Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика решения задач по курсу физики в техническом университете на заочном факультете. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
Ответ: ;
2.3 Контрольные вопросы к разделу ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
1. К сети переменного тока с напряжением и частотой
подключена электрическая лампочка с сопротивлением . Определить:
1) количество тепловой энергии , выделившееся в лампочке за 3 мин; 2) среднюю тепловую мощность лампочки
.
2. Диаметр вольфрамовой нити электрической лампы накаливания равен
, длина вольфрамовой нити см. В рабочем состоянии через лампу
протекает ток при напряжении 36 В. Определить: 1) сопротивление холодной лампы накаливания
при температуре окружающей среды 20
0
С; 2) темпе-
ратуру нити лампы накаливания в рабочем состоянии; 3) дрейфовую ско-
рость электронов в вольфраме, если концентрация электронов проводимости
равна . Температурный коэффициент вольфрама равен
, удельное сопротивление вольфрама
при темпера-
туре окружающей среды 20
0
С.
3. Двигатель лифта подключен к подстанции, выдающей напряжение 380 В,
двухпроводной линией передачи, имеющей длину . Двигатель лифта
потребляет мощность 12 кВт. Определить необходимое сечение медных проводов двухпроводной линии передачи, чтобы относительные потери напряжения в
линии не превышали . Удельное сопротивление меди
при температуре окружающей среды 20
0
С.
4. Какой заряд пройдёт через поперечное сечение проводника, если ток убы-
вает от 1000 А до нуля, причем за каждые 2 миллисекунды он убывает втрое?
5. Дана схема, состоящая из источника ЭДС В, с внутренним сопро-
тивлением Ом и трёх резисторов с сопротивлениями ,
, , рис. 2.13.
52
Рисунок 2.13 – К вопросу 5
Определить, каковы будут показания приборов, включенных между точ-
ками А и В, на приведённой схеме:
1) идеальный вольтметр,
2) идеальный амперметр,
3) вольтметр с сопротивлением ,
4) амперметр с сопротивлением ,
5) оценить относительную погрешность, которую допускают реальные приборы при измерении напряжения и тока.
6. Автомобильный аккумулятор с ЭДС и внутренним сопротив-
лением развивает мощность , вращая стартёр автомо-
биля, рис. 2.14. Определить: 1) силу тока в цепи; 2) напряжение на стартёре автомобиля; 3) мощность, развиваемую стартёром автомобиля; 4) химическую
энергию, которая затрачивается в аккумуляторе при вращении стартёра за 3 ми-
нуты; 5) КПД аккумулятора.
Рисунок 2.14 – Схема цепи к вопросу 6
53
3 КОЛЕБАНИЯ
3.1 Основные теоретические положения
Незатухающие колебания в электрическом контуре
В идеальном электрическом контуре, содержащем индуктивность и ем-
кость, при отсутствии омического сопротивления, возникают незатухающие
электромагнитные колебания.
Дифференциальное уравнение колебания заряда
Для идеального контура (рис. 3.1) используем 2 правило Кирхгофа: «Сумма
падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС».
Напряжение на конденсаторе обозначим .При протекании тока в контуре
в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции:
Рисунок 3.1 – Идеальный электрический контур (сопротивление R = 0)
Тогда по 2-му правилу Кирхгофа
(3.1)
Напряжение и заряд связаны между собой соотношением
;
(3.2)
Силу тока выражаем через заряд
(3.3)
Подставляя (3.2), (3.3) в (3.1), мы получаем
Проводим алгебраические преобразования, получаем
54
Вводим обозначение
– циклическая частота колебаний контура.
Получаем дифференциальное уравнение колебания заряда
(3.4)
Уравнение колебаний заряда q, напряжения U, силы тока I
Решением дифференциального уравнения (3.4) является уравнение вида:
(3.5)
Уравнение (3.5) называется уравнением колебания заряда, где
– ампли-
тудное значение заряда;
– начальная фаза колебаний.
Напряжение на обкладках конденсатора связана с зарядом соотноше-
нием
, поэтому уравнение колебания напряжения имеет вид:
(3.6)
где
– амплитудное значение напряжения.
Сила тока в контуре тоже будет меняться по гармоническому закону, т.к.
(3.7)
где
– амплитудное значение силы тока.
Уравнение (3.7) можно переписать, используя формулу приведения
Следовательно, сила тока в идеальном контуре опережает по фазе колебания
напряжения и заряда на
, рис. 3.2.
Рисунок 3.2 – Колебания силы тока и напряжения в течение одного
периода T, начальная фаза колебаний
Энергия в идеальном контуре
Полная энергия колебаний в контуре складывается из энергии электриче-
ского поля конденсатора
55
(3.8)
и магнитного поля соленоида
(3.9)
Если подставить в (3.8), (3.9) уравнения колебания заряда и силы тока, то
мы получим уравнения колебания электрической и магнитной энергии
(3.10)
(3.11)
где
– амплитуда колебаний электрической и магнитной
энергии.
Если сложить (3.10) и (3.11), то мы получим, что полная энергии колебаний
постоянна и равна
(3.12)
Уравнение (3.12) выражает закон сохранения энергии в идеальном контуре.
Затухающие колебания в электрическом контуре
Любой реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, за-
пасенная в контуре, расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания в контуре затухают.
Рисунок 3.2 – Схема реального контура, обладающего активным
сопротивлением R
Дифференциальное уравнение колебания заряда
Применим 2-е правило Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре
равна сумме действующих в нем ЭДС». В колебательном контуре имеются два
падения напряжения: на конденсаторе
, и на сопротивлении . При
56
изменении силы тока в контуре в катушке индуктивности возникает ЭДС само-
индукции
. В итоге получаем
Силу тока выражаем через заряд
. Тогда получаем
Разделим уравнение на коэффициент при старшей производной (индуктив-
ность катушки) и введем обозначения:
– коэффициент затухания;
– циклическая частота колебаний идеального контура. Получаем дифферен-
циальное уравнение колебания заряда
Его решением является уравнение колебания заряда
(3.13)
где:
– амплитуда колебания заряда;
− циклическая
частота затухающих колебаний.
