Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исчисление рисков. Практикум по курсу «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций» (задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и кейсы)
.pdf
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
(СибГУТИ)
В. С. Канев
Исчисление рисков
Практикум по курсу
«Теория риска и моделирование рисковых ситуаций»
(задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и кейсы)
Новосибирск
2020
2
УДК 654.07.012.12
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент: доцент, к.т.н. Приставка П.А.
Канев В.C. Исчисление рисков : Практикум по курсу «Теория риска и мо-
делирование рисковых ситуаций» (задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и
кейсы) / Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск, 2020. –
53 с.
В практикуме излагаются учебно-методические рекомендации, основной
инструментарий, примеры, задачи и упражнения, а также тесты для формирования и закрепления практических навыков исчисления рисков по следующим разделам курса «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций»:
соизмерение априорных и апостериорных вероятностей;
выбор в условиях риска, стохастическое доминирование;
расчёт капитала (сумма) под риском;
ожидаемая полезность, измерение отношения к риску.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению
подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика и 09.03.03 Прикладная информатика квалификации (степени) «бакалавр».
Кафедра математического моделирования бизнес-процессов
© Канев В.С., 2020
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2020
3
СОДЕРЖАНИЕ
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ………………………………..………….…....4
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………5
1 Соизмерение априорных и апостериорных вероятностей…………5
1.1 Необходимый инструментарий………………………………………...5
1.2 Примеры…………………………………………………………………5
1.3 Упражнения……………………………………………………………..7
1.4 Индивидуальные расчётно-графические задания…………………….8
2 Выбор в условиях риска. Стохастическое доминирование…….…13
2.1 Необходимый инструментарий……………………………………….14
2.2 Примеры………………………………………………………………..14
2.3 Упражнения…………………………………………………………….16
2.4 Индивидуальные расчётно-графические задания……………………17
3 Расчёт капитала (сумма) под риском ……………………………….17
3.1 Необходимый инструментарий……………………………………….18
3.2 Примеры………………………………………………………………..19
3.3 Упражнения…………………………………………………………….19
3.4 Индивидуальные расчётно-графические задания…………………...20
4 Ожидаемая полезность. Измерение отношения к риску ………….20
4.1 Необходимый инструментарий……………………………………….20
4.2 Примеры……………………………………………………………..…23
4.3 Упражнения…………………………………………………………….37
4.4 Индивидуальные расчётно-графические задания…………………...37
5 Тесты……………………………………………………………………..40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………..…52
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………….……52
4
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
H1, H2, … H
n
– события гипотезы
Р(А) – вероятность события А
Р(A | Н1) – условная вероятность события А при условии, что событие Н1 произо-
шло
F(x), G(x) – функции распределения случайной величины х
F(x) I G(x) – функция распределения F(x) доминирует функцию распределения
G(x) в смысле стохастического доминирования первого порядка
F(x) II G(x) – функция распределения F(x) доминирует функцию распределения
G(x) в смысле стохастического доминирования второго порядка
М(Х) или Е(Х) – математическое ожидание случайной величины Х
D(Х) – дисперсия случайной величины Х
VaR – капитал под риском
L – рисковая лотерея
5
ВВЕДЕНИЕ
Практикум предназначен для отработки практических навыков расчёта рис-
ков в рисковых ситуациях. По каждому тематическому разделу даётся необходимый инструментарий, примеры и упражнения, также индивидуальные расчётно-графические задания.
Приступать к практическому исчислению рисков следует после основательного изучения теоретического материала. Для проверки этой основательности
приводятся тесты, с помощью которых можно локализовать итеративно и адресно пробелы в теории и приступить к расчётам.
1. Соизмерение априорных и апостериорных вероятностей
1.1 Необходимый инструментарий
Если события H1, H2, … Hn образуют полную группу попарно несовместных
событий (гипотез), имеющих положительные вероятности, то вероятность события A может быть определена по формуле полной вероятности:
В этих же условиях имеет место формула Байеса, позволяющая пересчитать
априорные вероятности гипотез Hi в свете того факта, что в результате испытания произошло некоторое событие A с P(A) > 0:
( i = 1,2,…,n)
1.2 Примеры
Пример 1. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «ти-
ре». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых
сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.
Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а)
принят сигнал «точка»; б) принят сигнал «тире».
Решение. Пусть событие А – принят сигнал «точка», а событие В – при-
нят сигнал «тире».
Можно сделать две гипотезы: H1 – передан сигнал «точка», Н2 – передан
сигнал «тире». По условию Р(Н1):Р(Н2) = 5: 3. Кроме того, Р(Н1)-Р(H2) = 1. Поэтому Р(Н1) =
Р(Н
2
) =
Известно, что
)HA(P)H(P)A(P
k
n
1k
k
n
1k
kk
ii
i
)HA(P)H(P
)HA(P)H(P
)AH(P
6
Р(A | Н1) =
Р(A | Н
2
) =
Р(B | Н1) =
Р(B | Н
2
) =
Вероятности событий A и B находим по формуле полной вероятности:
Р(A) =
Р(B) =
Искомые вероятности будут:
а)
;
б)
.
Пример 2. Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной
партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4
деталей недоброкачественные, Деталь, взятая из наудачу выбранной партии,
оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь
из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после
проверки возвращена в партию.
Решение. Гипотезы: H1 – взята партия с недоброкачественными деталя-
ми, H2 – взята партия доброкачественных деталей. Событие А – первая деталь
доброкачественная. По условию задачи
P(A|H
2
) = 1. Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А
будет
После первого испытания вероятность того, что
партия содержит недоброкачественные детали, равна
.
Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные дета-
ли,
Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по
формуле полной вероятности. Если р1, и р2 – вероятности гипотез H1 и H2 после
испытания, то согласно предыдущим вычислениям
,
. Кроме того,
Поэтому искомая вероятность
1.3 Упражнения
1. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два
черных и по два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из ур-
7
ны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен
из урны, содержащей пять белых шаров?
2. Имеется k1: урн, в каждой из которых m1 белых и n1 черных шаров, и
k2 урн, содержащих по m2 белых и по n2 черных шаров. Извлеченный из наудачу выбранной урны один шар оказался белым. Какова вероятность, что данный
шар извлечен из первой группы урн?
3. Два стрелка поочередно стрелка поочередно стреляют в мишень. Ве-
роятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и
0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличивается на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?
4. Игрок D играет с неизвестным противником на следующих условиях:
нижний исход исключен; первый ход делает противник; в случае его проигрыша делает ход D, выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше
игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух равновозможных противников B имеет вероятность выиграть первым ходом 0,4, а вторым – 0,3; C
имеет вероятность выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом 0,6. Для D вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит от противника, а для
второго хода равна 0,5 при игре с B и 0,7 при игре с C. Игру выиграл D.
Какова вероятность: а) что противником был B; б) что противником был
C?
1.4 Индивидуальные расчётно-графические задания
1.1 Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем объем продукции
второго завода в три раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у
первого завода 1%, у второго 2%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и в таком виде пустили в продажу. Какова вероятность того, что приобретенное изделие окажется бракованным?
1.2 Два игрока играют по следующим правилам. Бросается игральная кость и в
случае выпадения 1 или 2 выигрывает первый игрок и игра прекращается. В
случае выпадения 3, 4, 5 или 6 кость бросается вторично. Если при втором бросании кости выпадает 1 или 2, то выигрывает первый игрок, в противном случае выигрывает второй. Является ли игра более выгодной для первого игрока,
чем для второго? Указание: сравнить вероятности выигрышей игроков.
2.1 Магазин получил три партии изделий. В двух партиях все изделия доброкачественные, а в одной – 15% бракованных. Для контроля из наугад выбранной
партии берется одно изделие. Какова вероятность того, что это изделие бракованное?
8
2.2 Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые
повторяются. Студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на
два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
3.1 В магазин поступают изделия с двух заводов, причем первый поставляет
60%, а второй – 40% всего количества. Известно, что первый завод выпускает
80% продукции высшего сорта, а второй – 90%. Какова вероятность того, что
наугад взятое изделие будет высшего сорта?
3.2 В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них вы-
ходит с вероятностью p; кроме того, в автобус с вероятностью p
0
не входит ни
один пассажир и с вероятностью 1-p
0
входит один новый пассажир. Найти ве-
роятность того, что, когда автобус снова тронется в путь после следующей
остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров.
