Дискретная математика. Учебное пособие-2

УДК 51(075.8) ББК 22.174

Х98

Рецензенты:

Одиноков В. И. — д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики КнАГТУ;

Дегтяренко В. А. — канд. физ.-мат. наук, доцент АмГПГУ

Хусаинов, А. А.

Х98 Дискретная математика : учебное пособие / А. А. Хусаинов. — 2-е эл. изд. —

Электрон. дан. и прогр. (6 Мб). — Комсомольск-на-Амуре : Изд-во АмГПГУ ; Саратов :

Ай Пи Ар Медиа, 2019. — 77 c.

ISBN 978-5-85094-384-4 (Изд-во АмГПГУ)

ISBN 978-5-4497-0057-5 (Ай Пи Ар Медиа)

В учебном пособии даны основы дискретной математики: конечные множества и отношения, комбинаторный анализ, производящие функции и рекуррентные соотношения, деревья, хроматические функции графов, а также функции Мебиуса на конечных частично упорядоченных множествах.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика», 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 38.03.05 «Бизнес-информатика» и изучающих дисциплину «Дискретная математика». Также будет полезно студентам других специальностей и направлений подготовки.

УДК 51(075.8) ББК 22.174

Учебное электронное издание

ISBN 978-5-85094-384-4 (Изд-во АмГПГУ)

ISBN 978-5-4497-0057-5 (Ай Пи Ар Медиа)

© Хусаинов А. А., 2010

© Издательство АмГПГУ, 2010 © Оформление.

ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2019

3

Оглавление

Введение ..………………………………………………………………………4

Глава 1. Множества и отношения……………………………………………..5

§1.1. Способы задания множеств……………..………………………….....5 §1.2.Операции……………………………………..…………………………5

§1.3. Перечисление подмножеств…………….....………………………….6 §1.4. Отношения и функции…………………………………..…...………..6

§1.5. Математическое моделирование баз данных ……………..…..…...11

§1.6. Упражнения …………………………………………………..……...14 Глава 2. Комбинаторика ………………………………………………..……15 §2.1. Размещения ……………………………………………..……..……..16 §2.2. Сочетания ………………………………………………..……..…….18

§2.3. Формула включения и исключения ………………………………...21

§2.4. Разбиения …………………………………………………………….23 §2.5. Упражнения ………………………………………………………….26

Глава 3. Производящие функции ………………………………..…….…….30 §3.1. Свойства производящих функций ……………………..……..……31

§3.2. Разбиения чисел …………………………………………..…..……..32 §3.3. Числа Фибоначчи …………………………………………....………33

§3.4. Решение рекуррентных уравнений ………………………..…..…....34

§3.5. Упражнения ………………………………………………..…..…….35 Глава 4. Теория графов ………………………………………………..……..37 §4.1. Эйлеровы графы ……………………………………………....……..37

§4.2. Простые графы и их свойства ……………………………..……..…39 §4.3. Хроматическое число графа ……………………………..………….39

§4.4. Деревья ……………………………………………………………….41 §4.5. Числа Каталана ………………………………………………………42 §4.6. Плоские графы …………………………………………………....….45 §4.7. Упражнения ……………………………………………………...….49

Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества ………………....53 §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества …..……..53

§5.2. Функция Мебиуса ………………………………………………...…55 §5.3. Формула обращения ……………………………………………....…56 §5.4. Теорема о произведении …………………………………...…….….57 §5.5. Упражнения …………………………………………………..….….58

Глава 6. Индивидуальные домашние задания ……………………….….….59

§6.1. Множества и отношения ..………………………………..…….…...59 §6.2. Комбинаторные объекты………..………..…………………….……64

Библиографический список ……………………………………………..…...76

4

Введение

Под математической моделью мы будем подразумевать множество с заданной на нем математической структурой. Например, математическими моделями являются группы, частично упорядоченные множества, топологические пространства.

Конечной математической моделью называется конечное множест-

во, на котором задана математическая структура. Дискретная математика изучает конечные математические модели.

Наш курс состоит из разделов:

1.Множества и отношения

2.Комбинаторный анализ

3.Производящие функции

4.Теория графов

5.Частично упорядоченные множества

Ккаждой главе прилагается список несложных упражнений. Более сложные задачи читатель может найти в книгах Б.Н. Иванова «Дискретная математика» [4], «Комбинаторный анализ» [5]. Последняя глава посвящена индивидуальным домашним заданиям.

