Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Инновационные методы и технологии переработки эластомеров (Теория и практика). Учебное пособие
.pdf
ментальных данных, называется аппроксимирующей функцией
или эмпирической формулой.
а б
Рисунок. Графическая интерпретация принципа построения интерполяционного полинома (а) и аппроксимирующей линии (б) для точечно
заданной функции
Построение эмпирической формулы включает подбор общего вида формулы. Иногда он известен из физических
соображений.
Если характер зависимости неизвестен, то первоначально
его выбирают геометрически: экспериментальные точки наносятся на график, и примерно угадывается общий вид зависимости
путем сравнения полученной кривой с графиками известных
функций (многочлена, логарифмической, показательной
функций.
Выбор вида эмпирической зависимости – наиболее сложная
часть решения задачи, ибо класс известных аналитических зависимостей необъятен.
Практика однако показывает, что при выборе аналитической зависимости достаточно ограничиться довольно узким
кругом функций: линейные, степенные и показательные.
21
Функции аппроксимации в Mathcad
1.81
ø
ê
ú
1. Аппроксимация линейной функцией.
Применим метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных.
Читаем данные из файлов datax и datay
x READPRN (
datax
y READPRN (
) )datay
.
Определяем количество прочитанных данных (число экспериментальных точек).
n last()xi ..0 n
.
Используем встроенные функции slope и intercept для определения коэффициентов линейной регрессии (аппроксимация
данных прямой линией). Функция slope определяет угловой коэффициент прямой, а функция intercept – точку пересечения
графика с вертикальной осью.
A ), B ),xy
intercept (
xy
slope (
.
Определяем аппроксимирующую функцию:
f1()z A.Bz
.
Коэффициенты линейной регрессии –
A 3.539-=
=B
.
Кроме того, Mathcad предлагает для этих же целей ис-
пользовать функцию line
3.539-
line x y,()
=
æ
è
1.81
ö
.
Вычислим стандартное отклонение.
1
S1
z ..,0 0.1 10
é
×:= f1f1
å
n
i
ë
=S1 2.093
( )
f1x
()
2
ù
y
-
i
i
û
22
f1()z
y
i
,zx
i
2.Аппроксимация полиномами.
Теперь попытаемся подобрать полиномы второй и третьей
степени, в качестве аппроксимирующей функции. Для этих целей
служат встроенные функции regress и уже знакомая нам функция
interp. Очевидно, что если в качестве аппроксимирующей функции брать полином степени на единицу меньше числа точек, то
задача сведется к задаче глобальной интерполяции и полученный
полином будет точно проходить через все заданные узлы.
Вводим степени полиномов:
k2 2 k3 3
Функция regress является вспомогательной, она подготавливает данные, необходимые для работы функции interp. Вектор
vs содержит, в том числе, и коэффициенты полинома
),,xyk2 ),,xyk3
vs3 regress (vs2 regress (
Функция interp возвращает значение полинома в точке z.
Определив новые функции f2, f3, мы получили возможность находить значение полинома в любой заданной точке.
f2()z ),,,vs2xyz
f3()z ),,,vs3xyz
interp (
interp (
23
coeffs2 submatrix (
ê
ú
0.671
ê
ú
coeffs3 submatrix (
length (
length (
),,,,vs23 )vs2 100
),,,,vs33 )vs3 100
Коэффициенты:
T
S2
S3
=
1
é
×:= f2f2
å
n
i
ë
1
é
×:= f3f3
å
n
i
ë
=S3 0.581
=S2
2
f2x
()
( )
i
y
-
ù
i
û
2
f3x
()
( )
i
y
-
ù
i
û
3
0.017( )
( )coeffs2 0.701 0.76 0.257( )
T
( )coeffs3 0.122 0.253 2.377 10
=
Стандартные отклонения почти не отличаются друг от друга, коэффициент при четвертой степени z невелик, поэтому
дальнейшее увеличение степени полинома нецелесообразно и
достаточно ограничиться только второй степенью.
3. Аппроксимация функцией произвольного вида
Теперь построим аппроксимирующую функцию дробно–
рационального типа
2
f()axx
=
bx
+
Для этого воспользуемся функцией genfit. Функция имеет
следующие параметры:
- x, y – векторы, содержащие координаты заданных точек;
- F – функция, задающая искомую функциональную
n- параметрическую зависимость и частные производные этой за-
висимости по параметрам;
- v – вектор, задающий начальные приближения для поис-
ка параметров.
24
F( ),zu
ê
ú
0.581
2
.
u0z
u1z
2
z
u1z
2
.
u0z
u1z
v
genfit (
S ,xyv, , F)
=S
1
15
2.146
20.85
2
.
.
.
Поскольку нулевой элемент функции F содержит иско-
мую функцию, определяем функцию следующим образом:
f5()z F( ),zS
0
Вычисляем среднее квадратичное отклонение
S5
1
é
×:= f5
å
n
i
ë
f5x
()
( )
2
ù
y
-
i
i
û
=S5
25
f5()z
ç
÷
ø
ç
÷
ø
n
æèö
ø
y
i
,zx
i
Пример расчета. Ввод экспериментальных значений вязкости и скорости сдвига.
