Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач-1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова»

Логинов В.А.

Теория вероятностей и математическая статистика

Сборник задач

Альтаир–МГАВТ Москва

2017

СОДЕРЖАНИЕ

3

1. Предисловие

Практические занятия являются обязательной и важной частью учебных планов и рабочих программ по дисциплине «Математика» для обучающихся Московской Государственной Академии Водного Транспорта. Учебная дисциплина «Математика» входит в базовую часть учебных планов по всем специальностям, по которым готовят выпускников Академии, и служит основой для изучения дисциплин математического, естественнонаучного и профессионального циклов.

Основной целью проведения практических занятий при изучении дисциплины «Математика» является умение использовать теоретические знания, полученные на лекциях, для решения практических задач, а также при изучении других дисциплин и в профессиональной деятельности после окончания Академии.

Дисциплина «Математика» содержит большое количество разделов. На портале Федеральных государственных образовательных стандартов Национальным исследовательским технологическим университетом «МИСиС» опубликован «Сборник примерных программ математических дисциплин цикла М и ЕН Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 3-го поколения». На основании этого документа в МГАВТ в учебных программах представлены следующие основные разделы.

1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия;

2.Дифференциальное исчисление;

3.Интегральное исчисление;

4.Дифференциальные уравнения;

5.Числовые и функциональные ряды;

6.Теория вероятностей и математическая статистика.

Имеется одна важная особенность, связанная с преподаванием математики в МГАВТ. Для различных специальностей и направлений подготовки выпускников учебные планы (и соответствующие рабочие программы) предусматривают существенно различное количе-

4

ство часов на изучение всего курса математики. В нижеследующей таблице приведено количество семестров и соответствующее количество часов, отведенное на изучение дисциплины «Математика» (включая лекции и практические занятия) для 11 специальностей и направлений подготовки, реализуемых в МГАВТ (по состоянию на январь 2017 г).

5

Из таблицы видно, что количество семестров, отводимых на изучение математики, колеблется от одного до пяти, а количество часов

— от 72 до 342. При этом само собой разумеется, что математика — одна из базовых дисциплин и студенты должны получить знания обо всех переенных выше разделах математики.

Можно также заметить, что каждый из перечисленных выше разделов содержит достаточно большое количество изучаемых тем (от 12 до 16). Поэтому вполне естественно, что занятия в группах с малым, средним и относительно большим объемом часов требуют от преподавателей совершенно разного подхода. При малом объеме часов приходится объединять темы лекционных и практических занятий и снижать уровень сложности решаемых задач. Если объем часов достаточно высок, то некоторые важные темы можно изучать не на одном, а на двух занятиях, при этом можно повысить уровень сложности задач, и т.д.

6

Все эти соображения позволяют сделать следующий вывод: практикум по математике может служить только некоторым путеводителем для проведения практических занятий, т.е. представлять собой некоторый банк задач, из которого каждый конкретный преподаватель может выбирать задачи необходимой сложности, и объединять темы с учетом рабочих часов, отводимых на занятия.

Структура настоящего сборника такова. В разделе 2 приведен список литературы, изучение которой поможет обучающимся подготовиться к практическим занятиям. В этом списке представлены классические учебники по теории вероятностей и математической статистике, а также лекции и пособие по решению задач автора настоящего сборника, изданные в МГАВТ.

В разделе 3 даны общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям.

Основным разделом является раздел 4, в котором по каждой теме (всего их 16) даны формулировки задач и конкретные рекомендации. По каждой теме дается краткая теоретическая справка (особо актуальная для заочного обучения), а также рекомендации ознакомиться с решением задач из [4] по теме конкретного занятия. Приведены формулировки задач (6–8 задач по каждой теме теории вероятностей и 5 задач по математической статистике).

Разумеется, что качество решения задач определяется преподавателем в соответствии с критериями и шкалой оценивания ответов обучающихся (содержатся в фондах оценочных средств — приложениях к рабочим программам).

7

2.Список литературы

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2009. —

478с.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 288 с.

3.Логинов В.А. Теория вероятностей и математическая статисти-

ка. Курс лекций. — Альтаир-МГАВТ, 2013. — 192 с.

4. Логинов В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи с решениями. — Альтаир-МГАВТ, 2016. — 28 с.

8

3. Общие рекомендации по подготовке

к практическим занятиям

При подготовке к практическим занятиям основным является изучение теоретического материала. Как правило, такой материал дается на одной из последних лекций, так что обучающиеся вполне подготовлены к решению задач.

Теоретический материал целесообразнее всего изучать непосредственно по конспектам лекций или по лекциям, изданным в МГАВТ [3], т.к. уровень изложения в них рассчитан на обучающихся академии, а содержание в наибольшей степени соответствует рабочим программам.

Таким образом, самостоятельная работа студентов заключается в изучении теоретического материала лекций [3] и в разборе решений задач из пособия [4].

9

4. Задачи

Тема 1. Понятия испытания и события. Элементарные события. Операции над событиями. Классическая вероятность

Краткая теоретическая справка

1.Понятие испытания (опыта, эксперимента) — одно из основных понятий теории вероятностей. Под этим понимается обеспечение всех необходимых условий для появления данного события.

2.Событие — это исход опыта. События принято обозначать буквами А, В, С, … латинского алфавита.

Элементарное событие — каждый из возможных исходов опыта. Например, бросается игральная кость (это кубик с выгравированными на его гранях цифрами от 1 до 6 или точками от 1 до 6). В результате

опыта может произойти одно из 6 элементарных событий Ai : на верхней грани выпало i очков (i 1,2,...,6 ).

3. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в данном опыте.

4. В теории вероятностей наиболее широко используются следующие две операции над событиями:

- сумма A B A B двух событий — это событие, состоящее

впоявлении события A, или события B , или обоих этих событий;

-произведение AB A B двух событий — это событие, состо-

ящее в совместном появлении этих событий.

5. Классическая вероятность вычисляется по формуле

P A mn ,

где n и m — общее число и благоприятное число исходов опыта.

Эта формула пригодна тогда и только тогда, когда опыт сводится к

полной группе несовместных и равновозможных событий.

10