Линейная алгебра. Учебное пособие-2

Задачи, решаемые с помощью смешанного произведения

1.Вычисление объемов параллелепипедов, треугольных призм и тетраэдров.

2.Решение геометрических задач, связанных с нахождением высоты, площади основания, углов между ребрами.

3.Использование условия компланарности (линейной зависимости) трех векторов.

Пример. Даны четыре точки в пространстве: А(2,1,3), В(1,1,4), С(3,5,2), D(–1,0,3). Найти объем тетраэдра с вершинами в этих точках.

Решение. Построим на этих точках векторы АВ, АС и AD.

АВ = (–1, 0, 1); АС = (1, 4, –1); АD = (–3, –1, 0). Вычислим смешанное произведение и объем:

ПЕРЕХОД ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ

Пусть даны три вектора а, b, c в декартовых координатах: a axi ay j azk;b bxi by j bzk;c cxi cy j czk;

ax ay az

Если bx by bz 0, то система векторов а, b, c образует базис. cx cy cz

Как выразить координаты вектора d в новом базисе а, b, c? То есть, как найти коэффициенты разложения вектора по этой тройке? d dxi dy j dzk .

Существует два способа решения задачи. Первый – выразить координаты

Если переходить к новому базису, то матрица А связывающая векторы нового и старого базиса называется матрицей перехода от базиса к базису. Соответственно, векторы старого базиса можно вычислить через новый с по-

выражаются через a, b, c, то и вектор d выражается через a, b, c.

Второй способ. Представим вектор d в виде линейной комбинации a, b, c:

d dxi dy j dzk x1a x2b x3c x1(axi ay j azk) x2 (bxi by j bzk) x3(cxi cy j czk) .

- 31 -

Приравниваем координаты в старом базисе. Для нахождения коэффициентов разложения получаем систему линейных уравнений (запишем в виде расширенной матрицы):

задача сводится к решению СЛУ.

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия – раздел математики, в котором геометрические объекты изучаются методами линейной алгебры. Это означает, что геометрические задачи решаются с помощью формул и преобразований, а не с помощью геометрических построений. Если кратко, то геометрия, использующая методы линейной алгебры называется аналитической, использующая методы математического анализа – дифференциальной, методы теории вероятностей – интегральной.

Уравнение линии на плоскости и поверхности в пространстве

Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты данной линии. Существует три вида задания уравнения

системой уравнений:

Линия в пространстве

Линию в пространстве можно задать либо параметрически, либо как область пересечения двух поверхностей.

= f( )

Параметрически: = g( ) .

= h( )

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ, НОРМАЛЬНЫЙ И НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, ортогональный этой прямой. Обозначения N, n. Направляющим вектором называется любой вектор, параллельный этой прямой. Обозначение q. Очевидно, что n и q ортогональны, т. е. (n,q) = 0.

Замечания:

1.Вектор n, умноженный на любое число, не равное нулю, также будет нормальным. Аналогично и для направляющего вектора.

2.Если на плоскости известен один из этих векторов, то можно вычислить и второй, т. к. (n,q) = 0.

Векторное уравнение прямой на плоскости

На рис. 6 показаны фиксированная точка М0, бегущая точка М и их радиусвекторы. (М0М,n) = 0 по причине ортогональности. М0М = r − r0 → (r,n)− (r0,n) = 0. Если обозначить (r0,n) за С, получим, что (r,n) + C = 0 – общее векторное уравнение.

y n

M

q

r M0

r0 x

0

L

Рисунок 6 – Векторное уравнение прямой

Параметрическое уравнение. Вектор М0М коллинеарен q, следовательно (r – r0) = tq, где t – произвольное число. → r = r0 + qt – векторное параметрическое уравнение.

Общее уравнение прямой на плоскости

Как было показано выше, векторное уравнение прямой на плоскости, использующее нормальный вектор к прямой, имеет вид: (r,n) + C = 0. Если нормальный вектор имеет координаты n = (А,В), а радиус-вектор бегущей (произвольной) точки прямой r = (x,y), то это же уравнение принимает вид:

Аx + By + C = 0.

- 33 -

Напомню, что (А,В) – координаты нормального вектора к прямой, х,у – координаты произвольной точки, лежащей на прямой, С = –(r0,n), где r0 – координаты радиус-вектора фиксированной точки, через которую проходит прямая. То есть для того, чтобы задать уравнение прямой на плоскости, необходимо задать направление и какую-либо точку, через которую проходит прямая.

Частные случаи:

1.Если в уравнении отсутствует одна координата, то прямая параллельна соответствующей оси координат.

2.Если С = 0, то прямая проходит через начало координат.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим векторное уравнение прямой на плоскости: (r – r0) = tq (надеюсь, вы не забыли, что такое вектор q?). Пусть вектор q имеет координаты (l,m). Предыдущее равенство означает, что вектор r − r0 = (x − x0,y − y0) коллинеарен вектору q. То есть соответствующие координаты пропорциональны.

