Линейная алгебра. Учебное пособие-2

Пример. Найти канонические уравнения прямой, если известны общие уравнения

При этом параметр t = z. Находим общее решение с помощью расширенной матрицы. При этом первые два столбца – матрица коэффициентов, третий – столбец свободных членов, четвертый – столбец коэффициентов при свободной переменной, соответственно, свободной переменной считаем z.

А это есть не что иное, как параметрическое уравнение прямой с направляю-

Замечание. Углов между прямыми, вообще говоря, два. Один острый, второй тупой. Обычно когда говорят об угле между прямыми, указывают острый.

- 41 -

Угол между прямой и плоскостью

Если известен нормальный вектор к плоскости n = (А,В,С) и направляющий вектор прямой q = (l,m,n), то можно найти острый угол между прямой и нормалью к плоскости:

Соответственно, угол между прямой и плоскостью φ есть угол, дополняющий δ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Если прямая задана общими уравнениями или каноническими, а плоскость – общим уравнением, то совместное решение этих уравнений (три уравнения – три неизвестных) даст точку, координаты которой удовлетворяют и уравнению плоскости и уравнению прямой (если, конечно, система совместна). Однако если нет особого желания решать систему из трех уравнений, можно свести задачу всего к одному уравнению. Для этого следует использовать пара-

x x0 lt

метрическое уравнение прямой: y y0 mt .

z z0 nt

Параметрическое уравнение прямой подставляете в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Получается всего одно уравнение, зависящее от параметра t. Найдя этот параметр t, и подставив его в уравнения прямой, можно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости. Подобная задача имеется в РГЗ.

кости 2x – y − 3z + 5 = 0.

x 1 2t

Решение. Параметрическое уравнение прямой имеют вид: y 1 3t

z 4 t

Подставляем в уравнение плоскости: 2(1 + 2t) − (−1 + 3t) −3(−4+t) + 5 = 0 −2t + 20 = 0

t = 10 → x = 21, y = 29, z = 6.

Это и есть координаты точки пересечения. Задача решена.

Кривые и поверхности второго порядка

Прямая линия, плоскость – это линейные образы, т. е. для их описания используются линейные уравнения. Кривые второго порядка описываются

- 42 -

уравнениями второй степени. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Первое слагаемое – вектор-строка умножить на симметричную матрицу второго порядка и умножить на вектор-столбец называется квадратичной формой. Если размерность вектора, и, соответственно, симметричной матрицы – 3, то это будет уравнением поверхности второго порядка. Если же размерность матрицы (и число переменных) есть n – то это будет уравнение гиперповерхности в n – мерном пространстве. Здесь важны не названия, а то, что математический аппарат, разработанный для упрощения уравнений кривых и поверхностей второго порядка можно использовать при любом количестве переменных, главное, чтобы матрица была симметричной. Некоторые элементы этого аппарата используются во многих областях численного моделирования и функционального анализа, не имеющих к геометрии никакого отношения.

В классических учебниках по геометрии определения кривых даются через геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо свойству. Для экономии времени мы определим кривые через т. н. канонические уравнения.

ЭЛЛИПС

Эллипсом называется кривая второго порядка, каноническое уравнение

которой имеет вид: + = 1. Соответственно, если a = b, то это есть не что

иное, как окружность радиуса a с центром в начале координат. Следовательно, эллипс есть вытянутая окружность. Эллипс, у которого а = 2, b = 1, изображен ниже на рис. 9. При этом а и b называются полуосями эллипса.

- 43 -

х на у, а у – на минус х). Точки с координатами (с,0) и (−с,0) называются фокусами эллипса. Одна из количественных характеристик вытянутости эллипса – эксцентриситет – есть безразмерное отношение . У окружности этот параметр

равен нулю, в случае бесконечно вытянутого эллипса (он в этом случае вырождается в отрезок) эксцентриситет е = 1.

Оптическое свойство эллипса. Если точечный источник света поместить в одном фокусе эллипса, то после отражения от эллиптического зеркала лучи сфокусируются во втором фокусе (рис. 10).

Y

1

0

-1

Рисунок 10 – Оптическое свойство эллипса

Классическое определение эллипса. Эллипс – ГМТ, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) есть константа (равная 2а).

Уравнение эллипса со смещенным центром

Если оси эллипса параллельны координатным осям, а центр находится в

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрический способ является наиболее общим и удобным способом задания как кривой, так и поверхности. Поскольку любая линия есть одномерное многообразие, то естественно задать декартовы координаты этой линии как

x acost

функции некоторого параметра: .

y bsint

- 44 -

ГИПЕРБОЛА

Гиперболой называется кривая, каноническое уравнение которой имеет

вид: − = 1.

Вид гиперболы при a = b = 1 приведен на рис. 11. Нетрудно увидеть, что гипербола достаточно быстро становится похожей на прямые линии, называемые асимптотами.

перболы есть безразмерное отношение .

