Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика решения задач по курсу физики в техническом университете на заочном факультете. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
Для произвольного тела момент инерции определяется через интеграл, ко-
торый берётся по всему объёму тела
(1.25)
Приближённо момент инерции можно определить, разбив тело на отдель-
ные малые массы и просуммировав по всему телу произведение
(1.26)
Единица измерения: кгм2.
Моменты инерции симметричных тел относительно оси, проходящей через
центр масс, выражаются достаточно просто и зависят от массы тела и его размеров . Приведём моменты инерции некоторых симметричных тел, часто ис-
пользуемых в задачах.
Таблица 1.1 – Моменты инерции некоторых симметричных тел
Тело
Момент инерции
Сплошной однородный цилиндр
(диск)
Тонкостенный цилиндр
Шар
Здесь радиус цилиндра (шара).
2. Момент силы
– векторная величина, характеризующая вращающее дей-
ствие силы на данное тело. Определяется как векторное произведение радиус-
вектора , проведенного от оси вращения до точки приложения силы, на вектор
силы
(1.27)
Вектор момента силы направлен по оси вращения, направление
опре-
деляется по правилу правого винта: на рис. 1.3 мысленно продолжим вектор по
его направлению, теперь вращаем по кратчайшему расстоянию к вектору
,
тогда направление движения правого винта при данном вращении покажет
направление вектора
, в данном случае он направлен вверх и ортогонален к
плоскости образованной векторами и
12
Рисунок 1.3 – Вектор момента силы
Численное значение момента силы
определяется как произведение мо-
дуля
на модуль
и на синус угла между ними
(1.28)
Единица измерения момента силы Нм.
3. Момент импульса материальной точки
относительно точки О – вектор-
ная величина, равная векторному произведению радиус-вектора и вектора им-
пульса
(1.29)
Единица измерения кгм
2
/с. Численное значение момента импульса
опре-
деляется как произведение модуля
на модуль
и на синус угла между ними
(1.30)
4. Основной закон динамики вращательного движения – это аналог второго
закона Ньютона для поступательного движения
(1.31)
где – результирующий момент сил, действующий на тело; – момент инерции
тела;
– угловое ускорение.
1.2 Базовые задачи по механике
1. Дана наклонная плоскость с углами при основании и
. В
вершине наклонной плоскости закреплён невесомый блок, через который перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить, к который прикреплены грузы с
массами и . Коэффициент трения грузов о плоскость равен
0,16. В начальный момент грузы покоятся, потом под действием силы тяжести
они приходят в движение. Определить: 1) вес каждого груза; 2) ускорение, с ко-
13
торым будут двигаться грузы; 3) расстояние, которое пройдут грузы за 1,4 секунды; 4) минимальный коэффициент трения, при котором грузы будут покоиться.
Дано:
;
;
____________
Найти:
- ?
- ?
- ?
- ?
Решение:
Рисунок 1.4 – Движение грузов по наклонной плоскости
Изложим поэтапно, как нужно рассуждать в такого рода задачах (рис. 1.4).
1. Необходимо ввести систему отсчета (СО), в которой мы будем исследовать движение грузов. В данной задаче удобно изучать движение грузов относительно неподвижной наклонной плоскости. Поскольку грузы движутся по разным направлениям, то вводим декартовую систему координат (СК) для каждого
груза отдельно. Груз движется в СК с осями , а груз
в СК с осями
.
14
2. Показываем векторы сил, действующие на каждый груз. На груз
дей-
ствуют силы: – сила тяжести;
– сила трения;
– сила реакции опоры;
– сила натяжения нити. На груз действуют силы: – сила тяжести;
– сила трения;
– сила реакции опоры;
– сила натяжения нити. Поскольку
и , то уместно предположить, что груз
будет двигаться против
оси , а груз будет двигаться вдоль оси . Направление ускорения движе-
ния грузов показано на рис. 1.4
3. Записываем второй закон Ньютона для каждого груза в векторной форме:
(1.32)
(1.33)
Учтём, что блок невесомый, а нить тонкая, невесомая и нерастяжимая. По-
этому в каждой точке нити сила натяжения
будет по модулю одинакова
4. С учётом этого записываем проекцию уравнения (1.32) на оси
:
(1.34)
Записывая (1.34), мы учли, что: 1) груз движется против оси
, поэтому
проекция на ось входит со знаком ; 2) проекция силы тяжести на
ось
направлена вдоль оси, поэтому входит со знаком +; 3) проекция силы тре-
ния
направлена вдоль оси, поэтому входит со знаком +; 4) проекция силы
натяжения нити
на ось направлена против оси
поэтому входит со знаком
; 5) сила реакции опоры
перпендикулярна оси
поэтому её проекция даёт
ноль.
