Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исчисление рисков. Практикум по курсу «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций» (задачи, упражнения, примеры, РГЗ, тесты и кейсы)
.pdf
11
15.1 В условиях предыдущей задачи найти вероятность вытянуть известный
билет, если студент вытаскивает билет третьим. Предполагается, что взятые
билеты не возвращаются.
15.2 Завод изготавливает изделие, каждое из которых с вероятность p имеет
дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух
контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью P1, второй с вероятность P2 . Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью α. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно
забраковано:
1) первым контролером;
2) вторым контролером;
3) ОТК завода.
16.1 Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из тыся-
чи, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на
тысячу штук равновозможно от 0 до 5.
16.2 В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три
произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен:
а) отлично;
б) плохо.
17.1 В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность
извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном
числе белых шаров равновозможны?
17.2 Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима
для работы прибора. Вероятность безотказной работы в течении промежутка
времени T для первого блока равна P1, и второго – P2 . Прибор испытывался
время Т и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал только
первый блок, а второй исправен.
18.1 Имеется 10 ящиков, в каждом из которых 100 новых деталей. Рабочий положил в десятый ящик 10 старых деталей, не отличимых по виду от новых, но
затем забыл в какой именно ящик. После этого из наугад выбранного ящика рабочий достает 10 деталей. Найти вероятность того, что среди них будет не более двух старых деталей.
12
18.2 Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы,
если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,4.
19.1 Вероятности перегорания первой, второй и третьей ламп равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятности выхода прибора из строя при перегорании
одной, двух и трех ламп равны соответственно 0,3; 0,6 и 0,9. Найти вероятность
выхода прибора из строя.
19.2 В техникуме n студентов, из которых nk (k = 1, 2, 3) человек учатся k-й
год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них
учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?
20.1 По самолету производится три одинаковых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0.5; при третьем – 0,8. Для
вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях
самолет выходит из строя с вероятностью 0,6 и при одном попадании – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет
будет выведен из строя.
20.2. Два стрелка поочередно стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5,
а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличивается на 0,05. Какова вероятность того, что первым произвел выстрел первый
стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?
2. Выбор в условиях риска. Стохастическое доминирование
2.1 Необходимый инструментарий
Определение. Пусть F(x) и G(x) – две несовпадающие функции распределения.
Говорят, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения
G(x) в смысле стохастического доминирования первого порядка, если для любого x
F(x) ≤ G(x).
Обозначение: F(x) I G(x).
13
Определение. Пусть F(x) и G(x) – две несовпадающие функции распределения.
Говорят, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения
G(x) в смысле стохастического доминирования второго порядка, если для любого x
Обозначение: F(x) II G(x).
Свойство. Если F(x) I G(x), то F(x) II G(x).
2.2 Пример. Сравните распределения по принципам стохастического домини-
рования первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии распределений. Сделайте выводы о ваших предпо-
чтениях.
X1 100
200
400
500
600
P
0,25
0,2
0,1
0,2
0,25
X2 100
200
500
600
P
0,25
0,25
0,25
0,25
Решение.
Найдём математические ожидания и вторые моменты для каждого распределения.
MX1 =100*0, 25+200*0, 2+400*0, 1+500*0,2+600*0,25 = 355.
MX2=100*0, 25+200*0, 25+500*0, 25+600*0,25=350.
MX1
2
=1002 *0, 25+2002 *0, 2+400
2
*0,1+5002 *0,2+6002 *0,25 =166500 .
MX
2
2
=1002 *0, 25+2002 *0, 25+500
2 *
0, 25+600
2 *
0, 25 =165000 .
Тогда дисперсии равны:
DX1=M(X1)2 - (MX1)2=166500-3552=40475.
DX2=M(X2)
2 -
(MX2)2 =165000-3502=42500.
Так как MX
1
> MX2 DX1 < DX2, то более предпочтительной является первая
альтернатива (первое распределение).
14
Для того чтобы сравнить данные случайные величины доходов по прин-
ципам стохастического доминирования первого и второго порядка, найдём
функции распределения этих случайных величин.
