Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. Учебное пособие-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики» (ФГОБУ ВПО «СибГУТИ»)

Е.Б. Сибиряков

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Новосибирск

2014

УДК 512.64+514.742.2+514.12

Сибиряков Е.Б.

Линейная алгебра : Учеб. пособие / Сибирский гос. университет телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск, 2014. – 56 с.

Пособие содержит учебный материал для изучения теории по курсу «Линейная алгебра». Предназначено для использования в учебном процессе преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов подготовки бакалавров по направлению 080100 «Экономика».

Кафедра высшей математики.

Список литературы – 13 наименований.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук А.А. Дучков д-р физ.-мат. наук Д.В. Воронин

Утверждено редакционно-издательским советом ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» в качестве учебного пособия.

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2014

©Е.Б. Сибиряков, 2014

- 2 -

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора ..................................................................................................................	6
Матрицы. Понятие числовойматрицы.Одно изопределений понятия вектор.............	7
Подматрицы........................................................................................................	7
Равенство матриц...............................................................................................	7
Квадратная матрица...........................................................................................	8
Другие виды матриц ..........................................................................................	8
Линейные операции над матрицами.................................................................	8
Произведение матриц ..............................................................................................	9
Транспонирование матриц...............................................................................	10
Определитель .........................................................................................................	10
Определитель второго порядка.......................................................................	10
Миноры и алгебраические дополнения................................................................	10

Теорема (без доказательств) о вычислении определителя путем разложения

по строке или столбцу......................................................................................	11
Свойства определителей..................................................................................	11
Вычисления определителя с помощью элементарных преобразований.......	12
Вырожденная матрица.....................................................................................	13
Обратная матрица ..................................................................................................	13
Свойства обратной матрицы ...........................................................................	13
Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы...........	13
Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы...............	14
Вычисление обратнойматрицыметодом элементарныхпреобразований............	14
Ранг матрицы..........................................................................................................	15
Теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц......................................	15
Линейная зависимость строк матрицы ...........................................................	15
Теорема о связи ранга матрицы и числа линейно независимых строк.........	15
Вычисление ранга матрицы.............................................................................	16
Система линейных уравнений...............................................................................	16
Решение системы линейных уравнений (СЛУ)..............................................	16
Классификация СЛУ........................................................................................	16
Метод Крамера решения СЛУ.........................................................................	17
Равносильные системы....................................................................................	17
Метод Гаусса решения СЛУ..................................................................................	17
Исследования СЛУ...........................................................................................	19
Теорема Кронекера–Капелли ................................................................................	19
Исследование однородной СЛУ......................................................................	20
Свойства однородных систем..........................................................................	20
Матричные уравнения .....................................................................................	20
Геометрический вектор..........................................................................................	20
Векторные и скалярные величины..................................................................	20
Равенство векторов ..........................................................................................	21
Коллинеарность и компланарность векторов.................................................	21
Линейные операции над векторами................................................................	21
- 3 -

Угол между двумя векторами..........................................................................	22
Проекция вектора на вектор............................................................................	22
Линейная комбинация векторов......................................................................	22
Линейная зависимость векторов .....................................................................	22
Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов ..........................	22
Теорема о линейной зависимости компланарных векторов..........................	22
Понятие базиса пространства................................................................................	22
Декартова (Cartesian)ортонормированнаясистема координат на плоскости........	23
Декартова ортонормированная система координат в пространстве .............	23
Линейные операции над векторами в декартовых координатах...................	24
Равенство и коллинеарность векторов в декартовых координатах...............	24
Модуль вектора................................................................................................	24
Направляющие косинусы вектора...................................................................	25
Деление отрезка в заданном отношении.........................................................	25
Скалярное произведение .......................................................................................	26
Вычисление скалярного произведения в декартовых координатах..............	26
Скалярный квадрат ..........................................................................................	26
Угол между векторами.....................................................................................	27
Проекция вектора на вектор ............................................................................	27
Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения .............................	27
Правая и левая тройка векторов ......................................................................	27
Векторное произведение........................................................................................	28
Свойства векторного произведения................................................................	28
Векторное произведение декартовых ортов между собой.............................	28
Вычисление векторного произведения в декартовых координатах..............	28
Вычисление площади параллелограмма и треугольника ..............................	29
Задачи, решаемые с помощью векторного произведения .............................	29
Смешанное произведение......................................................................................	29
Вычислениесмешанногопроизведениявекторов вдекартовыхкоординатах.....	29
Свойства смешанного произведения ..............................................................	30
Геометрический смысл смешанного произведения.......................................	30
Вычисление объема призмы и пирамиды.......................................................	30
Задачи, решаемые с помощью смешанного произведения............................	31
Переход от одного базиса к другому....................................................................	31
Аналитическая геометрия................................................................................	32
Уравнение линии на плоскости и поверхности в пространстве....................	32
Линия в пространстве ......................................................................................	32
Прямаялиниянаплоскости,нормальныйи направляющийвектор прямой................	33
Векторное уравнение прямой на плоскости...................................................	33
Общее уравнение прямой на плоскости .........................................................	33
Каноническое уравнение прямой на плоскости.............................................	34
Уравнение прямой с угловым коэффициентом..............................................	34
Уравнение прямой, проходящей через данную точку ...................................	34
Уравнение прямой, проходящей через две точки ..........................................	35
Уравнение прямой в отрезках .........................................................................	35
- 4 -

