Линейная алгебра. Учебное пособие-2

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется число, равное

(–1)i+jMij, т. е. Аij = (–1)i+jMij.

Примеры. А11 = М11, А12 = –М12.

Теорема (без доказательства) о вычислении определителя путем разложения по строке или столбцу

Первая сумма – разложение по столбцу с номером j, вторая – по строке с номером j. Интересно, что результат не зависит от j. То есть вычислять определитель можно разложением как по строке (по любой), так и по столбцу (опятьтаки по любому).

Вывод. Вычисление определителя порядка n может быть сведено к вычислению определителей порядка n – 1. Соответственно, рано или поздно процесс сведется к вычислению определителей второго порядка.

Пример. Вычисление определителя третьего порядка путем разложения по верхней строке.

Знаки + или – указывают на совпадение или различие знака минора и алгебраического дополнения.

Недостатки метода. Катастрофическое (с точки зрения практических вычислений и вычислительных алгоритмов) возрастание количества операций с ростом порядка определителя (~ n!). По этой причине стандартные программы этот метод не используют.

Свойства определителей

1.Определитель не изменяется при транспонировании матрицы. То есть при вычислении определителя все утверждения для строк справедливы и для столбцов.

2.При перестановке двух соседних строк определитель меняет знак на противоположный.

3.Определитель с двумя равными строками равен нулю.

4.Общий множитель любой строки можно вынести за знак определителя. Пример:

- 11 -

5.Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на любое число.

6.Определитель диагональной, а также треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

7.Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Вывод. Определитель матрицы равен нулю, если:

1.Хотя бы в одной из строк все элементы равны нулю (нулевая строка).

2.Хотя бы две строки совпадают.

3.Хотя бы одна из строк есть линейная комбинация остальных. Поясне-

ние на примере определителя третьего порядка.

( − квантор существования)

С точки зрения теории информации это означает, что, по крайней мере, одна из строк не несет никакой информации о системе и является тавтологией.

Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований

Определение. Элементарным преобразованием называется прибавление к какой-либо строке любой другой строки, умноженной на любое число.

Вспомним свойства определителей. С одной стороны, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. С другой, определитель не изменяется при проведении элементарных преобразований.

Возникает вопрос: можно ли с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду? То есть найти матрицу, определитель которой будет таким же, но вычислять его будет элементарно просто. Ответ: А почему нет? Давайте попробуем.

После реализации первого шага мы добились нулей в первом столбце. Далее – первая и вторая строка без изменений. Процесс продолжается до получения треугольной матрицы. Обратите внимание, что с каждым шагом количество операций сокращается.

- 12 -

Примерно в таком виде алгоритм используется в стандартных программах. Отличие лишь в том, что для уменьшения погрешности вычислений сначала в матрице находится максимальный по модулю элемент. Он называется ведущим. Затем путем перестановки строк и столбцов он становится элементом а11. Количество операций ~ n3.

Вырожденная матрица

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Если вспомнить что определитель произведения матриц равен произведению определителей, то очевидно, что произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица, а произведение любой (в том числе и невырожденной) матрицы на вырожденную есть вырожденная матрица.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Матрица A-1 называется обратной к квадратной матрице А, если

АА-1 = А-1А = Е (Е – единичная матрица). Свойство (А-1)-1 = А.

Теорема о существовании обратной матрицы (без доказательства). if det A 0 !A 1

if det A 0 A 1

(¬− квантор отрицания, ! −квантор единственности).

Набор символов, приведенный выше, означает, что если матрица невырожденная, то обратная к ней существует и притом единственная. Если же матрица вырожденная, то обратной к ней не существует.

||Aji|| – присоединенная матрица, она же транспонированная матрица алгебраических дополнений ||Aji|| = ||Aij||т.

- 13 -

Недостаток метода – катастрофическое (с точки зрения практических вычислений и вычислительных алгоритмов) возрастание количества операций с ростом порядка матрицы. По этой причине стандартные программы этот метод не используют.

Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1.Перестановка строк;

2.Умножение строки на число, отличное от нуля;

3.Прибавление к строке любой другой строки, умноженной на любое

число.

Элементарные преобразования невырожденную матрицу преобразуют в невырожденную, а вырожденную – в вырожденную.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если от А можно перейти к В при помощи конечного количества элементарных преобразований. Эквивалентность обозначается символом ~ (А ~ B).

Замечание. Все высказывания о свойствах элементарных преобразований, характерные для строк, справедливы также и для столбцов. В дальнейшем для определенности я буду говорить только о строках.

Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

Теорема (без доказательства). Если последовательность элементарных преобразований приводит матрицу А к единичной (Е), то та же последовательность преобразований приводит матрицу Е к A-1.

Правило вычисления обратной матрицы (алгоритм Жордана–Гаусса):

1.Записать рядом две матрицы А|Е.

2.Привести элементарными преобразованиями матрицу А к треугольному виду (прямой прогон).

3.Привести матрицу А к диагональному виду (обратный прогон).