F1(t) = 0, если t ≤ 100,
0,25, если 100 <t ≤ 200,
0,45, если 200 <t ≤ 400,
0,55, если 400 <t ≤500,
0,75, если 500 <t ≤ 600,
1, если t > 600.
F2(t) = 0, если t≤100,
0,25, если 100<t≤200,
0,5, если 200<t≤500,
0,75, если 500<t≤600,
1, если t>600.
Сравнивая значения F1 и F
2
в каждой точке t (-∞; +∞), видим, что
F
1
(t) = F2(t)
при t (200; 400] F
1
(t) < F2(t);
при t (400; 500] F
1
(t) > F2(t);
Таким образом, условие принципа стохастического доминирования пер-
вого порядка не выполнено (почему?). Следовательно, эти распределения не
сравнимы по этому принципу.
Проверим выполнение условия определения доминирования в смысле
стохастического доминирования второго порядка.
при x (- ∞; 100]
при x (100 ; 200]
при x (200; 400]
15
= ,
при x (400; 500]
= -0, 05 400+10+0, 05 x-20= 0, 05x-30<0,
при x (500; 600]
=0, 05 500-30+0=-5<0,
при x (600; +∞)
=-5+0=-5 < 0.
Так как для всех значений x (-∞; +∞) интеграл
то F1 IIF2 в смысле стохастического доминирования второго порядка. Следовательно, первая альтернатива более предпочтительна, чем вторая.
2.3 Упражнения
Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии. Сравните
распределения по критериям стохастического доминирования первого и второго порядка. Сформулируйте выводы о ваших предпочтениях.
16
Вариант 1
X1 100 200 400 500 600 и X2 300 350 450 500 1000
P 0,25 0,2 0,1 0,2 0,25 P 0.1 0.3 0.45 0.1 0.05
Вариант 2
X1 100 200 500 800 и X2 200 375 475 700 800
P 0,15 0,25 0,35 0,25 P 0.25 0.35 0.15 0.1 0.15
Вариант 3
X1 50 75 100 150 200 и X2 300 350 450 500 1000
P 0,25 0,2 0,1 0,2 0,25 P 0.1 0.3 0.45 0.1 0.05
Вариант 4
X1 150 250 550 850 и X2 200 375 475 700 800
P 0,15 0,25 0,35 0,25 P 0.25 0.35 0.15 0.1 0.15
2.4 Индивидуальные расчётно-графические задания
Задача 1. Сравните распределения Х1 и Х2 по критериям стохастического до-
минирования первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии, в том числе и графически. Сделайте аргументированные выводы о ваших предпочтениях.
Здесь и далее К – ваш порядковый номер в журнале группы
Х1 10к
20к
40к
50к
60к
Р
0.25
0.2
0.1
0.2
0.25
Х2 30к
35к
45к
50к
100к
Р
0.1
0.3
0.45
0.1
0.05
17
3. Расчёт капитала (сумма) под риском
Идея метода состоит в том, чтобы построить верхнюю оценку капитала,
который может быть потерян в результате неблагоприятного стечения обстоятельств. Т.е. речь идет о капитале, который будет потерян в «наихудшем» случае. При этом выбирают некоторый уровень вероятности , оценивают капитал, который может быть потерян с этой вероятностью. Обычно выбирается
05,0
. Можно сказать, что VaR – верхняя граница доверительного полуин-
тервала уровня суммы, которая может быть потеряна.
Таким образом, VaR представляет собой квантиль уровня функции
распределения потерь (рис. 3.1). Если убыток распределен нормально с матема-
тическим ожиданием
)(XE
и дисперсией
)(
2
X
, то
)()1()()(VaR
1
XFXX
E
,
(3.1)
где
)1(
1
F
– квантиль стандартного нормального распределения уровня
1
.
Рис. 3.1 VaR в случае убытков при нормальной плотности их распределения
Заметим, что полученный критерий часто используется самостоятельно,
безотносительно к функциям распределения и доверительным интервалам. В
этом случае он записывается в виде
)()()( XXXR
E
,
(3.2)
18
где – некоторый коэффициент (иногда он называется «коэффициентом пессимизма»), выбираемый исследователем применительно к условиям задачи.
