Линейная алгебра. Учебное пособие-2

Равенство векторов

Два вектора называются равными, если их направления совпадают и модули равны.

Это означает, что для равенства векторов они вовсе не обязаны совпадать. Например, если модули двух векторов равны и направления совпадают, но они будут равными и в том случае, если они лежат на параллельных прямых. В связи с этим появилось понятие свободного вектора. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом вектор остается равным исходному.

Коллинеарность и компланарность векторов

Два вектора коллинеарны, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Смысл. Два вектора коллинеарны, если их направления одинаковы или противоположны. Обозначение. а||b. Если

а– ненулевой вектор и а||b, то существует единственное число λ, такое что

а= λb. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Линейные операции над векторами

Линейные операции – умножение вектора на число (скаляр) и сложение векторов.

Произведением вектора а на число λ называется вектор b, модуль которого равен |λ||a|, направление же совпадает с направлением а, если λ > 0 и противоположно направлению а, если λ < 0.

Сложение векторов можно проводить по правилу параллелограмма:

1)совместить начала суммируемых векторов;

2)на этих векторах построить параллелограмм;

3)вектор на диагонали и будет суммой (рис. 1).

Рисунок 1 – Сложение векторов по правилу параллелограмма

Замечание. Разность векторов – сумма первого вектора и второго, умноженного на (–1).

- 21 -

Угол между двумя векторами

Углом между векторами называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов для совмещения с другим. Обозначение: (a,b). Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными.

Проекция вектора на вектор

Проекцией вектора а на вектор b называется число, равное прba = |a|cos ,

где = (a,b). Знак проекции. Если векторы ортогональны – то проекция одного из них на другой равна нулю. Если угол между векторами острый – проекция > 0, если тупой – проекция < 0.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называется выражение вида: λ1а1 + λ2а2 +…+ λnan .

Линейная комбинация – это вектор, полученный в результате линейных операция над векторами.

Линейная зависимость векторов

Система векторов а1, а2, …, аn называется линейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2, …, λn , не все равные нулю (нетривиальный набор чисел), для которых линейная комбинация векторов есть нулевой вектор, т. е.

λ1 а1 + λ2 а2 +…+ λn аn = 0.

Если же таких чисел не существует, то система векторов называется линейно независимой.

Смысл. Система векторов линейно зависима ↔ хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Теорема о линейной зависимости коллинеарных векторов

Два вектора линейно зависимы ↔ они коллинеарны.

Теорема о линейной зависимости компланарных векторов

Три вектора линейно зависимы ↔ они компланарны. Следствия:

1.Три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

2.Три некомпланарных вектора всегда линейно независимы.

ПОНЯТИЕ БАЗИСА ПРОСТРАНСТВА

Базисом n-мерного пространства называется любая система линейно независимых векторов этого пространства, линейной комбинацией которых является любой вектор этого пространства.

Пояснение. b = λ1а1 + λ2а2 +…+ λnan, при этом упорядоченный набор чисел λ1, λ2, …, λn называется координатами вектора b в базисе (а1, а2, …, an).

- 22 -

Иногда этот же набор называется коэффициентами разложения вектора b по базису (а1, а2, …, an). Базис же называется системой координат.

Следствие. В n-мерном пространстве базисом будет система из n векторов. Это одно из определений размерности пространства.

Соответственно, базисом на плоскости могут быть любые два неколлинеарных вектора. Базисом же трехмерного пространства может быть любая тройка некомпланарных векторов.

Декартова (Cartesian) ортонормированная система координат на плоскости

На плоскости декартов базис задается двумя ортогональными единичными векторами, отложенными по осям x и y. Они называются ортами и обозначаются i и j. Их координаты соответственно, есть (1,0) и (0,1). Как вы хорошо помните, оси, вдоль которых откладываются орты, называются соответственно осью абсцисс и осью ординат (рис. 2).

ау а

ах

Рисунок 2 – Координаты на плоскости

Любой вектор в декартовой системе координат на плоскости представляется в виде линейной комбинации ортов: а = ахi + ayj = (ах,аy).

То есть каждый вектор представляется в виде пары упорядоченных чисел, называемых координатами.

Если заданы координаты начала вектора А(х1,у1) и конца В(х2,у2), то координаты вектора АВ вычисляются как разность соответствующих координат:

AB (x2 x1,y2 y1).

Радиус-вектором точки М(х,у) называется вектор, конец которого находится в точке М, а начало находится в начале координат. Обозначается r(х,у). Его координаты совпадают с координатами точки М.

Декартова ортонормированная система координат в пространстве

В пространстве декартов прямоугольный (ортонормированный) базис задается тремя ортогональными единичными векторами, отложенными по

- 23 -

осям ОХ, ОY и ОZ. Они называются ортами и обозначаются i, j, k (их координаты вы сможете определить самостоятельно). Оси, вдоль которых откладываются орты называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Любой вектор в декартовой системе координат в трехмерном пространстве представляется в виде линейной комбинации ортов:

А = ахi + ayj + azk = (ах,аy,az).

