Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исчисление рисков. Практикум по курсу «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций» (задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и кейсы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Таблица 4.5 Отношение к риску и функция полезности

Форма функции полезно-

сти

 

Вторая производная

ARA и RRA

Отношение к риску Выпуклая

вверх

Отрицательная

Положительная

Нерасположенность к риску

Линейная

Нулевая

Нейтральность к риску

Выпуклая вниз

Положительная

Отрицательная

Расположенность к риску

Решение

1. С помощью функции полезности

 

определяется как значение начального

запаса, так и значение будущих негарантированных денежных потоков. Значит, если мы введем для оценки негарантированных результатов некую функцию полезности, то тогда нам следует использовать в точности ту же функцию для оценки имущества. Абсолютная нерасположенность к риску, в общем, определяется3 через формулу

dxdU

dxUd

ARA



(4.3)

Так как мы всегда исходим из того, что для всех индивидуумов, а значит, и для ваших друзей, возрастание дохода приводит к извлечению дополнительной полезности, то первая производная каждой экономически правдоподобной функции полезности положительна. Таким образом, для оценки отношения к риску решающее значение имеет знак второй производной. При этом верны приведенные в табл. 2.8 связи.

Следовательно, для того чтобы суметь оценивать отношение к риску ваших друзей, вы должны знать первую и вторую производные соответствующих функций полезности. Для соответствующих производных функции полезности Вероники мы получим

000404000  x

00040

 .

Таблица 4.6 Абсолютная нерасположенность к риску

при возрастающем благосостоянии

dARA

Изменение абсолютного отношения к риску

Рискованно вложения абсолютная сумма

Положительная Нулевая Отрицательная

Увеличение Постоянство Уменьшение

Уменьшается Постоянна Увеличивается

так что сразу же можно определить Веронику как нерасположенную к риску.

С помощью числовых значений ARA и RRA мы хотели бы более подробно проанализировать отношение Вероники к риску. Абсолютная нерасположенность к риску, согласно этим расчетам, оказывается равной

004.04000

004.0

xdxdU

dxUd

ARA





Из умножения ARA на

получаем относительную нерасположенность к риску

004.04000

004.0

dxdU

dxUd

xRRA





Если имущество увеличивается, то применительно к абсолютной нерасположенности к риску можно различать три альтернативы, см. табл. 2.9. И для относительной нерасположенности к риску при изменении имущества существуют три возможности, детали которых мы можем для себя легко выяснить, взглянув на табл. 2.9. Все представленные там эффекты верны соответственно,

если заменить

dARA

dRRA

и «абсолютную сумму» на «долю имущества». Как

изменятся числовые значения Вероники, если увеличивается имущество?

Для ответа на этот вопрос мы должны взять производную

  

 

0004.0

004.04000

004.0

004.04000004.0











dARA

и правильно проинтерпретировать положительный знак. Предпочтения Вероники характеризуются возрастающей абсолютной нерасположенностью к риску. С возрастанием имущества ее рискованно вложенная денежная сумма сокращается. Если же абсолютная сумма сокращается, то это автоматически приводит к тому, что уменьшается и относительная доля рискованно вложенных денег с ростом имущества. Тот, кто в этом выводе сомневается пусть выяснит для себя это на следующем примере.

Вероника владеет в исходной ситуации 150000 руб., из которых 100000 руб. инвестированы без риска, а 50000 руб. – рискованно. Доля с риском вложенных денег составит тогда 1/3. Из своей возрастающей не расположенности к риску Вероника – если ее имущество повышается до 200000 руб. – будет вкладывать с риском меньше 50000 руб., например, лишь 40000 руб. Доля рискованно вложенной суммы сократится, таким образом, на 20%. Даже если Вероника и при большем имуществе 50000 руб. инвестировала бы рискованно (постоянная абсолютная не расположенность к риску), доля рискованно инвестированного имущества снизилась бы до 50000/200000=1/4.

Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать, что возрастающая, как и постоянная, абсолютная не расположенность к риску, обязательно предполагает возрастающую относительную не расположенность к риску. Значит, для Вероники мы должны ожидать, что производная ARA по x будет иметь положительный знак

  

   

 

004.04000

004.0

004.04000004.0

004.04000

004.0

















xxd

dRRA

Теперь давайте обратимся к анализу предпочтений Максима. Если дважды продифференцировать его функцию полезности

0~xe



то это даст нам уверенность в том, что Максим является расположенным к риску человеком. Для показателя ARA и ее первой производной получаем



dxdU

dxUd

ARA

.0

dARA

(4.4)

При проверке показателя RRA и ее первой производной для Максима мы определяем

dxdU

dxUd

xRRA



1

dRRA

. (4.5)

Что означает этот результат? Вспомним, что Максим является располо-

женным к риску лицом. В его случае можно говорить не об абсолютной и относительной расположенности к риску, а об абсолютной и относительной расположенности к риску. Благодаря (4.4) сумма, которую Максим с риском вложит, не изменится при возрастании имущества, т.е. он имеет постоянную абсолютную расположенность к риску. Но это предполагает убывающую относительную расположенность к риску.

Функция полезности Игоря является менее сложной, чем функция Максима. При

 

 и



мы можем идентифицировать Игоря как нейтральное к риску лицо. Так и вторая производственная функции полезности равна нулю, показатели ARA и RRA, а также их производные принимают нулевые значения, которые делают интерпретацию невозможной.

2. Функция полезности Максима выпукла вниз. Этот вид функций обладает тем свойством, что линейная комбинация двух значений функции U(x1) и U(x2) при х1≤х≤х2 по меньшей мере так же велика (или больше), как (чем) значения функции U(x). Поэтому их можно охарактеризовать следующим образом:

   

 

    

2121

11 xxUxxxUxUxU





(4.6)

При 0≤≤1. Сейчас мы предположим, что х1 реализуется с вероятностью q, а х2 – с вероятностью 1-q, и заменим в формуле (2.8)  на q. Это даст нам

        

 

   

 

,11

2121

xEUxUE

xqqxUxUqxqU





Пример 5. Применения ожидаемой полезности к страхованию

Пусть некоторое лицо хочет застраховаться от потенциального убытка случайного размера и пусть его предпочтения описываются ожидаемой полезностью с функцией полезности денег .Критерий приемлемости премии , уплачиваемой страхователем, имеет вид

где – капитал страхователя.

Если функция полезности денег непрерывна и возрастает, то максимальная приемлемая для страхователя премия есть решение уравнения

Ущерб по некоторому риску распределён равномерно на . Какую максимальную страховую премию за страхование от такого риска готов

заплатить страхователь, имеющий капитал руб. и руководствующийся правилом максимизации полезности с функцией полезности денег

Решение.

Максимальную страховую премию , которую готов заплатить страхователь за избавление от риска , найдём как решение уравнения

Левая часть равна

Так как с.в. распределена равномерно на , то с.в. также равномерно распределена на . Плотность распределения (Упражне-

ние: вспомнить, какое распределение называется равномерным? Чему равны

функция распределения и плотность распределения такой с.в.?)

Поэтому правая часть равна

Составляем уравнение

Ответ:

Пример 6. Монотонность функции полезности относительно стохастического доминирования

Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно первого и/или второго стохастического доминирования, а какие – нет? Ответ объяснить.

(а) ; (б) ; (в) .

Решение.

В каждом случае найдём функцию полезности денег из условия

(а) ; функция полезности монотонна относительно I стохастического доминирования и не монотонна относительно II стохастического доминирования. (б) ; функция полезности монотонна относительно I стохастического доминирования и не монотонна относительно II. (в) ; функция полезности монотонна относительно I и II стохастического доминирования.

4.3 Индивидуальные расчётно-графические задания

Задача 1. Необходимо осуществить выбор между следующими лотереями:

󰇫

    

 

 

󰇬 󰇫

    

 

 

󰇬

Ваша функция полезности имеет свойства 

󰆒

󰇛󰇜

,



󰆒󰆒

󰇛󰇜





󰆒󰆒

󰇛󰇜



.0)0( U

Изобразить графически:

 математические ожидания результатов лотереи;  полезность лотерей по Бернулли;  рисковую премию;  безрисковый эквивалент.

Какую лотерею вы предпочтете?

Задача 2. Вы получили диплом по прикладной информатике в экономике предприятий и стоите перед выбором:

 пойти в качестве молодого менеджера на фирму и получать фиксиро-

ванную зарплату (A1);

 предоставлять как партнер по договору консультации нескольким фир-

мам на основе оплаты по результатам (A2);

 создать независимую консультационную фирму (A3).

В табл. 4.7 отражаются ожидаемые вами сценарии, соответствующие вероятности и ежемесячные доходы.