(1.35)
Записывая (1.35), мы учли, что: 1) груз не движется вдоль оси
, по-
этому проекция на ось равна нулю; 2) проекция силы тяжести на ось
направлена против оси, поэтому входит со знаком ; 3) сила трения
пер-
пендикулярна оси поэтому её проекция даёт ноль; 4) сила натяжения нити
перпендикулярна оси
поэтому её проекция даёт ноль; 5) сила реакции опоры
направлена вдоль оси поэтому её проекция даёт знак +.
Используя аналогичные рассуждения, мы записываем проекцию уравнения
(1.33) на оси
:
(1.36)
(1.37)
5. Из уравнения (1.35), (1.37) находим силы реакции опоры, действующие
на грузы и
:
(1.38)
(1.39)
15
Вспоминаем определение веса в механике: это сила
, с которой тело дей-
ствует на опору. По третьему закону Ньютона вес
равен по модулю силе реак-
ции опоры
и противоположен по направлению:
Поэтому вес
равен
(1.40)
Аналогично находим вес
(1.41)
Проводим вычисления по формулам (1.40), (1.41):
(1.42)
(1.43)
6. Записываем силу трения в явной форме
(1.44)
Используя (1.34), (1.36), (1.44) запишем второй закон Ньютона для каждого
груза, используя определение силы трения:
(1.45)
(1.46)
Из системы (1.45), (1.46) выражаем ускорение . Для этого почленно вычи-
таем из уравнения (1.46) уравнение (1.45), при этом сила натяжения нити со-
кращается.
(1.47)
Делаем алгебраические преобразования в (1.47):
Получаем окончательную формула для расчёта ускорения :
(1.48)
Проводим вычисление по формуле (1.48)
(1.49)
7. Формула (1.49) показывает, что ускорения постоянное, следовательно
движение грузов будет равноускоренное. Для расчета расстояния, которое пройдут грузы за 1,4 секунды, используем формулу равноускоренного движения
8. Рассчитываем минимальный коэффициент трения, при котором грузы бу-
дут покоиться. В этом случае ускорение обращается в ноль, следовательно,
грузы не смогут прийти в движение. Используем формулу (1.48), так как
необходимо, чтобы числитель данной формулы обратился в ноль:
(1.50)
Выражаем из (1.50) коэффициент трения:
16
Проводим расчет минимального коэффициента трения
Проверка правильности ответов. Используем законы Ньютона (1.45), (1.46).
Из данных уравнений выражаем силу натяжения , приравниваем между
собой, проверяем равенство левой и правой части:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: ; ; ; ;
2. Через невесомый блок перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить,
к который прикреплены грузы с массами и . На грузе
положен перегрузок с массой . Определить: 1) ускорение , с которым будут двигаться грузы; 2) вес перегрузка ; 3) расстояние , которое прой-
дут грузы за время 0,8 секунды. В начальный момент грузы покоились.
Дано:
____________
Найти:
- ?
- ?
- ?
Решение:
Изложим поэтапно, как нужно рассуждать в такого рода задачах (рис. 1.5).
1. Вводим систему отсчета (СО), связанную с неподвижной землёй. Ось
направим вертикально вверх, движение одномерное вдоль оси .
17
2. Показываем векторы сил, действующие на каждый груз. На груз
дей-
ствуют силы: – сила тяжести;
– сила натяжения нити. На груз
дей-
ствуют силы: – сила тяжести;
– сила натяжения нити. Поскольку
, то уместно предположить, что груз будет двигаться вдоль оси
(вверх), а грузы будет двигаться против оси (вниз). Направление ускорения движения грузов показано на рис. 1.5.
3. Записываем второй закон Ньютона для каждого груза в векторной форме:
(1.51)
(1.52)
Учтём, что блок невесомый, а нить тонкая, невесомая и нерастяжимая. По-
этому в каждой точке нити сила натяжения
будет по модулю одинакова
(1.53)
Рисунок 1.5 – Движение грузов под действием силы тяжести, блок
невесомый
В уравнении (1.52) мы учли, что грузы
движутся совместно как еди-
ное целое, поэтому объединили их в единую массу .