Частные случаи:

Если направляющий вектор параллелен одной из осей координат, то l = 0, либо m = 0. В этом случае в знаменателе будет ноль. Например, если l = 0,

нение прямой примет вид: y = kx + b. При этом k = tg – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. b – отрезок, отсекаемый прямой от оси y. Если = π / 2, то уравнения прямой с угловым коэффициентом не существует. Если b = 0, то прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Рассмотрим два случая. Первый – задана фиксированная точка М0(х0,у0) и нормальный вектор n = (A,B). Вспомним, что (r,n) − (r0,n) = 0. Следовательно, уравнение будет иметь вид: А(х − х0) + В(у − у0) = 0. Второй случай. Задана фиксированная точка М0(х0,у0) и тангенс угла наклона k. В этом случае уравнение будет иметь вид: у – у0 = k(x − x0).

- 34 -

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Заданы фиксированные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2). Требуется записать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для того чтобы записать уравнение прямой, необходимо направление и какая-либо фиксированная точка. Очевидно, что q = (x2 − x1,y2 − y1). В качестве фиксированной точки можно взять хоть М1, хоть М2 (уравнения будут одинаковыми). Из канонического

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает от оси х отрезок длиной а, а от оси у – отрезок длины b, оба не равные нулю, т. е. проходит через точки (а,0) и (0,b), то, используя предыдущий результат, можно записать ее уравнение:

ходит через начало координат, или параллельна одной из осей, то уравнения такой прямой в отрезках не существует.

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Последняя система уравнений – параметрические уравнения прямой на плоскости.

Угол между прямыми

Если заданы общие уравнения прямых, то известны их нормальные векторы. Соответственно, угол между прямыми есть угол между нормальными

гично вычисляется угол между прямыми, если заданы их направляющие векторы. Если заданы уравнения прямой с угловыми коэффициентами (k1,k2), то по

формуле тангенса разности двух углов получаем: tg k1 k2 .

1 k1k2

Отклонение точки от прямой

Дано: прямая L: Ах + Ву + С = 0, точка М1(х1,у1), M1 L. Отклонение точки от прямой есть проекция на нормаль вектора ММ1. ММ1 = (х1 – х,у1 – у) (рис. 7).

- 35 -

Рисунок 7 – Отклонение точки от прямой

Теперь вычислим отклонение: d = прnMM1 =

координат лежат по разные стороны от прямой, то отклонение положительно, расстояние же от точки до прямой есть |d|.

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми можно вычислить, используя результат, полученный выше. Для этого следует взять произвольную точку на одной прямой и вычислить расстояние от этой точки до второй прямой.

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. НОРМАЛЬНЫЙ И НАПРАВЛЯЮЩИЕ ВЕКТОРЫ ПЛОСКОСТИ

Нормальным вектором плоскости (нормалью к плоскости) называется любой ненулевой вектор, ортогональный этой плоскости. Направляющим вектором называется любой ненулевой вектор, лежащий в этой плоскости, или параллельный ей (рис. 8).

n

q1

q2 P

Рисунок 8 – Нормальный и направляющие векторы плоскости

- 36 -

Замечания:

1.Если нормальный вектор к поверхности умножить на любое число, не равное нулю, то получится также нормальный вектор.

2.Если вектор ортогонален любым двум неколлинеарным векторам, лежащим на плоскости, то он будет ортогонален и всей плоскости.

3.Векторное произведение будет ортогонально двум неколлинеарным векторам.

То есть n можно вычислить как [q1,q2]. Обычно координаты вектора n обозначают буквами А, В, С, т. е. n = (А, В, С).

Вывод. Для того чтобы однозначно записать уравнение плоскости, нужно задать:

1.Нормальный вектор к плоскости либо два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости.

2.Точку, лежащую на плоскости.

Векторное и общее уравнения плоскости

Задан нормальный вектор к плоскости и точка М0(х0,у0,z0), лежащая на плоскости. Построим вектор M0M, где М(х,y,z) – произвольная точка на плоскости. Очевидно, что вектор n будет ортогонален вектору M0M= (х − х0,у − у0,z − z0), следовательно, скалярное произведение этих векторов будет равно нулю.

(n,r) − (n,r0) = 0, где r и r0 – радиус-векторы точек М и М0. Раскрываем скобки и получаем:

Ах + Bу + Cz – (n,r0) = 0.

Если обозначить –(n,r0) за D, получим:

1.Векторное уравнение плоскости nr + D = 0;

2.Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Запомните, пожалуйста, что общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, при этом А, В, С – координаты нормального к плоскости вектора, х, у, z – координаты произвольной точки на плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Поскольку вектор n(А,В,С) ортогонален вектору M0M = (х − х0,у − у0,z − z0), то А(х − х0) + В(у − у0) + С(z − z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Даны три фиксированные точки. Предположим, что они не лежат на одной прямой: М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3). Чтобы записать общее уравнение плоскости, необходимо знать координаты нормального вектора и какой-либо фиксированной точки плоскости. В качестве фиксированной точки можно взять М1. Векторы М1М2(x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1) и М1М3(x3 − x1,y3 − y1,z3 − z1) есть направляющие векторы. Следовательно, их векторное произведение и будет нормальным вектором к плоскости.

