Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исчисление рисков. Практикум по курсу «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций» (задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и кейсы)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Теорема об ожидаемой полезности. Существует действительнозначная ограниченная и непрерывная функция u полезности, которая каждому благу х сопо-

ставляет значение полезности

)(xu

и обладает следующим свойством:

)()()(

1212

xuxuBxx EE 

(4.1)

Эта теорема показывает, что при любой сложности структуры неопреде-

ленности и предпочтений имеется единая конструкция, позволяющая ввести точные количественные характеристики этих предпочтений. Таким образом, эта теорема охватывает и ситуации, когда два индивида реагируют на одну и ту же неопределенную ситуацию по-разному. В этом случае результат говорит, что эти индивиды обладают различными функциями полезности.

По знаку первых двух производных от функции полезности можно судить об отношении лица к риску. Функция полезности лица, уклоняющегося от риска, характеризуется неравенствами

0)(,0)( 







xuxu

, а лица, предпочитающего риск – неравенствами

0)(,0)( 







xuxu

Теорема. Пусть – ожидаемая полезность. Тогда монотонность относи- тельно:

1. I стохастического доминирования равносильна возрастанию функции по-

лезности денег ( );

2. II стохастического доминирования равносильна возрастанию и вогнуто-

сти функции полезности денег ( и );

3. условия неприятия риска равносильна вогнутости функции полезности

денег ( ).

Отдельные индивиды могут в разной степени предпочитать риск или уклоняться от него. Поэтому вводятся показатели, измеряющие степень предпочтения или уклонения от риска. Такими показателями являются показатели абсолютного уклонения от риска и относительного уклонения от риска, которые определяются через функцию полезности следующим образом:

Определение. Величина

)(

xAP







называется абсолютным укло-

нением от риска (или абсолютной мерой (Эрроу - Пратта).

Определение. Величина

)(

xux

xAP







называется относительным

уклонением от риска (или относительной мерой Эрроу-Пратта).

Таким образом, значение

)(xAP

характеризует нежелание рисковать фиксиро-

ванной суммой, а

)(xAP

– нежелание рисковать фиксированной долей богат-

ства. Справедливы следующие свойства. Чем большим богатством обладает

индивид, тем большую его долю он старается уберечь от случайностей. С другой стороны, чем богаче человек, тем меньше он опасается допустить случайную потерю фиксированной суммы S. С большой долей уверенности можно утверждать, что:

1. Относительное уклонение от риска

)(xAP

возрастает при больших зна-

чениях переменной x.

2. Абсолютное уклонения от риска

)(xAP

убывает при больших значениях

переменной x.

4.2 Примеры

Пример1. Функция полезности при не расположенности к риску

Необходимо осуществить выбор между следующими лотереями:

 

5.0,5.0:5,50:

L

 

5.0,5.0:25,100:

L

Ваша функция полезности имеет свойства

   









xUxU

.0)0( U

Изобразить графически:

 математические ожидания результатов лотереи;  полезность лотерей по Бернулли;  рисковую премию;  безрисковый эквивалент.

Какую лотерею вы предпочтете?

Рис. 4.1 Математическое ожидание, ожидаемая полезность,

безрисковый эквивалент и премия за риск

Решение. Знаки первой и второй производной показывают, что предельная полезность вашего дохода положительна, но убывает. Поэтому функция полезности характеризуется изображенной на рис. 4.1 выпуклостью вверх.

Так как

0)0( U

, то она проходит через начало координат. Принадлежащая

первой лотерее функция полезности по Бернулли является геометрическим местом всех линейных комбинаций, состоящих из значений полезности

)0(U

)50(U

. Она начерчена как непрерывная сплошная линия. Определенная анало-

гичным образом полезность по Бернулли второй лотереи изображена пунктиром.

На основе заданных вероятностей математическое ожидание результатов лотереи находится в точности посередине между значениями 0 и 50 ( -25 и 100) для первой (второй) лотереи. Поэтому мы получаем показатели

 

25505.0

LE

 

  

5.37251005.0

LE

. Полезности по Бернулли лотерей

на рис. 4.1 обозначены, как

 

 

LUE

 

 

LUE

Это можно вычислить, если вначале от

 

LE

или

 

5.37

LE

распо-

ложить линии вертикально к полезности по Бернулли и потом, исходя из точки пересечения, начертить горизонтально ординату. На абсциссе вертикально от

точки пересечения между горизонталью и функцией полезности

 

можно

найти безрисковые эквиваленты S1 и S2. Сейчас нам еще нужно поискать премии за риск. Они отражены в разнице между математическим ожиданием результатов лотереи и безрисковым эквивалентом. Выбор между обеими лотере-

ями не должен представлять трудность, ведь

 

 

LUE

расположена однозначно

выше, чем

 

 

LUE

Пример 2. Соизмерение альтернатив по полезности

Вы получили диплом по прикладной информатике в экономике предприятий и стоите перед выбором:

 пойти в качестве молодого менеджера на фирму и получать фикси-

рованную зарплату (A1);

 предоставлять как партнер по договору консультации нескольким

фирмам на основе оплаты по результатам (A2);

 создать независимую консультационную фирму (A3).