Классическое определение гиперболы

Гипербола есть ГМТ, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) есть константа (равная 2а).

Уравнение гиперболы со смещенным центром

Если оси гиперболы параллельны координатным осям, а центр находится

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение одной из ветвей (для второй ветви нужно

x acosht .

координату х взять со знаком «минус») гиперболы имеет вид:

y bsinht

- 45 -

Примечание. Гиперболический косинус (устаревшее обозначение − chx) coshx = , гиперболический синус (устаревшее обозначение − shx)

Оптическое свойство гиперболы. Если точечный источник света поместить в одном фокусе гиперболы, то после отражения от гиперболического зеркала лучи кажутся исходящими из второго фокуса.

=

скими, см. далее про поворот осей координат.

Оптическое свойство параболы. Параллельный поток лучей (т. е. поток лучей от бесконечно удаленного источника), параллельный оси симметрии, после отражения от параболического зеркала, собирается в фокус.

Применение – параболические антенны. Очень слабый сигнал от удаленного источника (например, спутника) при правильной ориентации приемной антенны можно усиливать по амплитуде в тысячи раз.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТНОГО БАЗИСА

Рассмотрим два преобразования координатного базиса – поворот осей координат и перенос начала координат. Эти преобразования уникальны тем, что при их использовании расстояние между точками не изменяется. Соответ-

- 46 -

ственно, геометрические свойства, например, кривизны, также не изменяются. Начнем с поворота.

Для того, чтобы вычислить, как изменяются координаты при повороте, придется вспомнить формулы тригонометрии (как получаются проекции) (рис. 13).

2.= .

Параллельный перенос осей координат (перенос начала координат)

Если начало координат переместить в точку ( , ) (и взять эту точку за новое начало координат), то точка с координатами ( ,y) в новой системе коор-

разование позволяет избавиться от линейных членов в уравнении кривой второго порядка.

его–онещепригодитсявамвкурсематанализа,когдабудетеизучатьинтегрирование.

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

Если взять из уравнения кривой второго порядка только члены второй степени, то получится однородный многочлен второй степени – квадратичная форма.

=. Отметим, что данная матрица является симметричной.

СОБСТВЕННОЕ ЧИСЛО И СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР

Воздействие матрицы на вектор (произведение) есть достаточно сложная операция, которая может изменить как модуль, так и направление вектора. Зададимся вопросом, а может ли воздействие матрицы на какой-либо вектор быть максимально простым? Например, действовать как скаляр, т. е. в результате воздействия матрицы на вектор получится вектор, коллинеарный исходному? Логично для таких векторов ввести особое название – собственные векторы. Итак, если для какого-либо вектора r и числа λ выполняется соотно-

Замечание 1. Если хотя бы одно из собственных чисел матрицы есть ноль – то матрица вырожденная.

Замечание 2. Собственный вектор определен не однозначно. В самом деле, если собственный вектор умножить на какое-либо число, не равное нулю,

есть нулевой вектор (система однородна), то нетривиальное (не равное нулево-

вается характеристическим. Для кривой второго порядка это уравнение будет квадратным, для поверхности второго порядка – уравнением третьей степени, т. е. порядок уравнения совпадает с порядком матрицы А. В случае кривой второго порядка (размерность матрицы есть 2) характеристическое уравнение име-

- 48 -

После нахождения собственных чисел собственные векторы находятся

задав произвольно одну из координат, и это будет собственный вектор, соответствующий данному собственному числу.

Теоремы о свойствах собственных чисел и собственных векторов

1.Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

2.Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Это означает, что в случае кривой второго порядка в базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет вид = + , который называется каноническим.

Применение для больших систем, обусловленность

Стандартные программы находят решения систем уравнений достаточно легко и быстро, но этим решениям можно доверять не всегда (особенно в случае больших систем). Собственные числа для таких систем очень важны. Допустим, необходимо решить СЛУ Ах = b, где А – матрица коэффициентов (не вырожденная), х – столбец искомых переменных, b – столбец свободных членов. Если матрица А не является симметричной, то систему можно симметризовать

вычислить максимум отношения их модулей, то получим число, называемое обусловленностью системы (Cond(A)). Если это число получилось большим (больше 1000), то значит, что система плохо обусловлена, т. е. пользоваться стандартными программами для нахождения ее решения нельзя. В таких случаях, обращайтесь к специалистам по некорректным задачам.

Смысл собственных чисел для квадратичной формы кривой второго порядка

УПРОЩЕНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Теперь аппарат, изложенный ранее, можно использовать для упрощения кривых второго порядка (для поверхностей и гиперповерхностей алгоритм точно такой же).

Напомню общее уравнение кривой второго порядка:

+2 + +2 +2 + = 0.

Упрощение начнем с того, что выделим в этом уравнении квадратичную форму:

цедура упрощения квадратичной формы иногда называется приведением к главным осям.

После этого от линейных членов в уравнении кривой второго порядка можно избавиться путем переноса начала координат (дополнением до полных