Таблица 4.7 Альтернативы доходов

Сценарии

Бум

Подъем

Стагнация

Рецессия

Вероятности

q1 = 0.05

q2 = 0.5

q3 = 0.4

q4 = 0.05

A1 A

7000 2000 1000*к

7000 2000*к 5000*к

7000 3000*к 7000*к

7000

4000*к 10000*к

В пользу какой альтернативы вы примете решение, если следуете прин-

ципу Бернулли и имеете функцию полезности типа 󰇛󰇜 

 

  

1. В случае рецессии ваши партнеры по договору предлагают вам дополни-

тельный платеж z помимо премии, зависящей от результата. Каким долж-

но быть минимальное значение z для того, чтобы вы предпочли вторую

альтернативу?

2. Ситуация радикально меняется. Сначала внезапно отменяется предполо-

жение выплаты надбавки, обусловленной рецессией. Потом ваша сестра

просит вас помочь ей выбраться из финансовых трудностей и принять на

себя на неопределенный срок обслуживание ее кредита величиной в

200000*к руб. Какое решение вы примете, если ставка процента составля-

ет (к*2 : 5)% и вам не нужно выплачивать основную сумму долга?

Примете ли вы иное по сравнению с пунктом 3 решение, если одна из ваших подруг подарит вам 40000*к руб.? Исходите из того, что незамедлительный возврат кредита возможен, а рынок капитала является полным.

Задача 3. Ваше сегодняшнее имущество составляет 5000*к руб., а ва-

шей функцией полезности является 󰇛󰇜 

1. Вы находитесь в ситуации, в которой с вероятностью 50% можете или

выиграть, или проиграть 1000*к руб. Застрахуете ли вы себя против этого

риска за премию в размере 130*к руб. или же согласитесь на участие в та-

кой лотерее?

2. Предположим, что вы приняли участие в этой лотерее и проиграли.

Оцените оставшееся Ваше имущество. Заключили ли бы вы сейчас дого-

вор о страховке по тем же условиям, что и в задаче 1?

3. Какова сумма максимальной премии, которую бы вы заплатили в зада-

че 1 и 2?

Задача 4. Вы долгое время вели наблюдение за тем, как ваши друзья Максим, Вероника и Игорь принимают решения в условиях риска. Благодаря вашим способностям сыщика вы пришли к результатам, что эта троица имеет следующие функции полезности:

 Максим: 󰇛󰇜 



Вероника:󰇛󰇜   

 Игорь: 󰇛󰇜   

1. Как бы вы описали отношение к риску своих друзей? Используйте в

качестве показателей абсолютную и относительную не расположенность

к риску.

2. Покажите, для кого из друзей ожидаемая полезность всегда выше по-

лезности математического ожидания. При этом исходите из существова-

ния мира только с двумя ситуациями.

Задача 5. Ущерб по некоторому риску распределён равномерно ( к>10), нормально (к ≤ 10) на . Какую максимальную страховую премию

за страхование от такого риска готов заплатить страхователь, имеющий капитал

руб. и руководствующийся правилом максимизации полезности с функ-

цией полезности денег

󰇛󰇜 









Задача 6. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно первого и/или второго стохастического доминирования, а какие – нет? Ответ объяснить.

a) 󰇛󰇜 b) 󰇛󰇜



;

c) 󰇛󰇜



5 Тесты для ликвидации теоретических пробелов

Таблица 7. Тесты

№

п/п

Отметьте букву правильного на Ваш взгляд ответа и

внесите эти результаты в итоговую таблицу в конце тестов

для обработки и оценивания

Причины неопределённости в экономике и бизнесе: А. незнание; Б. случайность, противодействие; В. незнание, случайность, противодействие.

«Чистая» неопределенность в отличие от «спекулятивной»: А. не связана со спекуляциями на рынках; Б. предполагает только возможность негативных отклонений конеч-

ного результата деятельности;

В. Предполагает возможность частых отклонений конечного резуль-

тата деятельности.

Риск – это А. проявление фундаментального свойства природы: детерминиз-

ма;

Б. это проявление фундаментального свойства природы: индетер-

минизма;

В. это проявление фундаментального свойства природы: индетер-

минизма, полной неопределенности.

Концепция риска как возможности основана на

А. взаимосвязи между риском и доходностью; Б. взаимосвязи между риском и убытком; В. взаимосвязи между страхом и убытком, потерями.

Риск – это возможность того, что действия человека или их резуль-

таты

А. приведут к негативным последствиям; Б. приведут к позитивным последствиям; В. приведут к негативным или позитивным последствиям.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]