Если рассуждать не об убытках, а о доходах, то можно определить аналогичный критерий. В этом случае VaR определяется как размер дохода в
наихудшем случае.
3.1 Необходимый инструментарий
Определение. Если X – случайный убыток, то
Varγ (X) = inf{w: ≥ FX (w) ≥ 1- γ},
где FX (w) =P(X<w) – функция распределения убытка X.
Свойство. Если убыток X распределён нормально со средним mX и средним
квадратическим отклонением σX, то
VaRγ (X)=mX + α
1-γ ·σX
,
где α
1-γ
– квантиль стандартно нормального распределения уровня 1-γ.
3.2 Пример
Определить VaR - капитал под риском (100 000$) позиции инвестора, убытки в “наихудшем случае” вследствие изменчивости доходности ценных
бумаг, σ1 =1,08%, σ2 = 0,53%, ρ = -0,13, γ = 0,95. Считать, что доходности распределены нормально.
Решение.
VaR = S · αγ · σ
r
=
.
Подставляем числовые данные:
19
VaR =100 000$ · 1,645 ·
=1498,58$.
Ответ: 1498,58$.
3.3 Упражнения
1. Определить VaR – капитал под риском (100 000$) позиции инвестора, убытки "в наихудшем случае" вследствие изменчивости доходности двух ценных бумаг, если σ1 = 2%, σ
2
= 4%, ρ = 0.5, γ = 0,99. Дать экономический
смысл.
2. Определить VaR – капитал под риском (100 000$) позиции инвестора, убытки "в наихудшем случае" вследствие изменчивости доходности двух ценных бумаг, σ1 = 2%, σ2 = 4%, ρ = 0.75, γ = 0,95.
3. Определить VaR – капитал под риском (100 000$) позиции инвестора, убытки "в наихудшем случае" вследствие изменчивости доходности двух ценных бумаг, если σ1 = 2%, σ2 = 4%, ρ = -0.5, γ = 0,997
4. Определить VaR – капитал под риском (100 000$) позиции инвестора, убытки "в наихудшем случае" вследствие изменчивости доходности двух ценных бумаг, σ1 = 2%, σ
2
= 4%, ρ = -0.75, γ = 0,90.
3.4 Индивидуальные расчётно-графические задания
Определить VaR - капитал под риском (S в $) позиции инвестора, - убытки "в наихудшем случае" вследствие изменчивости доходности двух ценных
бумаг, если известны σ1, σ2, ρ – коэффициент корреляции, γ – уровень значимости. Дать экономический смысл.
S в $
σ1 в %
σ2 в %
ρ
γ
10000к
к
2+к
0.9: к
0.99: к
4 Ожидаемая полезность. Измерение отношения к риску
4.1 Необходимый инструментарий
20
– субъективная функция полезности денег, которая выражает субъек-
тивную ценность богатства .
Полезность пропорциональна приращению капитала, т.е.
.
Для оценки субъективной полезности (некоторой случайной величины)
используют математическое ожидание функции полезности денег от этой случайной величины , т.е.
.
Если распределение с.в. непрерывно, то
где – функция распределения с.в. .
Если же распределение с.в. дискретно, то
где , , - вероятность, с которой с.в. принимает значение .
Свойства функций полезности:
1. Функция полезности – возрастающая по предпочтениям: если
21
xx
, то
)()(
21
xx uu
, а если
21
~ xx
, то
)()(
21
xx uu
.
2. Функция полезности определена неоднозначно.
3. Полезность рисковой лотереи равна математическому ожиданию полезности
ее возможных исходов.
Неоднозначность связана лишь с выбором начала отсчета и единицы полезности, любая из построенных рассмотренным образом функций полезности
есть положительное линейное преобразование исходной функции:
)()(
1
xx ubau
,
0b
.
Таким образом, следует существование у каждого индивида количественной функции полезности наборов потребительских благ, такой, что в случайной ситуации потребитель стремится к максимизации ее математического ожидания. Основываясь на изложенных выше фактах, можно утверждать, что справедлива следующая теорема:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]