Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Логико-философские труды. Логические исследования. Основоположения арифметики
.pdf
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пол Бенацерраф
ФРЕГЕ: ПОСЛЕДНИЙ ЛОГИЦИСТ*
Первая версия этой статьи была подготовлена и прочитана
на коллоквиуме в Чапел Хилл в университете Северной Каролины в октябре 1976 г. Она также послужила основой для двух
семинаров, предложенных вниманию автором в университете
Миннесоты в Морисе в феврале 1980 г. Я особенно признателен Стиву Вангеру, Фабрицио Мондадори, Глену Кесслеру, Яну
Хакингу, Давиду Каплану, Джиму Вэну Эйкену и Хайди Ишигуро за их полезные комментарии к первоначальному наброску.
Окончательная версия была завершена, когда автор был стипендиатом Центра специальных исследований в науках о поведении. С благодарностью выражаю признательность за поддержку Центру, фонду Слоана, Национальному фонду гуманитарных
наук и Принстонскому университету.
* Статья известного специалиста в области философии математики
П. Бенацеррафа вызывает интерес уже своим названием «Фреге: последний логицист». Долгое время философия математики Г. Фреге рассматривалась как исходный пункт разветвлённого движения логицизма, стремящегося свести математику к логике. Логицизм при этом трактовался как
утверждение об аналитической природе математических истин, применяемых для преобразования эмпирических предложений. Такой подход,
например, был свойствен представителям Венского кружка. Однако, как
показывает Бенацерраф, истолкованный таким образом логицизм вовсе
не был свойствен Фреге, который ни в коем случае не был сторонником
эмпиризма. Его цель заключалась совсем в другом и была мотивирована
попыткой возродить реализм платонистского толка в математике и логике. В этом отношении, если логицизм в основаниях математики связывать
с именем Г. Фреге, то он действительно был не только первым, но и последним логицистом.
Перевод выполнен по изданию: Benacerraf P. Frege: e Last Logicist //
Midwest Studies In Philosophy VI, Minneapolis, MN, 1981, P. 17–35.
Цитаты из Grundlagen приводятся по переводу из данного издания.
252
ФРЕГЕ: ПОСЛЕДНИЙ ЛОГИЦИСТ
В молодости меня научили нескольким фундаментальным истинам: Фреге был отцом логицизма, поскольку он показал, что
арифметика на самом деле является только (искусно замаскированной) логикой и, следовательно, что она в действительно сти
является аналитической и поэтому априорной. И всё это показывает, где относительно арифметики, а также, вероятно, и относительно всего остального так называемого синтетического
a priori, ошибался Кант.
Мне говорили также, что Фреге изобрёл ту логику, которой
и была на самом деле арифметика (или, по крайней мере, что он
был отцом современной логики). Я не задумывался (возможно,
мне не приходило в голову задаться вопросом) над этим слишком
уж счастливым совпадением открытия и изобретения. Необходимо учесть по меньшей мере десятилетний интервал, пролегающий между открытием (изобретением) законов логики и дальнейшим (?) открытием того, что они как раз и есть то, относительно
чего нужно показать, что базовые законы арифметики на самом
деле с самого начала являются базовыми законами логики.
Здесь у нас есть целый клубок проблем, а именно:
– касающихся того, что, работая, думал сам Фреге;
– касающихся того, что мы взяли из того, что он сделал как
для логики, так и для арифметики;
– касающихся в более общих чертах надлежащей оценки фи-
лософской важности этих достижений.
Данная статья посвящена некоторым из этих тем. Мой непосредственный интерес будет заключаться в том, чтобы исследовать роль логицистской доктрины в эмпирицизме двадцатого
века с целью проверить, были ли взгляды позитивистов, усвоенные (или приспособленные) от Фреге, взглядами, которых придерживался он сам. Я надеюсь, что мои соображения послужат
исходным пункт ом для более полного понимания собственных
взглядов Фреге и в конечном счёте для обсуждения увлекательных философских тем. Для начала я должен вернуться к фундаментальным истинам, которым меня научили в молодости. Они
связаны с содержанием и философской важностью тезиса логицизма.