4.Разделить на диагональные элементы. Тогда на месте исходной матрицы будет матрица Е, а на месте матрицы Е – обратная.

Замечание. Если матрица вырожденная, то на втором этапе получится строка нулей. В этом случае обратной матрицы не существует.

- 14 -

РАНГ МАТРИЦЫ

Рангом матрицы (r(A), rangA, rang(A)) называется наивысший порядок минора, отличного от нуля.

Пояснение. В прямоугольной матрице, состоящей из m строк и n столбцов (пусть n > m) выделяется квадратная матрица путем удаления какихлибо строк и столбцов.

Для того чтобы вычислить ранг матрицы по определению, необходимо выделить какую-либо невырожденную подматрицу 2 порядка, затем путем перебора найти невырожденную подматрицу 3 порядка. Если таковых не окажется, значит, ранг равен 2, если таковые существуют, процесс продолжается до тех пор, пока не найдется невырожденная подматрица порядка m.

Замечания:

1.Ранг матрицы не может превосходить наименьший размер прямоугольной матрицы. То есть если m < n, то rang(A) ≤ m.

2.Ранг нулевой матрицы равен нулю.

Теорема о равенстве рангов эквивалентных матриц

Ранги эквивалентных матриц равны. То есть элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Линейная зависимость строк матрицы

Строки матрицы а1i, а2i, аki называются линейно зависимыми, если существуют числа, не все равные нулю (как говорят, нетривиальный набор чисел), для которых линейная комбинация равна нулевой строке:

λ1а1i + λ2а2i +…+ λkаki = (0,0,…0).

В противном случае строки называются линейно независимыми.

Напомню, что если строки линейно зависимы, то хотя бы одна из них есть линейная комбинация остальных.

Теорема о связи ранга матрицы и числа линейно независимых строк

Теорема (без доказательства). Ранг матрицы равен наибольшему числу

еелинейно независимых строк.

Вэтой теореме и заключается весь смысл понятия ранга матрицы. Если определитель – это индикативная характеристика матрицы (строки линейно

-15 -

независимы или хотя бы одна является тавтологией?), то ранг – характеристика уже количественная (а сколько же строк являются линейно независимыми?).

Вычисление ранга матрицы

Метод элементарных преобразований. Поскольку элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно привести матрицу к такому виду, чтобы слева была треугольная матрица. Нулевые строки и столбцы при этом можно удалять. Ранг матрицы будет при этом равен числу ненулевых строк.

Пример. Вычислить ранг матрицы:

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида:

При этом аij – называются коэффициентами, x1, x2,…xm – переменные, b1, b2,…bm – свободные члены. Система называется линейной, т. к. переменные входят во все уравнения в первой степени.

Решение системы линейных уравнений (СЛУ)

Совокупность чисел λ1, λ2, …λn называется решением системы, если при подстановке x1 = λ1 , x2 = λ2, …xn = λn каждое уравнение превращается в тождество.

Классификация СЛУ

Следует иметь в виду, что СЛУ может быть:

1.Однородной, если bi = 0 для всех i.

2.Неоднородной, если bi ≠ 0 хотя бы для одного i.

3.Совместной, если существует хотя бы одно решение системы.

4.Несовместной, если не существует ни одного решения.

5.Определенной, если решение системы единственно.

6.Неопределенной, если решений бесконечно много.

Замечание. О форме записи. СЛУ можно записать в матричном виде, а именно: Ах = b, где А = ||аij|| – матрица коэффициентов системы, х – столбец переменных, b – столбец свободных членов.

- 16 -

Метод Крамера решения СЛУ

Дана система n уравнений с n неизвестными. Ах = b, причем матрица А – квадратная и не вырожденная. Тогда решение системы находится по формулам:

определитель матрицы, полученной замены в А j-го столбца на столбец свободных членов.

Метод нахождения решений, описанный выше, называется методом Крамера, а формулы, соответственно, называются формулами Крамера.

Замечание. Если detA ≠ 0, то решение существует и единственно. В противном случае решений либо нет, либо их бесконечно много (метод Крамера не применим).

Можно записать решение системы в виде вектора (–1;0;1).

Равносильные системы

Равносильными называются системы, имеющие одно и то же решение. Следующие элементарные преобразования над уравнениями позволяют получить равносильную систему:

1)любая перестановка уравнений;

2)умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3)прибавление к любому уравнению любого другого, умноженного на любое число.

МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СЛУ

Дана система m уравнений с n неизвестными:

Об обозначениях. Систему записывают в виде Ах = b, где А – матрица коэффициентов, x – столбец переменных (который нужно найти), b – столбец свободных членов. Также систему записывают в виде расширенной матрицы А|b.

- 17 -

Немного о смысле. А что означает решить систему линейных уравнений?

Предположим, что все уравнения линейно независимы, т. е. ни одно из них не есть линейная комбинация остальных (тавтология) (в противном случае часть уравнений будет просто исключена). Рассмотрим несколько случаев:

1. Если система несовместна (внутри системы есть противоречие), указать, что решений нет.