То есть каждый вектор представляется в виде тройки упорядоченных чисел, называемых координатами.

Если заданы координаты начала вектора А(х1,у1,z1) и конца В(х2,у2,z2), то координаты вектора АВ вычисляются как разность соответствующих координат:

AB (x2 x1, y2 y1,z2 z1).

Аналогично плоскому случаю радиус-вектором точки М(х,у,z) называется вектор, конец которого находится в точке М, а начало находится в начале координат. Обозначается r(х,у,z). Его координаты совпадают с координатами точки М.

Линейные операции над векторами в декартовых координатах

Даны два вектора: а = (аx,ay,az), b = (bx,by,bz). Напомню, что линейные операции над векторами – это сложение векторов и умножение на скаляр λ.

Очевидно, что: λa = (λаx,λay,λaz), a + b = (аx + bx, ay + by, az + bz).

Таким образом, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении же на скаляр, все они умножаются на этот скаляр.

Равенство и коллинеарность векторов в декартовых координатах

Из определения равенства двух векторов следует, что два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т. е. а = b ↔ ax = bx, ay = by, az = bz.

Два вектора коллинераны, если a = λb, т. е. (аx,ay,az) = λ(bx,by,bz), т. е.

аx = λbx, аy = λby, аz = λbz.

То есть соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат.

- 24 -

Рисунок 3 – Модуль вектора

Направляющие косинусы вектора

В декартовых координатах задан вектор = , , . Попробуем вынести модуль вектора в качестве множителя. Получаем, что:

тора совпадают с координатами его направляющих косинусов.

Деление отрезка в заданном отношении

Дан отрезок АВ в пространстве. Напомню, что отрезок – часть прямой, заключенной между двумя точками. Точка А имеет координаты (х1,у1,z1), В(x2,y2,z2). На отрезке имеется точка С, такая что АС/ВС = λ. Требуется найти координаты точки С(x,y,z).

Решение. Построим на отрезках векторы

AC (x x1, y y1,z z1); CB (x2 x, y2 y,z2 z).

Поскольку они коллинеарны, то (x x1, y y1,z z1) (x2 x, y2 y,z2 z). Приравняем первую компоненту и приведем подобные. Получаем, что:

x x1 (x2 x) x(1 ) x1 x2 x x1 x2 .

1

- 25 -

Аналогично получаем из равенства остальных компонент:

y y1 y2 ;z z1 z2 .

1 1

Задача решена. х, у и z найдены. В частном случае деления отрезка попо-

лам λ = 1 получаем, что: x x1 x2 ; y y1 y2 ;z z1 z2 .

2 2 2

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними,

т. е. (a,b) = ab = |a||b|cos , при этом = (a,b). Физический смысл скалярного произведения – работа силы.

Вычисление скалярного произведения в декартовых координатах

Warning. Неумение вычислять скалярное произведение автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Для того чтобы получить формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение произвольных векторов, вычислим скалярные произведения друг относительно друга векторов базиса. Результаты запишем в виде таблицы.

i j k

i 1 0 0

Смысл ее следующий. (i,i) = 1, (i,j) = 0, и т. д. j 0 1 0. Поскольку известно,

k 0 0 1

как умножаются между собой векторы базиса, а каждый вектор есть линейная комбинация векторов базиса, то можно вычислить скалярное произведение двух произвольных векторов:

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;

(a,b) axbx (i,i) axby (i, j) axbz (i,k) aybx( j,i) ayby( j, j) aybz (j,k) azbx(k,i) azby (k, j) azbz (k,k);

Поставив нули и единицы в соответствии с таблицей, получаем формулу: (a,b) axbx ayby azbz Частный случай: a b (a,b) 0.

Скалярный квадрат

Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора с самим собой: (a,a) a 2 ax2 ay2 az2 a ax2 ay2 az2 . Видно, что скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора.

- 26 -

Угол между векторами

Из определения скалярного произведения следует, что:

Проекция вектора на вектор

Как вы помните, проекцией вектора а на вектор b называется число, равное прba = |a|cos , где = (a,b). Соответственно, проекция вектора а на вектор b может быть выражена через их координаты как:

Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

1.Нахождение модуля вектора или длины отрезка.

2.Нахождение угла между векторами.

3.Нахождение проекции вектора на вектор.

Правая и левая тройки векторов

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку векторов, если выполняются следующие условия:

1.Векторы упорядочены, т. е. указано, какой их них первый, второй, третий.

2.При повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта (рис. 4).

Рисунок 4 – Правая и левая тройки секторов

Комментарии:

a.Если вы крутите гайку с правой резьбой против часовой стрелки, гайка идет вверх.

b.На мой взгляд в пункте 2 правильнее было бы сказать не о том, что вектор с направлен по направлению осевого движения правого винта, а его проекция на вышеуказанное направление положительна.