В табл. 4.1 отражаются ожидаемые вами сценарии, соответствующие вероятности и ежемесячные доходы.

Таблица 4.1. Альтернативы доходов

Сценарии

Бум

Подъем

Стагнация

Рецессия

Вероятности

q1 = 0.2

q2 = 0.2

q3 = 0.4

q4 = 0.2

A1 A

6750 1500 1001

6750 5850 5250

6750 9150 13500

6750 14485 20250

1. В пользу какой альтернативы вы примете решение, если следуете прин-

ципу Бернулли и имеете функцию полезности типа

 

xxU

ln5185



2. В случае рецессии ваши партнеры по договору предлагают вам дополни-

тельный платеж z помимо премии, зависящей от результата. Каким долж-

но быть минимальное значение z для того, чтобы вы предпочли вторую

альтернативу?

3. Ситуация радикально меняется. Сначала внезапно отменяется предполо-

жение выплаты надбавки, обусловленной рецессией. Потом ваша сестра

просит вас помочь ей выбраться из финансовых трудностей и принять на

себя на неопределенный срок обслуживание ее кредита величиной в

200000 руб. Какое решение вы примете, если ставка процента составляет

6% и вам не нужно выплачивать основную сумму долга?

4. Примете ли вы иное по сравнению с пунктом 3 решение, если одна из

ваших подруг подарит вам 400000 руб.? Исходите из того, что незамедли-

тельный возврат кредита возможен, а рынок капитала является полным. Решение

1. Вы всегда принимаете решения на основе функции ожидаемой полезно-

сти. Для дискретных респределений доходов верно

 

 

 

 

.x~lnqx

Uqx

518511





(4.2)

После подстановки уровней доходов, зависящих от ситуации в (4.1), ожидаемая полезность безрисковой альтернативы A1 оказывается равной

 

 

 

 

129967505185 .lnxUxUE 

Таблица 4.2 Очищенные альтернативы доходов

Сценарии

Бум

Подъем

Стагнация

Рецессия

Вероятности

q1 = 0.2

q2 = 0.2

q3 = 0.4

q4 = 0.2

A1 A

5750 500 1

5750 4850 4250

5750 8150 12500

5750 13485 19250

Ожидаемая полезность A2 согласно следующей таблице получается равной

 

 

8228.x

UE 

 

x~U

 

0.2

0.4

0.2

185+5ln 1500 185+5ln 5850 185+5ln 9150 185+5ln 14485

44.3

45.7

92.2

46.6

Сумма

228.8

Соответствующий расчет дает для A3 ожидаемую полезность в сумме

229.4. Таким образом, эта альтернатива оказывается оптимальной и вы создаете консультационную фирму.

2. Вам безразлично, реализуется ли сценарий A2 и A3, если верно

 

 

  

422914485518520292745344 .zln....x

UE 

Упрощение дает

 

311914

32639914485

18111014485

,.z

,ee

,.zln

.zln











Вы работаете консультантом лишь тогда, когда соответствующий контракт в случае рецессии предполагает платеж в сумме 26399.3 руб. Значит, надбавка должна составлять по меньшей мере z = 11914.3 руб.

3. Обслуживание процентных платежей уменьшает ваш месячный доход.

Следовательно, прогнозируемые значения доходов сначала должны быть

освобождены от суммы процентов. Так как сумма ежегодных процентов

составляет

12000200000060 .

руб., то месячная нагрузка равна 1000 руб.

Табл. 4.3 содержит очищенную матрицу возможных доходов. Подстанов-

ка этих значений в (4.2) приведет к

 

   

..)x

(UE:A

,.)x

(UE:A

,.)x(UE:A

1222

2227

3228



Раногвый порядок изменился. Если вам нужно обслуживать кредит, то вы предпочтете более надежную зарплату менеджера.