4. С учётом (1.53) записываем проекцию уравнений (1.51), (1.52) на ось
(1.54)
(1.55)
Решаем совместно систему (1.54), (1.55), для этого почленно вычитаем из
уравнения (1.54) уравнение (1.55), при этом сила натяжения нити сокращается.
Мы получаем:
(1.56)
18
Делаем алгебраические преобразования в (1.56).
Выражаем ускорение :
(1.57)
Проводим вычисление по формуле (1.57)
(1.58)
5. Определяем вес перегрузка
. Вспоминаем определение веса в механике:
это сила
, с которой тело действует на опору. По третьему закону Ньютона вес
равен по модулю силе реакции опоры
и противоположен по направлению:
Поэтому вес равен силе реакции опоры
, действующий со стороны
груза на
.
Записываем второй закон Ньютона для груза
в векторной форме:
(1.59)
Записываем проекцию уравнения (1.59) на ось :
(1.60)
Выражаем из (1.60) силу реакции опоры
:
(1.61)
Из формулы (1.61) следует, что вес движущего тела с ускорением в поле
тяжести земли не равен как на покоящейся земле. Он уменьшается, если тело
падает с ускорением вниз, и возрастает, если тело движется с ускорением вверх.
Проводим вычисления по формуле (1.61):
6. Определяем расстояние .
Формула (1.58) показывает, что ускорения постоянное, следовательно,
движение грузов будет равноускоренное. Для расчета расстояния, которое пройдут грузы за 0,8 секунды, используем формулу равноускоренного движения
Проверка правильности ответов. Используем законы Ньютона (1.54), (1.55).
Из данных уравнений выражаем силу натяжения , приравниваем между со-
бой, проверяем равенство левой и правой части:
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: ; ;
19
3. Через блок массой , выполненный в виде сплошного диска,
перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить, к который прикреплены грузы
с массами и . В начальный момент грузы покоились.
Определить: 1) ускорение , с которым будут двигаться грузы; 2) силы натяжения нитей, действующих на грузы с массами и
.
Дано:
кг
____________
Найти:
- ?
- ?
- ?
Решение:
Рисунок 1.6 – Движение грузов под действием силы тяжести, масса блока
не равна нулю
В отличие от задачи №2, в данном случае масса блока не равна нулю, что
приводит к определённому усложнению решения задачи.
20
Изложим поэтапно, как нужно рассуждать в такого рода задачах (рис. 1.6).
1. Вводим систему отсчета (СО), связанную с неподвижной землёй. Ось
направим вертикально вверх, движение одномерное вдоль оси .
2. Показываем векторы сил, действующие на каждый груз. На груз
дей-
ствуют силы: – сила тяжести;
– сила натяжения нити. На груз
дей-
ствуют силы: – сила тяжести;
– сила натяжения нити. Поскольку
, то уместно предположить, что груз будет двигаться вдоль оси (вверх),
а груз будет двигаться против оси (вниз). Направление ускорения движе-
ния грузов показано на рис. 1.6.
3. Записываем второй закон Ньютона для каждого груза в векторной форме:
(1.62)
(1.63)
Поскольку в данном случае масса блока не равна нулю, то силы натяжения
нити с разной стороны блока не равны между собой. Требуется определённая
сила, чтобы раскрутить массивный блок. Так как , то
, следова-
тельно, блок будет вращаться по часовой стрелке.
Записываем проекцию уравнений (1.61) – (1.62) на ось
(1.64)
(1.65)
Система уравнений (1.64), (1.65) – это следствие второго закона Ньютона
для каждого груза. Решить мы её пока не можем, так как в системе два уравнения
и три неизвестных , ,
. Дополнительное уравнений мы найдём, если учтём
вращательное движение блока.
5. Запишем закон динамики вращательного движения для блока в векторной
форме:
(1.66)
где – результирующий момент сил, действующий на блок; – момент инерции
блока;
– угловое ускорение.
Здесь нам необходимо ввести ещё одну ось координат – ось Z. Направим её
перпендикулярно плоскости экрана вдоль оси вращения блока от нас. Вдоль оси
Z направлены вектора и
.
При проекции (1.66) на ось Z получаем
(1.67)
Учтём, что линейное ускорение при вращательном движении связано с
угловым ускорением соотношением
(1.68)
Момент инерции блока, выполненного в виде сплошного диска, равен
(1.69)
Результирующий момент сил
в (1.66) действующий на блок складывается
из двух компонент
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]