Параметрические уравнения прямой на плоскости .......................................	35
Угол между прямыми ......................................................................................	35
Отклонение точки от прямой ..........................................................................	35
Расстояние между параллельными прямыми.................................................	36
Плоскостьвпространстве. Нормальный и направляющие векторы плоскости..........	36
Векторное и общее уравнение плоскости.......................................................	37
Уравнение плоскости проходящей через заданную точку............................	37
Уравнение плоскости, проходящей через три точки .....................................	37
Уравнение плоскости в отрезках.....................................................................	38
Угол между плоскостями.................................................................................	38
Отклонение точки от плоскости......................................................................	38
Расстояние между двумя параллельными плоскостями................................	39
Прямая линия в пространстве. Направляющий и нормальные векторы прямой
в пространстве........................................................................................................	39
Векторное уравнение прямой в пространстве, канонические уравнения
прямой в пространстве.....................................................................................	39
Общие уравнения прямой в пространстве......................................................	40
Угол между прямыми ......................................................................................	41
Угол между прямой и плоскостью..................................................................	42
Пересечение прямой и плоскости .........................................................................	42
Кривые и поверхности второго порядка.........................................................	42
Эллипс ....................................................................................................................	43
Уравнение эллипса со смещенным центром ..................................................	44
Параметрическое уравнение эллипса..............................................................	44
Гипербола...............................................................................................................	45
Асимптоты гиперболы.....................................................................................	45
Классическое определение гиперболы ...........................................................	45
Уравнение гиперболы со смещенным центром..............................................	45
Параметрическое уравнение гиперболы.........................................................	45
Парабола.................................................................................................................	46
Преобразование координатного базиса................................................................	46
Параллельный перенос осей координат (перенос начала координат) ..........	47
Квадратичная форма..............................................................................................	48
Собственное число и собственный вектор ...........................................................	48
Вычисление собственных векторов и собственных чисел ............................	48
Теоремы о свойствах собственных чисел и собственных векторов..............	49
Применение для больших систем, обусловленность .....................................	49
Смыслсобственныхчиселдля квадратичнойформыкривой второго порядка....	49
Упрощение кривых второго порядка....................................................................	50
Поверхности второго порядка...............................................................................	52
Итоги курса ............................................................................................................	54
Обязательный минимум...................................................................................	54
Подготовка к экзамену.....................................................................................	54
Литература..............................................................................................................	55
- 5 -

ОТ АВТОРА

Развитие вычислительных технологий за последние 30 лет фактически изменили парадигму научного мышления и само понятие того, что такое наука. В настоящее время подавляющее большинство практических задач, с которыми приходится сталкиваться специалистам совершенно разных областей, сводятся

кчисленному моделированию. Последнее, в свою очередь, неизбежно приводит

кзадачам линейной алгебры. Еще в 90-е гг. прошлого века основной математической дисциплиной считался математический анализ. Матанализ – это интегралы, дифференциальные уравнения, точные решения, важнейший инструмент аналитического моделирования, дающий аппарат как для решения задач физики, так и теории вероятностей, обработки данных и других приложений.

Линейная алгебра при этом считалась хоть и важным, но все-таки дополнением к основному курсу математического анализа. Хотя в математической экономике и экономической кибернетике линейная алгебра уже и тогда была основным инструментом моделирования. С развитием вычислительных технологий ситуация изменилась кардинально. Сейчас большинство задач решается численно, т. е. в значительной степени методами линейной алгебры. Матанализ же дает возможность оценивать точность и достоверность моделирования, а также границы его применимости. Кроме моделирования, линейная алгебра также используется для сокращения записей.

Соответственно, главной задачей этого курса является освоение основных понятий и алгоритмов линейной алгебры. То есть овладение стандартным аппаратом линейной алгебры и пониманием того, что и как с его помощью можно вычислить.

