не заряжен. Произошёл полный цикл колебаний.
Отметим ещё одну важную особенность графиков рис. 3.7. Силу тока можно
записать следующим образом
(3.42)
Сравним (3.42) с уравнением колебаний для напряжения
(3.43)
Мы видим, что сила тока опережает напряжение по фазе на
, что соответ-
ствует четверти периода
, это также отражают графики на рис. 3.7. Напряжение
повторяет значение силы тока через четверть периода
.
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии,
проверяем равенство левой и правой частей:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: , ,
,
,
,
,
,
,
4. Затухающие колебания происходят в колебательном контуре с индуктив-
ностью катушки 80 мГн, емкостью конденсатора 2 мкф и сопротивлением 16 Ом.
В начальный момент времени напряжение на обкладках конденсатора было 24
В, а ток в контуре отсутствовал. Запишите уравнение затухающих колебаний для
заряда, напряжения и силы тока с числовыми коэффициентами, определите
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]