Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика решения задач по курсу физики в техническом университете на заочном факультете. Ч.1. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
(1.70)
где
– момент сил, созданный силой
;
– момент сил, созданный силой
.
Эти моменты сил определяются как векторное произведение радиуса-вектора
на вектор силы натяжения нити
.
(1.71)
(1.72)
Запишем теперь модули векторов и
. По правилам векторного произ-
ведения они равны:
;
здесь
– угол между векторами
и
,
– угол между векторами
и
,
как видно из рис. 1.6 ,
,
.
Тогда получаем
;
(1.73)
Следующая наша задача – определить направление векторов
и
. По
правилам векторного произведения они направлены вдоль оси вращения блока.
Покажем на примере векторного произведения
, как правильно
определить направление вектора
при заданном направлении векторов
и
. Смотрим на рис. 1.6 и мысленно продолжим вектор
по его направлению,
теперь вращаем
по кратчайшему расстоянию к вектору
, тогда направление
движения правого винта при данном вращении покажет направление вектора
,
в данном случае он направлен от нас перпендикулярно плоскости экрана вдоль
оси вращения блока, при проекции на ось Z он даст знак плюс. Если подобную
процедуру провести с векторным произведением
, то выяснится,
что он направлен к нам перпендикулярно плоскости экрана вдоль оси вращения
блока, при проекции на ось Z он даст знак минус. Следовательно,
и
направлены противоположно друг другу.
Записываем результирующий момент сил
(1.70) в проекции на ось Z
(1.74)
Подставим (1.68), (1.69), (1.74) в закон динамики вращательного движения
(1.67), получим
(1.75)
Упрощаем уравнение (1.75), сократим на
слева и справа, получим
(1.76)
Данное уравнение есть следствие закона динамики вращательного движе-
ния (1.67).
6. Объединяем уравнения (1.64), (1.65), (1.76) в систему уравнений
(1.77)
(1.78)
22
(1.79)
Система уравнений (1.77) – (1.79) имеет три уравнения и три неизвестных
, ,
, следовательно, её решение однозначно.
Вычтем (1.78) – (1.77), получаем
(1.80)
Приравняем правые части (1.79) и (1.80)
(1.81)
Выражаем из (1.81) ускорение
(1.82)
Формула (1.82) – это окончательная расчетная формула в нашей задаче для
ускорения , подставляем сюда численные данные
Выражаем
из (1.77)
Выражаем
из (1.78)
Мы видим, что действительно
, это необходимое условие, чтобы рас-
крутить массивный блок.
Проверка правильности ответов. Используем законы Ньютона (1.77), (1.78),
проверяем равенство левой и правой частей.
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ:
; ;
4. Тонкостенный цилиндр массой 0,1 кг и радиусом 0,1 м из состояния покоя
начинает скатываться с пологой горки высотой 0,3 м, плавно переходящей в горизонтальный участок. На горизонтальном участке цилиндр сталкивается с другим сплошным однородным цилиндром радиусом 0,1 м и массой 0,2 кг. Удар
абсолютно упругий, прямой, центральный. Какую скорость будет иметь первый
и второй цилиндры после соударения? Потерями на трение пренебречь.
Дано:
23
___________
Найти:
- ?
- ?
Решение:
Рисунок 1.7 – Тонкостенный цилиндр скатывается с пологой горки
Определим сначала скорость
налетающего тонкостенного цилиндра по-
сле скатывания с горки. Ее найдем из закона сохранения энергии (ЗСЭ).
Покоящийся на вершине горки первый цилиндр имеет потенциальную энер-
гию
(1.83)
Когда цилиндр скатится с горки, его потенциальная энергия полностью пе-
рейдет в кинетическую энергию, поскольку система замкнута, и потерями на трение пренебрегаем по условию.
Кинетическая энергия цилиндра складывается из кинетической энергии по-
ступательного движения цилиндра и вращательного движения цилиндра вокруг
центра масс. Используя теорему Кенига, запишем ЗСЭ:
(1.84)
Момент инерции тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей
через центр масс
(1.85)
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением:
(1.86)
Подставляем все в закон сохранения энергии (1.83):
(1.87)
Сократим на
(1.88)
1 2 1
24
Выражаем скорость налетающего цилиндра
Для нахождения скорости второго диска воспользуемся законами сохране-
ния энергии (ЗСЭ) и импульса (ЗСИ) для абсолютно упругого удара.