Учебные задачи, которые предстоит научиться решать аналитически (как говорят, руками), можно было бы за доли секунд вычислить c помощью стандартных программ, даже не имея навыков программирования. Само по себе решение учебных задач особой практической ценности не имеет. Навыки решения прививаются в основном для того, чтобы студент имел представление об алгоритмах, что используются в стандартных программах.

Задачи, с которыми вы можете столкнуться в своей дальнейшей работе и учебе, будут отличаться большей размерностью. Иногда для решения таких задач бывает необходимо понимание алгоритмов, по которым работает ЭВМ.

Кроме того, помните о том, что курс является очень коротким. В нем отражены только основные понятия. Надеюсь, что при необходимости вы сможете разобраться самостоятельно с тем, что не вошло в рамки данного курса. Еще могу сказать, что ничто так не развивает человеческий интеллект, как изучение иностранных языков и алгебры.

Удачи!

- 6 -

МАТРИЦЫ ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОЙ МАТРИЦЫ

ОДНО ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПОНЯТИЯ ВЕКТОР

Вектор есть упорядоченный набор чисел. Что значит упорядоченный? Это значит, что у каждого числа зафиксирован номер. То есть векторы (2,1) и (1,2) не равны (2,1) ≠ (1,2). Числа те же, а порядок их расположения – различный. В современных книгах вектор обозначается жирным шрифтом.

Например, а = (1,2,3,4) – вектор-строка. Это значит, что его первый элемент есть 1, второй – 2 и т. д. Можно обозначить вектор и использованием нижнего индекса, например, аi, где i – номер элемента (в рукописях вектор обо-

значается стрелкой или палочкой сверху, (а). Можно представить тот же вектор

в виде столбца: а = 23 . Точно таким же образом можно описывать объекты, в

которых элементы зависят от двух номеров (индексов) аik. При этом первый индекс назовем номером строки, второй – номером столбца.

Числовой матрицей называется упорядоченный набор чисел, состоящий из m строк и n столбцов.

a11		a12 ...			a1n
a		a		...	a
	21	22				2n
Обозначения А = аik = (аik) = \|\| аik \|\| = ...		... ...			... .
		am2 ...
am1					amn
Например, матрица размера 2 × 3: A	1	2	3
		4	.
	1		6

Матрицы используются для обработки данных, а также для сокращения записи.

Подматрицы

Если из матрицы удалить какие-либо строки или столбцы, то получится подматрица данной матрицы. Например, если из матрицы А удалить первый

2 3

столбец, то получится ее подматрица A1 .

4 6

Равенство матриц

Две матрицы (aik) и (bik) называются равными, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. aik = bik i и k ( – квантор всеобщности, т. е. означает для всех).

- 7 -

Квадратная матрица

Матрица называется квадратной, если число строк в ней совпадает с числом столбцов, т. е. m = n. Число m в этом случае называется порядком матрицы.

Элементы квадратной матрицы, в которых i = k называются диагональными и образуют диагональ.

Соответственно, диагональной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, кроме диагональных, равны нулю. Например, диаго-

a11		0	0
	0	a	0
нальная матрица третьего порядка имеет вид:		22		.
	0	0	a33
	0	0	a33

Другие виды матриц

Матрица-строка (вектор-строка) – матрица размерности 1 × n. Матрицастолбец (вектор-столбец) – матрица размерности m × 1.

		Нулевая матрица – матрица, в которой все элементы равны нулю.
		Единичная матрица – диагональная матрица, все ненулевые элементы ко-
торой равны единице, например						1	0	0	− единичная матрица третьего по-
рядка (или размерности 3).						0	1	0
		Симметричная (		самосопряженная, Эрмитова, self-conjugate) матрица – та-
		Симметричная (				0	0	1
кая, в которой аik = aki					i, k, т. е. элементы этой матрицы симметричны относи-
			строки совпадают со столбцами).
тельно диагонали (
		Треугольная матрица – матрица, в которой все элементы выше (или ниже)
главной диагонали равны нулю. То есть аik = 0, if											i > k (или i < k). Например,
две матрицы третьего порядка:								5	2	0
0	3	4	− верхнетреугольная матрица,					5	2	0	− нижнетреугольная матрица.
1	2	5	− верхнетреугольная матрица,					1	0	0	− нижнетреугольная матрица.
0	0	4						7	8	3

Линейные операции над матрицами

Линейные операции – сложение матриц и умножение на число. Обычно выполнение этих операций не вызывает трудностей. Единственное, что нужно помнить – это то, что размерности матриц при сложении должны быть одинаковыми, иначе складывать их нельзя (как говорят люди, размерность не согласована, машины же выражаются примерно так: matrix dimensions must be agree). Если же размерность согласована, то при сложении матриц нужно сложить соответствующие элементы, aik + bik, например:

Умножение матрицы1		на3		+			=			.
					производится путем умножения каждого
			число2			−2	=	3	1
	число.			А = В ↔					.
элемента матрицы на это					−1	0		1
	2	4							4

- 8 -

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ

Warning. Неумение перемножать матрицы автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Замечание. Перемножать матрицы можно только в том случае, если их размерность согласована, т. е. число строк в одной матрицы совпадает с чис-

лом столбцов во второй (matrix dimensions must be agree).