-27 -

c.Далее будет показано, что определять ориентацию тройки можно без сложных построений.

d.Если у одного из векторов правой тройки сменить направление на противоположное (умножить на отрицательный скаляр), или любые два соседних вектора поменять местами, то правая тройка станет левой.

Иногда говорят о правой или левой ориентации тройки. Бывает, что правой ориентации приписывают значение +1, а левой –1.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, удовлетворяющий следующим условиям:

1)|с| = |а|b|sin , где = (a,b), т. е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

2)вектор с ортогонален и вектору а и вектору b (т. е. плоскости, построенной на этих векторах) c a;c b.

3)тройка векторов a, b, c является правой.

Обозначения: a × b, [a,b].

Свойства векторного произведения

1.Антикоммутативность, т. е. [a,b] = –[b,a].

2.Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому

вектору ( = 0 или π, соответственно sin = 0).

Векторное произведение декартовых ортов между собой

Очевидно, что [i,i] = [j,j] = [k,k] = 0. Далее векторные произведения ортов можно вычислить с помощью простой схемы (см. рис. 5). Если идем по стрелке, получаем +1, если против стрелки, то –1.

[i,j] = k, [j,k] = i, [k,i] = j, [j,i] = –k, [k,j] = –i, [i,k] = –j .

Рисунок 5 – Схема вычисления векторного произведения ортов

Вычисление векторного произведения в декартовых координатах

Warning. Неумение вычислять векторное произведение автоматически влечет на экзамене оценку «неудовлетворительно».

Зная, как перемножаются между собой орты декартова базиса, можно легко вычислить векторное произведение:

- 28 -

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;

a,b axbx[i,i] axby[i, j] axbz[i,k] aybx[j,i] ayby[j, j] aybz[j,k] azbx[k,i]

azby[k, j] azbz[k,k] i(aybz azby ) j(azbx axbz ) k(axby aybx );

Это же выражение можно записать как символический определитель, который вычисляется разложением по верхней строке.

Вычисление площади параллелограмма и треугольника

Из определения векторного произведения видно, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Соответственно, площадь треугольника, построенного на этих же векторах, равна половине площади параллелограмма. Соответственно, для нахождения площадей, необходимо вычислить векторное произведение, а затем вычислить его модуль. При необходимости разделить на два.

Задачи, решаемые с помощью векторного произведения

1.Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

2.Различные физические задачи, например, вычисление силы Лоренца. F = q[v,B]. Помните, как в школе говорили про правило правого винта? Теперь про винты можно забыть.

3.Векторное произведение используются в дифференциальной геометрии для вычисления элемента поверхности, а также вектора единичной нормали к поверхности. Там, кроме нахождения векторного произведения, нужно уметь вычислять производные. Это находится за рамками нашего курса.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на тре-

тий. (a,b,c) = ([a,b],c).

Вычисление смешанного произведения векторов в декартовых координатах

Векторное произведение мы вычислять умеем, скалярное – тоже. Соответственно, если даны три вектора, то выполнить последовательно эти две операции не составит особого труда:

- 29 -

a axi ay j azk;b bxi by j bzk;c cxi cy j czk;

a,b i(aybz azby ) j(azbx axbz ) k(axby aybx );

(a,b,c) cx (aybz azby ) cy (azbx axbz ) cz (axby aybx )

ax ay az bx by bz bx by bz cx cy cz

Последнее равенство получено на основании того, что определитель меняет знак, если переставить две соседние строки, и, соответственно не изменяется, если переставить строки одинаковой четности.

Обратите внимание на то, что если векторноепроизведение–это символический определитель (т.е. совсем не определитель, а что-то, что вычисляется по такому же алгоритму, что и определитель), то смешанное произведение – число, которое в точностиравноопределителюматрицы,строкамикоторойявляютсякоординатывекторов.

Свойства смешанного произведения

1.При перестановке двух соседних векторов смешанное произведение меняет знак. Это следует из свойства определителей, упомянутого чуть выше.

2.Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

3.Если тройка векторов a, b, c – правая, то (a,b,c)> 0. Если левая, то

(a,b,c) < 0.

Геометрический смысл смешанного произведения

Даны три некомпланарных вектора a, b, c. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b равна модулю их векторного произведения. Объем параллелепипеда есть произведение площади основания на высоту. Вектор [a,b] ортогонален и вектору а и вектору b, т. е. ортогонален их любой линейной комбинации → ортогонален плоскости, построенной на этих векторах. Следовательно, высота есть модуль проекции вектора с на [a,b].

пр[a,b]c = ([a,b],c) / |[a,b]| = (a,b,c) / |[a,b]|.

Вычисление объема призмы и пирамиды

Объем треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту. Основание призмы – треугольник. Соответственно, площадь основания

– половина модуля векторного произведения. Высота вычисляется аналогично указанному выше, соответственно, объем треугольной призмы есть половина

модуля векторного произведения. Vпр = |( , , )|. Объем тетраэдра (пирамиды с треугольным основанием) есть одна треть от площади основания, умноженной на высоту. Соответственно, Vтетр = |( , , )|.

- 30 -