1. ЛОГИЦИЗМ
Логицизм, как я его усвоил, был философской точкой зрения,
близкородственной эмпирицизму. Последний был возвещён Кар-
253
Пол Бенацерраф
напом, Гемпелем, членами Венского кружка, Айером и другими
как ответ на учение Канта, что пропозиции арифметики являются
априорно синтетическими. Фокусируясь на предложениях, выражающих математические пропозиции, логицисты допускают, что
они являются априорными — что их можно знать независимо
от опыта (кроме, конечно, того, что в опыте может возникнуть
потребность для того, чтобы их сформулировать). Но, отвечая
Канту, логицисты утверждают, что эти пропозиции являются априорными, потому что они аналитические, т. е. потому что они
являются истинными (или ложными) просто «в силу» значений
терминов, в которых они сформулированы. Таким образом, знать
значения этих терминов — значит знать всё, что требуется для
знания их истинности. Эмпирического исследования не требуется. Философская цель продвижения этого взгляда была открыто
эпистемологической, ибо логицизм, если бы он был подтверждён,
показал бы, что наше знание математики может быть объяснено
нашим знанием языка, каким бы ни было объяснение. И, конечно, предполагалось, что знание языка само могло быть объясне-
но способами, совместимыми с эмпирицистскими принципами,
которыми вполне можно изучить сам язык*. Таким образом, всё
наше знание, следуя Юму, однажды можно было бы увидеть как
затрагивающее либо «соотношение идей» (т. е. аналитическим и
априорным), либо «факты» (т. е. синтетическим и апостериорным). Сомнение Канта в этой дихотомии было бы устранено демонстрацией того, что его наиболее сомнительный контрпример,
а именно математика, хотя по общему признанию и априорная,
была ошибочно классифицирована им как синтетическая.
Логицизм укладывается в несколько различных версий, каждая со своими новшествами, но большинство из этих версий имеет следующую общую структуру:
1. Истины арифметики переводимы в истины логики.
2. (1) демонстрируется тем, что:
а) устанавливаются определения для «внелогического»
сло варя (понятий) арифметики в «сугубо логических» терминах; и
* Современные дискуссии в основаниях лингвистической теории показали, что, даже принимая лингвистическую природу математических истин, эмпирицисты находятся на некотором расстоянии от цели. Я думаю,
эти аргументы проблематичны, но само их существование показывает, что
предмет не кристально ясен. Здесь я подразумеваю работы Ноама Хомского.
254
ФРЕГЕ: ПОСЛЕДНИЙ ЛОГИЦИСТ
b) отмечается, что переводы, санкционированные этими
определениями, перевели арифметические истины в логические истины, а арифметически ложные утверждения
в логически ложные.
3. Об этой арифметической демонстрации затем утверждает ся, что обоснована аналитичность математических пропозиций, потому что: (а) поскольку определения, по пред положению, сохраняют значение, логические переводы имеют
то же самое значение, что и арифметические оригина лы, и (b)
сами логические истины мыслятся истинными в силу значения, в данном случае значений, встречающихся в них логических частиц (и, таким образом, аналитиче скими).
Как бы там ни было, именно эта живучая точка зрения много
раз обсуждалась. Я сам был вовлечён в эту дискуссию некоторое время назад*, в той её части, которая может быть прочитана
как доказательство того, что либо определения математических
терминов не сохраняют их значения, либо же что их значение
не предопределяет их референт, поскольку различные и равным
образом адекватные определения приписывают различные референты математическому словарю. Позднее я покажу, что Фреге и я говорим здесь в унисон (хотя прежде я и считал, что он
придерживался противоположной точки зрения). Определения,
адекватные его целям, не сохраняют референта. Но подробнее
об этом позднее. В данный момент я прежде всего заинтересован в очерчивании логицистской позиции с целью сравнить её с
позицией самого Фреге.
Относительно мало было написано на тему, является ли аналитичной сама логика, поэтому слово может здесь быть просто
для того, чтобы локализовать вопрос и некоторые возможные на
него ответы в спектре рассматриваемых позиций.