Произведение строки на столбец есть число, которое находится точно так же, как и скалярное произведение. Например, для размерности 2 скалярное произведение строки на столбец имеет вид:

[ , ]· = + .

Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элементы которой с есть произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т. е.

с = aikbkj , где l − число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.

k 1

Зачастую знак суммы при суммировании по повторяющемуся индексу опускают (соглашение Эйнштейна). Поэтому формулу для нахождения произведения матриц можно записать и так: cij aikbkj .

На практике советую производить перемножение «двумя руками», т. е. левая рука идет по строке матрицы А, правая – по столбцу матрицы В, вычисление суммы происходит устно.

Пример:	1	2	·	2	1	=	2·1+3·2	1·1+2·1	=	8	3 .
	3	4		3	1		3·2+4·3	3·1+4·1		18	7

А зачем все это нужно? Одно из применений – для сокращения записи. Например, у вас есть система из двух уравнений и двух неизвестных:

. Эту систему можно представить как произведение матрицы

a21x1

a22x2

a11

a12 x1

на столбец переменных: a

Далее,

чтобы не переписывать переменные, систему можно записать в

виде расширенной матрицы:

a11

a12

Удобство такого представления мы поймем, когда будем изучать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Замечу, что в стандартных программных продуктах, например MathLab, используется именно такая запись систем уравнений. Тоестьэта форма удобнее не только для людей, но идля ЭВМ.

Замечание. Вообще, произведение матриц некоммутативно, т.е. АВ ≠ ВА.

Вслучае, если АВ = ВА, то матрицы А и В называют перестановочными.

-9 -

				Транспонирование матриц
	Транспонирование есть замена строк столбцами. То есть, если элементы
матрицы А есть , то элементы транспонированной матрицы есть							.
	Обозначенияа			. Устаревшее обозначение	Ат	, современное −а	А	(исполь-
зуется на ЭВМ).					Ат		А
	Свойства:
ной	1. Транспонирование, произведенное два раза подряд приводит к исход-
ной	2.		(А ) = A.
	матрице.		= В .
		(АВ)	= В .

3.− симметричная матрица.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

A det A	a11	a12	...	a1n	( 1)r a1k1a2k2...ankn .
A det A	a21	a22	...	a2n	( 1)r a1k1a2k2...ankn .
					n! 1
	...	...	...	...	r 0
	an1	an2	...	ann

Определитель квадратной матрицы с элементами аik есть сумма членов (указанных выше) всех возможных упорядоченных множеств k1, k2, …, kn, полученных r попарными перестановками (транспозициями) элементов из множества 1, 2, …, n. Число n есть порядок определителя.

Примеры:

n = 2. Наборов только 2: (1,2) r = 0, (2,1) r = 1.

n = 3. Наборов 6: (1,2,3)(r = 0), (1,3,2)(r = 1), (2,1,3)(r = 1), (2,3,1)(r = 0), (3,1,2)(r = 0), (3,2,1)(r = 1).

Справка. Факториал. 0!= 1, 1!= 1, 2!= 1·2, 3!= 1·2·3, 4!= 1·2·3·4, и т. д.

Достаточно сложное определение. Сложность в том, что можно легко запутаться в переборе перестановок, соответственно, это определение на практике не используется. Попробуем подойти к этому вопросу с другого конца.

Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число, равное:

a11	a12	a11a22 a12a21 .
a21	a22

МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

Минором Мij элемента аij называется определитель матрицы, полученной удалением строки с номером i и столбца с номером j.

- 10 -

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.08.2026876 Кб0Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие.pdf
#
12.08.2026895 Кб0Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие.pdf
#
09.08.2026393 Кб0Линейная алгебра. Сборник задач.pdf
#
12.08.2026856 Кб0Линейная алгебра. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Учебное пособие-2.pdf
#
12.08.2026698 Кб0Линейная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейная алгебра. Ч. 2. Системы линейных уравнений. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейное программирование. Практикум. Учебное пособие для бакалавриата.pdf
#
12.08.2026836 Кб0Линейное программирование. Ч.1. Учебное пособие для бакалавриата.pdf
#
12.08.20261 Мб0Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных уравнений. Учебное пособие.pdf