График колебаний
изображён на рис.3.3.
Логарифмический декремент затухания
Для характеристики затухания вводится физическая величина – логарифми-
ческий декремент затухания δ, равный натуральному логарифму отношения двух
амплитуд, следующих друг за другом через период:
57
Рисунок 3.3 – График затухающих колебаний заряда
Время релаксации – это время, в течение которого амплитудное значение
уменьшается в е раз (e ≈ 2.72 , основание натурального логарифма). Связь времени релаксации и коэффициента затухания выражается формулой:
Добротность контура
Добротность контура показывает, как быстро убывает энергия в контуре
за один период колебаний. Расчётная формула для :
где − логарифмический декремент затухания.
Уравнение колебаний напряжения при затухающих колебаниях в об-
щем виде:
(3.14)
где
– амплитуда колебаний напряжения
Уравнение колебаний силы тока в контуре:
(3.15)
где – смещение по фазе тока относительно заряда и напряжения;
–
максимальное значение тока в контуре;
амплитуда колебаний силы тока.
Смещение по фазе определяется из формулы
Энергия при затухающих колебаниях
(3.16)
где – полная энергия контура в момент времени .
3.2 Базовые задачи по колебаниям
1. Конденсатор ёмкостью 5 мкФ заряжен до напряжения 30 В и подсоединён
к катушке с индуктивность 10 мГн. Определить: 1) циклическую частоту коле-
баний , частоту колебаний , период колебаний
; 2) уравнение колебаний
заряда, напряжения и силы тока; 3) полную энергию системы, уравнение колеба-
ний электрической энергии , уравнение колебаний магнитной энергии
; 4) построить и проанализировать графики для , , сравнить их
значения в точках
; 5) найти все значения времени из проме-
жутка
электрическая энергия равна магнитной энергии
.
Дано:
58
__________
Найти:
– ? – ?
– ?
– ? – ? – ?
– ? – ? – ?
– ?
Решение:
1) Циклическая частота колебаний
Частота колебаний
Период колебаний
2) Уравнение колебаний заряда в общем виде
(3.17)
В (3.17) нам неизвестно – амплитуда колебаний заряда;
– начальная
фаза колебаний.
В начальный момент времени напряжение в конденсаторе было мак-
симально. Напряжение и заряд взаимосвязаны между собой соотношением
(3.18)
Следовательно, заряд в начальный момент времени также будет максималь-
ным . Запишем (3.17) для начального момента времени и определим
;
Амплитуду колебаний заряда определим с помощью (3.18)
Уравнение колебаний заряда
Уравнение колебаний напряжения в общем виде
(3.19)
Поскольку в начальный момент времени напряжение в конденсаторе
было максимально, постольку оно будет представлять амплитуду колебаний
напряжения . Все остальные параметры (3.19) уже определены, запи-
сываем уравнение колебаний напряжения
Уравнение колебаний силы тока в общем виде
59
(3.20)
– амплитуда колебаний силы тока, оно выражается по формуле
Записываем уравнение колебаний силы тока
3) Полная энергия системы
.
В начальный момент времени вся энергия была сосредоточена в кон-
денсаторе, ток в данный момент отсутствовал. Тогда полная энергия системы
будет равна энергии заряженного конденсаторе в начальный момент времени
С другой стороны, полная энергия системы
будет равна амплитуде ко-
лебаний энергии
.
Уравнение колебаний электрической энергии в общем виде
(3.21)
Все параметры в (3.21) уже определены, записываем уравнение колебаний
электрической энергии
Уравнение колебаний магнитной энергии в общем виде
(3.22)
Все параметры в (3.22) уже определены, записываем уравнение колебаний
магнитной энергии
4) Построить и проанализировать графики для , , сравнить их
значения в точках
. Запишем уравнения , в сим-
вольной форме
Для удобства анализа будем строить графики, нормированные на единицу.
(3.23)
(3.24)
Период колебаний
; циклическая частота
.
Эти величины связаны соотношением
На протяжении периода колебаний
заряд, напряжение и сила тока совер-
шают одно колебание, но
и
совершают два полных колебания, то
есть колеблются с удвоенной частотой
. Это видно, если в (3.21), (3.22) ис-
пользовать формулы двойного аргумента
60
Из данных соотношений следует, что циклическая частота колебаний энер-
гии равна , следовательно на протяжении периода колебаний
электриче-
ская и магнитная энергии , совершат два полных колебания. Подтвердим наш вывод построением графиков для
.
Графики для , строим с помощью программы Excel, разобьём
ось времени на 50 делений, тогда одно деление равно
Создаем в Excel таблицу для времени и
,
.
Таблица 3.1 – Время, электрическая и магнитная энергии
N
1 2 3 … …
…
50
51
0
2,8
5,6
…
…
…
137,2
140,0
1,0
0,98
0,94 … …
…
0,98
1,0
0
0,02
0,06 … …
…
0,02
0
Заполняем табл. 3.1 данными и строим по ним графики для , ,
Для удобства анализа мы специально построили два графика на одних осях. Методику построения таких графиков см. в Приложении А.
Рисунок 3.4 – Графики колебаний электрической и магнитной энергии
0,0000
0,2000
0,4000
0,6000
0,8000
1,0000
1,2000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Энергия
Время × 10
–3
с
Уравнение колебаний Wэл(t), W
маг
(t)
Wмаг
Wэл
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]