4. После того, как кредит вами возвращен, вы можете поместить 200000

руб. на рынке капитала. Дополнительный доход в сумме 1000 руб. в ме-

сяц опять делает A3 предпочтительной альтернативой, так как

 

..)x

(UE:A

,.)x

(UE:A

,.)x(UE:A

47230

75229

78229



Пример 3. Расчет премии за риск Ваше сегодняшнее имущество составляет 50000 руб., а вашей функцией

полезности является

Yln)Y(U 

1. Вы находитесь в ситуации, в которой с вероятностью 50% можете или

выиграть, или проиграть 10000 руб. Застрахуете ли вы себя против этого

риска за премию в размере 1250 руб. или же согласитесь на участие в та-

кой лотерее?

2. Предположим, что вы приняли участие в этой лотерее и проиграли. Ваше

имущество тогда составит 40000 руб. Заключили ли бы вы сейчас договор

о страховке по тем же условиям, что и в задаче 1?

3. Какова сумма максимальной премии, которую бы вы заплатили в задаче 1

и 2?

Решение Итак,

1. Вы можете выбрать между альтернативами «заключение договора о

страховке» (A1) и «принятие на себя риска» (А2). Если вы заключаете до-

говор, то ваше имущество составит 50000 – 1250 = 48750 руб. независимо

от того, какая ситуация наступит в будущем. Если же вы принимаете на

себя риск, то имущество может или повыситься до 50000 + 10000 = 40000

руб. Если вы примените значения возможных результатов, используя

свою функцию полезности, то получите представленную в табл. 4.3 мат-

рицу полезности.

Таблица 4.3 Первая матрица полезности

Имущество

Ситуация

Альтернатива

Вероятность

0.5

1 2

10.79446

11.00210

10.79446

10.59660

Из матрицы можно определить значения ожидаемой полезности обеих альтернатив

 

 

 

 

......AUE

,.AUE

79935105059661050002111

7944610





Так как 10.79935 > 10.79446, то вы соглашаетесь на участие в лотерее. На первый взгляд эта разность может показаться вам мизерной. Но вы должны принять во внимание, что функции полезности положительно линейно преобразованы и, таким образом, разность между обеими альтернативами можно сделать насколько угодно большой.

Из-за потери 10000 руб. возникает представленная в табл. 4.4 матрица по- лезности. Теперь для значений ожидаемой полезности обеих альтернатив верно:

 

 

 

 

......AUE

,.AUE

5643710503089510508198710

5648910





Учитывая предыдущий опыт, вы стали осторожным и заключаете договор о страховании.

2. Второй возможностью анализа вопросов, поставленных в задачах 1 и 2, яв-

ляется расчет рисковых премий. Премию за риск по Пратту и Эрроу опре-

деляют для «маленького риска», и поэтому она здесь неприменима.

Таблица 4.4 Вторая матрица полезности

Имущество

Ситуация

Альтернатива

Вероятность

0.5

1 2

10.56489

10.81978

10.56489

10.30895

Можно использовать лишь определение премии за риск по Марковицу. Математическое ожидание игры, о котором здесь идет речь, является нулевым. Поэтому исходная формула выглядит следующим образом:

 



󰇛󰇟󰇛



󰇜󰇠󰇜

где 



󰇛󰇟󰇛



󰇜󰇠󰇜

– безрисковый эквивалент.

Обратной функцией к ln Y является eY. Таким образом, для без рискового эквивалента мы получаем

 

 

 

 

lnE

WUEU





50000

Экспонента в правой части является не чем иным, как ожидаемой полезностью. Сейчас остается только сделать маленький шаг для расчета максимальной премии за риск. Для условия из задачи 1 получаем

.руб.e.

05101100050

7993510



При 1011.05 < 1250 руб. премия, которую лицо, принимающее решение, готово платить, меньше требуемой. Поэтому договор о страховании не заключается. В случае, при котором вы один раз уже проиграли (задача 2), вами было заплачено максимум

.18.1271000.40

564365.10

рубe 



И здесь утверждается полученный выше результат: максимальная премия превышает требуемую. Вы заключаете договор о страховании.

Пример 4. Измерение отношения к риску по функции полезности

Вы долгое время вели наблюдение за тем, как ваши друзья Максим, Вероника и Игорь принимают решения в условиях риска. Благодаря вашим способностям сыщика вы пришли к результатам, что эта троица имеет следующие функции полезности:

 Максим:

 

,ex

 1

 Вероника:

 

002040002 x

U 

 Игорь:

 

x~U 21000

1. Как бы вы описали отношение к риску своих друзей? Используйте в каче-

стве показателей абсолютную и относительную не расположенность к

риску.

2. Покажите, что для Максима ожидаемая полезность всегда выше полезно-

сти математического ожидания. При этом исходите из существования

мира только с двумя ситуациями.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]