Линейная алгебра. Учебное пособие-2

=

=−1 .

√2

Матрица поворота имеет вид: = √ 21 −12 . Замена переменных

+= 1, что также является правильным. Неединственность в данном

случае является вполне объяснимой и естественной. В самом деле, если вы произведете поворот осей координат угол = , то эллипс останется эллипсом,

просто полуоси поменяются местами.

Замечание 2. Нормированный собственный вектор определен неоднозначно, с точностью до множителя, равного ±1. Соответственно, матрица поворота определяется также неоднозначно. В одном случае она дает поворот на острый, в другом на тупой угол. Некоторые авторы полагают, что острый угол предпочтительнее. Пусть это обстоятельство вас не смущает. Главное, чтобы

- 51 -

матрица поворота состояла из нормированных собственных векторов. Любое из двух решений будет засчитываться как правильное.

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Уравнение поверхности второго порядка приводится к каноническому виду тем же способом, что и кривой второго порядка. Если кривых второго порядка (за исключением вырожденных случаев) только три, то поверхностей второго порядка значительно больше. Их вид и классификацию вы можете прочитать в справочниках. Я полагаю, что имеет смысл рассмотреть две из них: эллиптический параболоид и гиперболический параболоид.

Каноническое уравнение эллиптического параболоида: + = 2 , его

вид представлен на рис. 14.

Рисунок 14 – Вид эллиптического параболоида

Точка с координатами (0,0) для эллиптического параболоида есть точка строгого экстремума. То есть в данном случае минимум будет достигаться при стремлении к этой точке по любому пути.

Каноническое уравнение гиперболического параболоида: − = 2 ,

его вид представлен на рис. 15.

- 52 -

Рисунок 15 – Вид гиперболического параболоида

Для гиперболического параболоида (чаще эта поверхность называется седло) эта же точка с координатами (0,0) (седловая точка) есть точка так называемого минимакса. По одному направлению минимум, по другому – максимум.

При исследовании экстремумов функции двух переменных (это вы будете изучать в курсе математического анализа) фактически решается вопрос о том, является ли данная функция вблизи некоторой точки эллиптическим параболоидом либо гиперболическим параболоидом.

Успехов в изучении метанализа!

- 53 -

ИТОГИ КУРСА

Не смогу согласиться с теми, кто скажет, что наш курс лекций представлял из себя hotchpotch. Математический аппарат линейной алгебры, основы которого вы освоили, достаточно явно связывает разделы этого курса между собой. Если в той или иной степени вы столкнетесь с математическим моделированием, обработкой реальных данных, то, что вы изучили, вам более чем пригодится.

Вот краткий список навыков, что вы получили (должны были получить) в ходе курса:

1.Как перемножаются матрицы.

2.Что такое определитель, как его вычислять.

3.Что такое обратная матрица.

4.Что такое ранг матрицы и как его находить.

5.Как решать системы линейных уравнений.

6.Что такое вектор и что такое базис. Как изменяются координаты вектора при изменении базиса.

7.Как вычислять скалярное и векторное произведение векторов.

8.Как описать прямую, плоскость в пространстве.

9.Что такое собственные числа и собственные векторы.

10.Какими бывают кривые второго порядка.

Обязательный минимум

Если вы не уверены в своих силах, то не пытайтесь перед экзаменом изучить все. Начните с основных навыков, владение которыми необходимо и достаточно для получения положительной оценки на экзамене. Освоив их, продвигайтесь дальше. Поняв, как решать задачи, изучайте теорию. Итак, обязательный минимум:

1.Умение перемножать матрицы.

2.Знание того, что такое обратная матрица.

3.Умение вычислять определители второго и третьего порядков.

4.Знание алгоритма Гаусса.

5.Умение вычислять скалярное и векторное произведение векторов.

6.Знание уравнения плоскости (объяснить параметры).

Подготовка к экзамену

Последние лекции – итоговые. Они предназначены для того, чтобы помочь вам вспомнить темы, что изучались относительно давно и могли «забыться». Также задачей этих лекций является подготовка к итоговой контрольной работе. Соответственно, к итоговым лекциям студент должен готовиться не менее тщательно, чем лектор. Просмотрите лекции, попытайтесь разобраться самостоятельно, если попытались, но не получается, я изложу эти наиболее сложные для понимания вопросы еще раз. Вас ждет итоговая контрольная работа и работа над ошибками. Если вдруг вы напишете работу неудачно – не расстраивайтесь. У вас в этом случае еще будет время,чтобыдоэкзамена устранитьпробелы взнаниях.

Удачи на экзаменах!

- 54 -

ЛИТЕРАТУРА

1.Зеленцов Б.П. Алгебра и геометрия : учеб. пособие. – Новосибирск, 2009. – 124 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968–1984. – 832 с.

3.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –

М.: Наука, 1980.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980–1988.

5.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.:

Наука, 1979.

6.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. Школа, 1980. – Ч. 1.

7.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука,

1972.

8.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия, 1971.

9.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.

10.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.:

Наука, 1965–1980.

11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Векторный анализ. – М.:

Наука, 1978.

12.Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа.

13.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.:

Рольф, 2002. – Ч. 1.

14.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный

курс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

15. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2003.

- 55 -

Сибиряков Егор Борисович

Линейная алгебра

Учебное издание

Редактор: Т.В. Храмова

Корректор: М.Г. Девищенко

Подписано в печать 03.03.2014 Формат бумаги 62 × 84/16, отпечатано на ризографе, шрифт № 10,

изд. л. 3,5, заказ № 18, тираж 100. ГОУ ВПО «СибГУТИ» 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86.

- 56 -