Если, как поступил У. В. Куайн**, определить аналитическую
исти ну как преобразуемость в логическую истину посредством
сохраняющих значение определений, тогда то, что законы логики являются аналитическими, становится тривиальным; но применительно к логике такое определение мало относится к традиционному подходу к аналитичности как истине-в-силу-значений.
* P. Benacerraf. What Numbers Could Not Be, Philosophical Review 74,
No. 1 (January 1965); P. 47–73.
** W. V. Q ui n e. Two Dogmas of Empiricism, перепечатано в Philosophy of
Mathematics, ed. P. Benacerraf and H. Putnam (Englewood Cliff s, N.J., 1964).
Далее этот сборник цитируется как «B&P».
255
Пол Бенацерраф
Однако это последнее объяснение взяло на себя труд убедить
нас в том, что аналитические пропозиции также являются априорными. В пользу определения Куайна следует также упомянуть,
что оно выводит свою родословную от Фреге, а через него к Канту. Ибо рассмотрение аналитичности у Фреге в начале Grundla-
gen заключалось в следующем:
Это зависит от того, чтобы найти доказательство и свести
математическую истину к первичным истинам. Если на этом
пути наталкиваются только на общие логические законы и
определения, то обладают аналитической истиной… (Grund-
lagen, 27).
Таким образом, пропозиция является аналитической, если при
её доказательстве используются только общие логические законы и определения.
Ниже мы рассмотрим данное определение в деталях. Аспект,
который следует отметить в настоящий момент, состоит в том,
что «доказательства» из общих законов и определений доста-
точны для аналитичности. Разумеется, это не делает описание
Фреге эквивалентным описанию, предполагаемому (но не отстаиваемому) Куайном, поскольку у Куайна и Фреге есть различия относительно того, чем должна быть логика, и, вероятно,
относительно роли определений. Для Куайна логика есть теория первого порядка с квантификацией плюс равенство, тогда
как для Фреге она значительно обширней. Поскольку более узкая версия логики у Куайна недостаточна для «доказательства»
законов арифметики, математика не является аналитической в
смысле Куайна, хотя она всё ещё может оставаться таковой
в смысле Фреге. Я говорю «может быть», поскольку, когда логика Фреге впала в противоречие (и, предположительно, тем самым перестала также быть логикой), его точка зрения осталась
несколько неопределённой; окажется ли математика аналитичной в смысле Фреге, должно зависеть по крайней мере от того,
какую логику подставляют вместо неудачной версии Фреге.
Связь с Кантом устанавливается самим Фреге, когда он уподобляет свой собственный подход его подходу, но упрекает Канта за узость его концепции (Grundlagen, параграф 88). Он критикует Канта за то, что тот даёт определение, которое применимо
только к универсальным общим пропозициям — к пропозициям,
которые могут быть истолкованы как имеющие субъектно-пре-
256
ФРЕГЕ: ПОСЛЕДНИЙ ЛОГИЦИСТ
дикатную форму, — и за слишком узкую концепцию определения, которая, вероятно, приспособлена для использования при
демонстрации того, что понятие субъекта пропозиции содержит
понятие предиката.
Поэтому Фреге, предлагая объяснение аналитичности, замыслил улучшить Канта в двух аспектах: (а) его объяснение классифицировало все пропозиции как аналитические или синтетиче ские, т. е. оно, по предположению, является исчерпывающим, и
(b) его объяснение расширяло концепцию определения за рамки кантовского понятия (на которое Фреге ссылается как на определение «посредством заданных признаков») (Grundlagen, 109)
до понятия, которое охватывает «дей ствительно продуктивные
определения в математике» (Grundlagen, 110)*.
Я хочу подчеркнуть эпистемологическую мотивацию логициста двадцатого века. Это, конечно, проявляется в третьей
составляющей его точки зрения, где такой логицист пытается пожинать богатый философский урожай из семян, которые
по сеял Фреге. Поразительный пример представляет собой позиция, представленная К. Г. Гемпелем в статье**, которая, хотя
в дей ствительности и не задаёт нового основания, представила ядро этих взглядов настолько, насколько удалось Гемпелю.