4.1 Имеются три одинаковые с виду урны. В первой белых шаров и b
черных; во второй белых и d черных; в третьей только белые шары.
Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее два шара. Найти вероятность того, что это будут белые шары.
4.2 Завод изготавливает изделия определенного типа, причем каждое изделие
имеет дефект с вероятностью 0,1. Изделие осматривается контролером, он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,95. Кроме того, с вероятностью 0,03 контролер может по ошибке забраковать бездефектное изделие.
Найти вероятность того, что изделие на контроле будет забраковано.
5.1 В урне a белых и b черных шаров. Бросается монета; если выпадает герб, то
в урну добавляется белый шар, если решка, то черный. Найти вероятность того,
что вынутый затем из урны шар окажется белым.
5.2 Имеется два стрелка. Хороший стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9,
а плохой – с вероятностью 0,3. Подбрасывается монета; при выпадении герба
стреляет хороший стрелок, при выпадении решки – плохой. Наблюдатель не
знает результата бросания монеты и не видит, кто стреляет. Какова вероятность
того, что стрелял хороший стрелок, если наблюдатель зафиксировал попадание
в цель?
6.1 В урне a белых и b черных шаров. Бросается игральная кость, и в урну до-
бавляется столько белых шаров, сколько выпадет очков на игральной кости.
Найти вероятность того, что вынутые после этого из урны два шара будут белыми.
)2a(a
)2c(c
9
6.2 Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Первый
товаровед проверяет 60% всех изделий, а второй – 40%. Вероятность того, что
стандартное изделие будет признано нестандартным первым товароведом, равна 0,02, а вторым – 0,1. Стандартное изделие при проверке было признано
стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.
7.1 Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну,
содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого
из второй урны белый шар.
7.2 Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся брако-
ванным. Любое количество бракованных изделий в партии равновозможно. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?
8.1 Имеются две урны: в первой a белых и b черных шаров; во второй c белых
и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя один шар. По-
сле этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар
будет белым. Какова будет вероятность этого события, если исходные составы
урн одинаковые?
8.2 Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный
стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Из какой группы вероятнее
всего был этот стрелок?
9.1 В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны
наугад извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй
урны наугад извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность
того, что извлеченный затем из третьей урны шар окажется белым.
9.2 Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из урны,
взятой наудачу, извлечен белый шар. Найти вероятность того, что шар извлечен
из урны; содержащей пять белых шаров.
10.1 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20
шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наугад извлекали по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад взяли один шар. Найти вероятность того, что
взят белый шар?
10.2 Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Найти
вероятность того, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при третьем выстреле произошло попадание.
10
11.1 В ящике 15 мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся
три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Какова вероятность того,
что три мяча, наугад взятых для второй игры, будут новыми?
11.2 У рыбака имеется три любимых места для ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом
месте, рыба клюет с вероятностью p1; на втором месте – с вероятностью p2; на
третьем – с вероятностью p3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три
раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того,
что он удил на первом месте.
12.1 Группа студентов состоит из a отличников, b хорошо успевающих и c за-
нимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной
вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти
вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
12.2 Пассажир может пойти за билетом в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от местоположения и равны соответственно P1,
P2 , P3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе
билеты будут проданы, равны для первой кассы α1, для второй – α2, для третьей – α3. Пассажир направился в одну из трех касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была третья касса.
13.1 Имеются две урны: в первой a белых и b черных шаров во
второй c белых и d черных. Из первой урны перекладывают, не глядя, три шара.
После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот
шар будет белым.
13.2 Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две
непересекающиеся цели. Вероятность попадания в первую цель равна P1, во
вторую P2 . После выстрела получено известие, что попадания в первую цель не
произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание во вторую цель?
14.1 Студент знает из n экзаменационных билетов k билетов В ка-
ком случае вероятность вытянуть известный билет максимальная, когда он вы-
таскивает билет первым или вторым?
14.2 Вероятность попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков
имелось два попадания. Определить вероятности того, что промахнулся третий
стрелок.
);3b,3a(
).nk0(
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]