2.Если число уравнений совпадает с числом неизвестных и внутри системы нет противоречий, то решением будет набор чисел. Указать этот набор и значит решить.

3.Если переменных больше, чем уравнений, и внутри системы нет противоречий, то решить систему означает указать связи между переменными. Пример. Одно уравнение – два неизвестных. Возможно, кто-то помнит, что это уравнение прямой на плоскости x + y = 1. Его решением, в частности, будет

x= 1 – y. Смысл следующий, x = 1 – y, при этом y – любое число. Решений бесконечно много? Да. Точек на прямой тоже бесконечно много. Значит ли это, что решение бессмысленно? Отнюдь нет. Грубо говоря, на плоскости точек во много раз больше, чем на прямой. Вы показываете, что решением является не произвольный набор чисел, а набор, ограниченный определенными связями. То есть в данном случае выделяете на плоскости прямую, котораяявляется решением.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных

то в результате элементарных преобразований на ее месте получится треугольная матрица. В результате обратного прогона определяются все переменные.

Если же на месте матрицы А получится квазитреугольная матрица, т. е. прямоугольная матрица, которая содержит треугольную подматрицу, то для нахождения решения одни переменные (связанные) нужно выразить через другие (свободные).

Замечание. В матэкономике эти переменные называются иначе. Одна из основных задач теории оптимизации – определить, какие переменные из всех возможных следует обратить в ноль.

- 18 -

Если система несовместна, то в результате приведения матрицы к квазитреугольному виду получите классическое противоречие 0 = 1.

Выводы:

1.Метод Гаусса универсален, т. е. он охватывает все возможные случаи, включая выяснение совместности системы и нахождения решений неопределенной системы.

2.Метод Гаусса экономичен. Количество операций ~ кубу от числа урав-

нений.

x3 = 1, 10х2 + х3 = 1, → х2 = 0, 2х1 – 4 × 0 + 3 × 1 = 1 → х1 = –1; (−1,0,1) – ответ.

х1, х2 – связанные переменные, х3 – свободная.

3х2 = 10 + х3 → х2 = 10/3 + х3/3

х1 = 4 – х3 – х2 → x1 = 4 – х3 – 10/3 – x3/3 = 2/3 – 4x3/3

= −

– ответ.

=+

Исследование СЛУ

Пояснение. Зачастую находить решение СЛУ не нужно. Нужно лишь дать ответ два вопроса:

1.Существует ли решение (совместна ли система)?

2.Единственно ли решение (система определенная или нет)? Исследовать СЛУ – это значит дать ответ на эти два вопроса. Ответы на них дает теорема Кронекера–Капелли.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА–КАПЕЛЛИ

Дана СЛУ Ах = b, где А – матрица размерности m × n. А|b – расширенная матрица системы.

Теорема (без доказательства). Для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang(A) = rang(A|b).

- 19 -

Сокращенная форма записи. СЛУ совместна↔ rang(A) = rang(A|b). Следствие. Если rang(A) < rang(A|b), то система несовместна.

Исследование однородной СЛУ

Если система имеет вид: Ах = 0, где 0 – нулевой столбец (т. е. все свободные члены равны нулю), то такая система называется однородной.

Свойства однородных систем

1.Однородная система всегда совместна, т. к. rang(A0) = rang(A). Она всегда имеет тривиальное решение, т. е. х = 0, т. е. все переменные равны нулю.

2.Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ранг матрицы Абыл меньше числа неизвестных, т.е. rang(A) < n.

3.Если матрица А – квадратная (т. е. число неизвестных совпадает с числом уравнений), то для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы det(A) = 0.

Матричные уравнения

АХ = В, где А, В – известные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Для решения уравнения умножим обе части слева на матрицу, обратную к А. A-1AX = A-1B → EX = A-1B → X = A-1B.

Аналогично решаются уравнения вида AXB = C, где А, В, С – известные

матрицы, Х – неизвестная.

AXB = C → A-1AXBB-1 = A-1CB-1 → X = A-1CB-1.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЕКТОР

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т. е. такой, в котором указано, какая из точек является началом, какая концом.

Определение 2. Вектором называется упорядоченная пара точек. Обозначения: а, a, AB .

При этом точка А – начало, точка В – конец вектора. Модуль вектора – это число, равное длине этого отрезка. Обозначения: a , AB .

Нулевойвектор–этовектор,модулькоторогоравеннулю.Обозначаетсякак0. Замечание. Направление нулевого вектора не определено. Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.

Векторные и скалярные величины

Величину, которую можно описать числом, называют скалярной. Например, температура, масса, плотность. Величины, которые зависят не только от числа (модуль), но и от направления, описывают с помощью векторов. Соответственно, такие величины называются векторными.

Примеры. Скорость, сила. Если величина зависит не только от числа, но и от нескольких направлений, то она описывается с помощью тензора.

- 20 -