Согласно Гемпелю, фреге-расселовское определение числа, 0,
наследника и относящихся сюда понятий показало, что пропозиции арифметики являются аналитическими, поскольку они
обосновываются, будучи обусловлены определениями, отталкивающимися от логических принципов. Ясно, что Гемпель
подразумевает здесь то, что при объяснении формальной системы логики (теория множеств или второпорядковой логики
* Я не могу воздержаться, чтобы не заметить в защиту Канта, что при
условии кантовского понятия аналитичности его концепция определения
превосходна. Только когда вы расширяете данное понятие à la Фреге, это
определение «посредством заданных признаков» становится слишком суженным — в част ности, если вы определяете функции так же, как предикаты. Поэтому аргументация Фреге в конце параграфа 88, сводящаяся к
тому, что Кант ошибочно рассматривал как синтетические определённые
заключения, выведенные из его (Фреге) новой разновидности определения
с помощью чисто логических средств, содержит со стороны Фреге petitio
principii, ибо только на основании фрегевского понятия аналитичности
они оказываются аналитическими, безотносительно к разновидности определения, используемой в доказательстве.
** C. G. Hempel. On the Nature of Matehematical Truth, перепечатано
в «B&P».
257
Пол Бенацерраф
плюс аксиома бесконечности) можно посредством оговоренных определений ввести выражения ‘Число’, ‘Ноль’, ‘Наследник’
таким способом, что предложения такой формальной системы,
использующие эти введённые сокращения и которые формально являются теми же самыми (т. е. толкуются тем же самым
способом), что и определённые предложения арифметики —
например, ‘Ноль есть число’, — обнаруживаются как теоремы
системы. Из этого неоспоримого факта он заключает, что эти
определения показывают, что теоремы арифметики являются
лишь относящимися к способу записи расширениями теорем
логики и, таким образом, аналитическими.
У него нет полномочий на это заключение. У него не было бы
полномочий, даже если бы теоремы логики в их изначальной за-
писи сами были аналитическими. Ибо единственное, относительно чего можно показать, что оно следует из теорем логики
посредством соглашения, суть сокращённые теоремы логистической системы. Чтобы выгодно использовать это в аргументе
относительно пропозиций арифметики, нужен аргумент, что предложения арифметики в их доаналитическом смысле подразуме-
вают то же самое (или приблизительно то же самое), что и их
синонимы в логистической системе. Это требует особой и более
широкой аргументации. Я ставлю это на обсуждение не для того,
чтобы скомпрометировать Гемпеля, но чтобы использовать его
взгляды как иллюстрацию эпистемологической мотивации, которая провоцирует логицистов двадцатого века. Суть логицизма должна сделать осмысленным то, как мы можем обладать
априорным знанием математики. «Посредством соглашения»,
говорит Гемпель. Если бы это хоть в какой-то степени было правильным, всё сводилось бы к проблеме аналитичности логики,
к проблеме, которую я здесь не решаю, хотя и буду указывать
некоторые очевидные способы, в которых определённые ответы воздействуют на надлежащую оценку философской позиции
логицистов.
Вопрос становится особенно запутанным, когда в контексте
защиты такой логицистской позиции, в свою очередь, обсуждает ся аналитичность логики, ибо такая логика должна включать
достаточное количество материала из теории множеств (или подходящего эквивалента), чтобы охватить достаточное количество математики. Единственное решение, которое, по-видимому,
предлагается в этом случае, состоит в том, что аксиомы конституируют имплицитные определения понятий. Это — форма
258
ФРЕГЕ: ПОСЛЕДНИЙ ЛОГИЦИСТ
конвенционализма, истолковывающая аксиомы как соглашения,
которые должны управлять использованием терминов, которые
они содержат: Используй/понимай этот язык так, чтобы его
предложения оказались истинными! Достаточно трудно понять,
когда интерпретация «логического словаря» фиксирована, ибо
как инструкция, применимая ко всему языку, она вообще не
имеет смысла, а как объяснение того, как предложения логики
факти чески получают свои истинностные значения, она бесполезна, что в значительной мере прояснили Куайн* и другие.