100
æ
ö
150
ç
÷
g
200
:= h
ç
÷
ç
÷
250
300
è
771
æ
ö
615
ç
÷
527
:=
ç
÷
ç
÷
424
410
è
1) Аппроксимация линейной функцией
y b0 b1x×+
Определяем длину массивов экспериментальных данных:
n last g( ):=
i0
..:=
Вычисляем коэффициенты аппроксимирующей функции,
используя функции slope и intercept.
b0 interceptgh, ( ) 914.6=:= b1 slopegh, ( ) 1.826-=:=
Вычисляем коэффициенты
аппроксимирующей функции, используя функции line
.
line gh, ( )
914.6
=
1.826-
.
26
Определяем функцию
2
ê
ú
hras1z() b0 b1z×+:=
.
Графическая интерпретация линейной аппроксимации
x 100 110, 300..:=
800
700
h
i
hras4x()
600
500
400
100 150 200 250 300
gix,
Вычислим стандартное среднее квадратичное отклонение
S1
1
é
hras1 g
× 37.79=:=
( )
å
n
i
ë
()
i
h
-
2
ù
i
û
2) Аппроксимация полиномом второй степени
y b0 b1 x×+ b2x
×+
и третьей степени
y b0 b1 x×+ b2x2×+ b3x3×+
27
Вводим степени полиномов k2 =2, k3 =3.
)
2
(
)
Подготовим массивы данных при помощи функции
vs2 regress gh, k2, ( ):=
coeffs2T = ( 1.184´ 103 -4.9 7.686´ 10
-3
vs3 := regress ( , gh, k3)
Определяем коэффициенты аппроксимирующей функции,
используя массивы
coeffs2 submatrix vs2 3, length vs2( )1-, 0, 0, (
vs2 иvs3
):=
Определяем функции полиномиальные функции при помощи
и вручную
interp
coeffs3 submatrix vs3 3, length vs3( )1-, 0, 0, ( ):=
T
coeffs3
hras2z( ) interp vs2 g, h, z, ( ):=
hras3z( ) interp vs3 g, h, z, ( ):=
=
1.095 103´ 3.339- 7.143- 104-´ 1.4 105-´
hras22z( ) coeffs20coeffs21z×+ coeffs22z
hras33z( ) coeffs30coeffs31z×+ coeffs32z2×+ coeffs33z
×+:=
Графическая интерпретация полиномиальной
аппроксимации.
800
h
i
h ras2x()
hras3x()
hras22x()
hras33x()
700
600
500
400
100
150 200 250 300
gix,
28
3
×+:=
Вычислим стандартное среднее квадратичное отклонение
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ø
ç
ç
÷
÷
ø
ç
ç
÷
÷
ø
1
S2
S22
S3
S33
3) Аппроксимация произвольной функцией
y b0 b1e
Определим функцию F, задающую искомую параметрическую зависимость и ее частные производные
é
hras2 g
× 11.658=:=
( )
å
n
i
ë
1
é
hras22 g
× 11.658=:=
( )
å
n
i
ë
1
é
hras3 g
× 11.175=:=
( )
å
n
i
ë
1
é
hras33 g
× 11.175=:=
( )
å
n
i
ë
+
b2x×
æ
u0u1e
×+
()
i
()
()
i
()
.
u2z×
-
i
-
i
ö
2
h
i
h
-
2
h
i
h
-
ù
û
2
ù
i
û
ù
û
2
ù
i
û
ç
F zu, ()
ç
:=
ç
ç
è
Зададим начальные значения для поиска приближения
1
æ
ö
v
10
:=
0
è
,
Определяем аппроксимирующую функцию
1
u2z×
e
u1z×e
×
SS genfit gh, v, F, ( )
÷
÷
÷
÷
u2z×
.
æ
=:=
ç
è
hras4z() F z SS, ( )
:=
29
311.473
1.049 103´
8.235- 103-´
ö
÷
0
.
.
Графическая интерпретация полиномиальной
ê
ú
аппроксимации
b2x×
gix,
h
i
h ras4 x()
y b0 b1e
800
700
600
500
400
100 150 200 250 300
+
Вычислим стандартное среднее квадратичное отклонение.
S4
1
é
hras4 g
× 13.568=:=
( )
å
n
i
ë
()
i
h
-
2
ù
i
û
Контрольные вопросы
1. Что такое блок-сополимеры и их структура?
2. Из каких основных стадий состоит технологический
процесс получения термоэластопластов?
3. Как меняется морфология термоэластопласта от состава фаз?
4. Какие способы задания функции Вы знаете?
5. Какова цель аппроксимации априорной информации?
6. Каков геометрический смысл аппроксимации?
7. Что Вы знаете о функции линейной аппроксимации в
Mathcad?
8. Что Вы знаете о функции полиномиальной аппроксима-
ции в Mathcad?
9. Какова суть аппроксимации в Mathcad произвольной
функцией?
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]