- 37 -

Поскольку вектор n(А,В,С) ортогонален вектору M1M = (х − х1,у − у1,z − z1) (M – произвольная точка плоскости), то их скалярное произведение будет равно нулю, т. е.

Это уравнение плоскости, проходящей через три точки, записанное в виде определителя.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость проходит через точки (а,0,0), (0,b,0) и (0,0,c). Смысл параметров a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью от координатных осей. Для получения уравнения плоскости, используем предыдущий результат (вычисляем определитель и каждое слагаемое делим на abc):

Получившееся уравнение называется уравнением плоскости в отрезках. Если плоскость проходит через начало координат, или параллельна одной из координатных осей, то уравнения такой плоскости в отрезках не существует.

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Если n1 = (A1,B1,C1), n2 = (A2,B2,C2), то косинус угла между ними есть:

Отклонение точки от плоскости

Отклонение точки от плоскости вычисляется точно также, как и отклонение точки от прямой на плоскости. Просто добавляется одна координата. Плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, точка М1 имеет координаты (х1,у1,z1). Требуется найти отклонение точки от плоскости. Отклонение точки от плоскости есть проекция на нормаль вектора ММ1. ММ1 = (х1 − х,у1 − у,z1 − z). М – произвольная точка плоскости с координатами (x,y,z). Теперь вычислим отклонение, которое есть проекция этого вектора на единичную нормаль:

- 38 -

Если точка М1 и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, то отклонение положительно, расстояние же от плоскости до прямой есть |d|.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Расстояние между параллельными плоскостями можно вычислить, используя результат, полученный выше. Для этого следует взять произвольную точку на одной плоскости и вычислить расстояние от этой точки до второй плоскости.

Пример. Даны три точки М1(1,1,1), М2(2,–1, 0), М3(0,3,0). Записать общее уравнение плоскости.

Решение. По трем точкам можно построить два направляющих вектора q1 = (1,−2,−1) и q2(−1,2,−1). Их векторное произведение будет нормальным вектором к плоскости:

i j k

вид: 4(х − 1) + 2(у − 1) + 0(z − 1) = 0, раскрываем скобки: 4х – 4 + 2у – 2 = 0, 4х + 2у – 6 = 0 (можно все члены уравнения разделить на 2), 2х + у – 3 = 0 – задача решена.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. НАПРАВЛЯЮЩИЙ И НОРМАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Направляющим вектором прямой в пространстве называется любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей. Обозначение q(l,m,n).

Нормальным вектором к прямой называется любой ненулевой вектор, ортогональный направляющему вектору.

Замечание. В пространстве у прямой будет два линейно независимых нормальных вектора. Их векторное произведение будет направляющим вектором. Этот подход удобно использовать, если прямая задается как линия пересечения плоскостей.

Векторное уравнение прямой в пространстве, канонические уравнения прямой в пространстве

Параметрическое уравнение. Вектор М0М коллинераен q, следовательно (r − r0) = tq, где t – произвольное число → r = r0 + qt – векторное параметрическое уравнение.

При этом М0 – фиксированная точка, М – произвольная точка прямой, q – направляющий вектор прямой (рис. 6). Поскольку вектор r − r0 коллинеарен

- 39 -

вектору q(l,m,n), то их координаты пропорциональны: x x0 y y0 z z0 . l m n

Это канонические уравнения прямой в пространстве. Вопрос на сообразительность. А сколько там уравнений?

Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических (точно также, как и в случае прямой на плоскости).

Общие уравнения прямой в пространстве

Поскольку прямая есть линия пересечения двух плоскостей, то логично представить уравнение прямой в пространстве как систему уравнений плоскостей:

Если плоскости параллельны (система несовместна), то решений нет. Если же система совместна, то будет бесконечное множество решений, которые и описывают прямую (либо плоскость, если ранг системы равен 1, т. е. второе уравнение есть первое, умноженное на ненулевую константу, этот случай рассматривать не будем).

Есть два способа перехода от общих уравнений прямой к каноническим. Первый способ. Поскольку прямая принадлежит и к первой плоскости

,и

ным и первому вектору, и второму, является их векторное произведение. Соответственно этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой,

является переопределенной (переменных больше, чем уравнений), то частное решение можно искать, положив равной нулю одну из переменных, например,

Далее, зная направляющий вектор и точку, через которую проходит прямая, записываются ее канонические уравнения.

Второй способ – найти общее решение системы. При этом переменная z будет свободной, переменные x и y – связанными. Соответственно, z будет параметром, а полученное решение – ни чем иным, как параметрическим уравнением прямой, из которого легко получить канонические уравнения.

- 40 -