Логика не нуждается в применении такого правила к индивидуальным случаям. Конечно, фактически может быть случай,
при котором мы используем язык таким способом, что рассматриваемые предложения оказываются истинными. Но мы ищем
такое объяснение этого факта, которое в то же самое время де-
лало бы истинностные значения этих предложений известными
a priori. Ибо это и есть цель, которую установили для себя логицисты двадцатого века.
До сих пор я концентрировался на истолковании комплекса философских взглядов, принятых в философской установке,
отвечающей на кантовский вызов эмпирицизму, которым и был
логицизм этого века. Я могу показаться крайне эксцентричным,
поскольку, обсуждая логицизм двадцатого века, не упомянул наиболее известного его представителя, а именно Рассела-Уайтхеда.
Я опустил упоминание о нём по двум причинам: (1) потому что
краткий отчёт не охватит его изворотливые и меняющиеся установки; (2) потому что, вероятно, по этой самой причине то, что
я в свободной манере называю «логицизмом», в большей степени питалось его (и Фреге) техническими достижениями, чем его
неустойчивыми философскими мнениями об этих достижениях.
(В скобках могу добавить, что сказанного даже много для того,
чтобы уже установить несостоятельность различия между его
«техническими достижениями» и его «философскими взглядами», как хорошо известно любому, кто пытался разгадать понятие пропозициональной функции в Principia Mathematica.)
Далее, общепризнанный взгляд таков: на вызов Канта был дан
ответ. На самом деле математика аналитическая, а не синтетическая. Это было продемонстрировано Фреге, когда он показал,
каким образом математические пропозиции имеют одинаковое
значение с логическими пропозициями, которые сами являются
* W. V. Q ui n e. Truth by Convention, перепечатано в «B&P».
259
Пол Бенацерраф
аналитическими (и, следовательно, известными a priori). Фреге
показал это, анализируя «внелогический» словарь арифметики и
обеспечивая определениями, которые сохраняют значение (и, следовательно, референцию и истинность). Фреге, следовательно,
был первым логицистом.
2. ФРЕГЕ
Если Фреге был первым логицистом, то он также был и последним. Если уместно провозгласить, что Фреге действительно
верил в «логицизм», и если он был первым, кто верил в него, то,
наиболее вероятно, он был также и последним. Насколько я знаю,
никто со времён Фреге — и уж точно не «логицисты» двадцатого века — не придерживались в точности той позиции, которую
защищал Фреге в Grundlagen и которая сподвигла его написать
этот философский шедевр. Несмотря на то, что взгляды, представленные в общем виде в предыдущем параграфе, широко поддерживались (я думаю, что большинство философов, рассматривавших данную тему, близки «логицизму» в этом смысле), они не
были фрегевскими. Есть различные точки соприкосновения, которые приводят к попытке сделать вывод, что Фреге придерживался такой позиции, но я буду отстаивать, что это не так, — что
его точка зрения была намного более интригующей и в его духе
прямо антитетической философской мотивации его «последователей» в двадцатом веке*.
Прежде всего, Фреге, конечно, не был эмпирицистом. Действительно, одной из философских целей Grundlagen было доказать
* Взгляд, который я назвал «логицизмом», очевидно, является сочетанием двух точек зрения: семантического тезиса в том смысле, что ариф-
метика является дефиницонным расширением логики, и эпистемологического утверждения о том, как это объясняет априорный характер ариф-
метики. Очевидно, можно (и, вероятно, следует) сохранить это название
только для семантического тезиса, и в этом случае Фреге определённо был
бы логици стом в той же степени, что и его последователи (хотя здесь также многое зависит от того, как интерпретировать «дефиниционные расширения» — коварный вопрос, который я детально рассмотрю в конце
этой статьи).
Я избрал нынешний метод отчасти для драматического эффекта, отчасти потому, что на самом деле я не уверен в том, насколько ясно оба тезиса
могут быть отделены один от другого — насколько философская мотивация
за рамками заданной формы семантического тезиса заражает сам тезис.
260
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]