Рисунок 1.8 – Соударение двух цилиндров
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
ЗСИ (1.89)
Сделаем преобразования в (1.89), перенесем в левую часть слагаемые при
(1.90)
Закон сохранения энергии учитывает, что при абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергия, причем движутся одинаковые по размеру цилиндры (удар прямой, центральный). Кинетическая энергия цилиндра складывается из кинетической энергии поступательного движения цилиндра вдоль оси Х
и вращательного движения диска вокруг центра масс. Используя теорему Кенига, запишем кинетическую энергию первого цилиндра до соударения:
(1.91)
Используем известные нам формулы – момент инерции тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс
(1.92)
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением:
(1.93)
Используя рассуждения, аналогичные для (1.87), получим:
(1.94)
Запишем кинетическую энергию первого цилиндра после соударения
(1.95)
Аналогично запишем кинетическую энергию второго цилиндра после соударения, но учтём, что второй цилиндр сплошной.
Момент инерции сплошной цилиндра относительно оси, проходящей через
центр масс
(1.96)
(1.97)
Запишем закон сохранения энергии при абсолютно упругом соударении
двух цилиндров:
1 2 1
Х
2
25
(1.98)
(1.99)
Перенесем в левую часть слагаемые при
(1.100)
(1.101)
Распишем разность квадратов в (1.101)
(1.102)
Объединим уравнения (1.90) и (1.102) в систему
(1.103)
(1.104)
Поделим почленно уравнение (1.104) на (1.103), получим
(1.105)
Выразим скорость
из полученного уравнения
(1.106)
Подставим
в закон сохранения импульса (1.89):
(1.107)
Выразим из (1.107) скорость
(1.108)
(1.108) – расчетная формула задачи, подставляем численные данные, полу-
чаем ответ.
Определяем скорость
первого цилиндра после соударения из уравнения
(1.107)
Положительное значение скорости
означает, что второй цилиндр после
соударения покатится в направлении оси Х; отрицательное значение скорости
означает, что первый цилиндр после соударения покатится в противополож-
ном направлении оси Х.
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии
(1.98), проверяем равенство левой и правой частей.
26
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: , в направлении оси Х,, противопо-
ложно направлении оси Х
5. На покоящийся шар массой 0,1 кг и радиусом 0,1 м, находящийся перед
наклонной плоскостью, катится и налетает тонкостенный цилиндр массой 0,2 кг
и радиусом 0,1 м, движущийся со скоростью 4 м/с. Удар упругий, прямой, центральный. Какую скорость будут иметь данные тела после соударения? На какую
высоту вкатится шар по наклонной плоскости после удара? Потерями на трение
пренебречь.
кг
_________________
Найти:
- ?
- ?
- ?
Решение:
Рисунок 1.8 – Соударение шара с цилиндром
Этап 1. Определяем скорости тел после соударения
Момент инерции тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей
через центр масс
27
(1.109)
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс
(1.110)
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением:
(1.111)
Запишем закон сохранения энергии (ЗСЭ) и закон сохранения импульса
(ЗСИ) для абсолютно упругого удара, рис. 1.8.
ЗСЭ (1.112)
ЗСИ (1.113)
где – масса цилиндра; – масса шара;
– скорость налетающего цилиндра;
– скорость цилиндра после соударения;
– скорость шара после соударе-
ния; – момент инерции тонкостенного цилиндра;
– момент инерции шара.
Решаем уравнение (1.112). Левая часть уравнения (1.112) с учетом (1.109) и
(1.111)
Правая часть уравнения (1.112) с учетом (1.109), (1.110) и (1.111)
В итоге уравнение (1.112) запишется
(1.114)
В уравнении (1.114) перенесем
в левую часть и распишем по формуле
разности квадратов
(1.115)
Решаем уравнение (1.113). Перенесем в левую часть и вынесем
за
скобки
(1.116)
Поделим почленно уравнение (1.115) на (1.116), получим
(1.117)
Выразим скорость
из полученного уравнения (1.117)
(1.118)
Подставим
в закон сохранения импульса (1.113):
(1.119)
Мы получаем уравнение
(1.120)
Выразим из (1.120) скорость шара
28
(1.121)
(1.121) – расчетная формула задачи, подставляем численные данные, получаем
ответ.
Определяем скорость
цилиндра после соударения из уравнения (1.117)
Положительное значение скорости и
означает, что оба тела после со-
ударения покатятся в направлении оси Х.
Этап 2. Определяем, на какую высоту вкатится шар по наклонной плоскости
после удара.
Рисунок 1.9 – Шар после удара вкатывается по наклонной плоскости
Запишем закон сохранения энергии (ЗСЭ) для шара после удара, учитывая,
что начальная кинетическая энергия шара в конечном положении перейдёт в потенциальную энергию
(1.122)
Решаем уравнение (1.122). Левая часть уравнения (1.122) с учетом (1.110) и
(1.111)
Мы получаем уравнение
(1.123)
Выразим из (1.122) высоту
Проверка правильности ответов. Используем закон сохранения энергии
(1.112), проверяем равенство левой и правой частей.
29
Равенство соблюдается, следовательно, ответы правильные.
Ответ: , в направлении оси Х;, в направлении
оси Х;
1.3 Контрольные вопросы к разделу МЕХАНИКА
1. Дана наклонная плоскость с углами при основании и
. В
вершине наклонной плоскости закреплён невесомый блок, через который перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить, к который прикреплены грузы с
массами и . Коэффициент трения грузов о плоскость ра-
вен 0,08. В начальный момент грузы покоятся, потом под действием силы тяжести они приходят в движение. Определить: 1) вес каждого груза; 2) ускорение, с
которыми будут двигаться грузы; 3) расстояние, которое пройдут грузы за 1,8
секунды; 4) минимальный коэффициент трения, при котором грузы будут покоиться.
2. Через невесомый блок перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить,
к который прикреплены грузы с массами и . На грузе
положен перегрузок с массой . Определить: 1) ускорение , с которыми будут двигаться грузы; 2) вес перегрузка ; 3) расстояние , которое
пройдут грузы за время 1,8 секунды. В начальный момент грузы покоились.
3. Через блок массой , выполненный в виде сплошного диска,
перекинута тонкая невесомая, нерастяжимая нить, к который прикреплены грузы
с массами и . В начальный момент грузы покоились.
Определить: 1) ускорение , с которыми будут двигаться грузы; 2) силы натяжения нитей, действующих на грузы с массами и
; 3) кинетическую энергию
данной системы через время 1,8 с.
4. Тонкостенный цилиндр массой 0,2 кг и радиусом 0,1 м из состояния покоя
начинает скатываться с пологой горки высотой 0,56 м, плавно переходящей в
горизонтальный участок. На горизонтальном участке цилиндр сталкивается с
другим сплошным однородным цилиндром радиусом 0,1 м и массой 0,8 кг. Удар
абсолютно упругий, прямой, центральный. Какую скорость будет иметь первый
и второй цилиндры после соударения? Рассчитать кинетическую энергию каждого цилиндра после соударения. Потерями на трение пренебречь.
30
5. На покоящийся шар массой 0,25 кг и радиусом 0,1 м, находящийся перед
наклонной плоскостью, катится и налетает тонкостенный цилиндр массой 0,45
кг и радиусом 0,1 м, движущийся со скоростью 6 м/с. Удар упругий, прямой,
центральный. Какую скорость будут иметь данные тела после соударения? На
какую высоту вкатится шар по наклонной плоскости после удара? Рассчитать
кинетическую энергию каждого тела после соударения. Потерями на трение пренебречь.
6. На покоящийся сплошной цилиндр массой 0,15 кг и радиусом 0,1 м, находящийся перед наклонной плоскостью, катится и налетает шар массой 0,35 кг и
радиусом 0,1 м, движущийся со скоростью 10 м/с. Удар упругий, прямой, центральный. Какую скорость будут иметь данные тела после соударения? На какую
высоту вкатится цилиндр по наклонной плоскости после удара? Рассчитать кинетическую энергию каждого тела после соударения. Потерями на трение пренебречь.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]