5

Глава 1. Множества и отношения

Эта глава посвящена множествам и отношениям. Ниже мы будем применять следующие стандартные обозначения:

N – множество неотрицательных целых чисел 0, 1, 2, 3, …;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел mn , где m – целое число, а

n – положительное целое число;

R – множество вещественных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Для знакомства с отношениями и их приложениями рекомендуем учебник Г. Биркгофа «Современная прикладная алгебра»[1]. Лучше всего описывается связь отношений с базами данных описана в книге Д.Кука, Г. Бейза «Компьютерная математика» [6].

§1.1. Способы задания множеств

Множество можно задавать перечислением его элементов или как подмножество элементов, обладающих некоторым свойством, или как образ некоторого множества относительно отображения:

Свойство P(x) может быть получено из простейших формул с помощью логических операций: & (и), (или), ~ (не), (следует) и кванторов(для всех), (существует). Например, свойство P(x) , выраженное фор-

мулой (x Z) & (x>0) & ( y)((y Z)& (x=y+y)), имеет место, если и толь-

ко если x – положительное целое число, кратное 2.

§1.2. Операции

Все множества предполагаются содержащимися в некотором множестве, “универсуме” U. Ниже через {x: P(x)} будет обозначать множество элементов x U, удовлетворяющих условию P(x).

Пересечение множеств A и B определяется как A B={x: x A &x B},

объединение множеств A B={x: x A x B},

разность множеств A\B={x: x A & ~(x B)} ,

7

Следствие 1. |An|=|A|n.

Доказательство. C помощью индукции по n.

Отношения и графы.

Определение 1. Ориентированным графом называется пара мно-

жеств (E,V) вместе с парой отображений s, t: E V. Элементы множества V изображаются точками на плоскости и называются вершинами. Элементы из E называются направленными ребрами или стрелками. Каждый эле-

мент e E изображается в виде стрелки (возможно, криволинейной), соединяющей вершину s(e) с вершиной t(e).

Произвольному бинарному отношению R V V соответствует ориентированный граф с вершинами v V, стрелками которого являются упорядоченные пары (u,v) R.

Пример 1. Пусть V={1,2,3,4}. Рассмотрим отношение R={(1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)}. Ему будет соответствовать ориентиро-

ванный граф (рис. 1.1). Стрелками этого граф будут пары (i,j) R.

Рис. 1.1. Ориентированный граф бинарного отношения

Определение 2. Простым (неориентированным) графом =(V,E)

называется пара, состоящая из множества V и бинарного антирефлексивного симметричного отношения E V V. Элементы из V называются верши-

нами, а из E – ребрами.

Простой граф можно определить как множество V вершин вместе с множеством двухэлементных подмножеств E P(V). Вершины простого графа изображаются как точки, а ребра – как отрезки. На рис. 1.2 изображен простой граф с множеством вершин V={1, 2, 3, 4} и множеством ребер

E = {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

8

1 2

Рис. 1.2. Простой неориентированный граф K4

Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением

между элементами множеств A и B называется произвольное подмножество R A B. Запись aRb (при a A, b B ) означает, что (a,b) R .

Определены следующие операции над отношениями R A A:

R -1= {a, b): (b, a) R},

R S = {(a, b): ( x A) (a, x) R & (x, b) R}, Rn = R (Rn-1),

R A A\ R .

Пусть IdA = {(a,a): a A} – тождественное отношение. Отношение R

X X называется

(1)рефлексивным, если (a,a) R для всех a X,

(2)антирефлексивным, если (a,a) R для всех a X,

(3)симметричным, если для всех a, b X верна импликация aRb

bRa,

(4)антисимметричным, если aRb & bRa a=b ,

(5)транзитивным, если для всех a, b, c X верна импликация aRb & bRc aRc ,

(6)линейным, для всех a, b X верна импликация a b aRb bRa .

Обозначим IdA через Id.

Теорема 2. Отношение R X X

(1)рефлексивно Id R ,

(2)антирефлексивно R Id= ,

(3)симметрично R = R-1 ,

9

(4)антисимметрично R R-1 Id ,

(5)транзитивно R R R

(6)линейно R Id R-1 = X X .

Отношения порядка и эквивалентности. Разбиения

Определение 3. Пусть X – множество. Бинарное отношение R X X называется отношением порядка на X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Таким образом, R – отношение порядка, если

(1)(a, a) R для всех a X,

(2)aRb & bRa a=b ,

(3)для всех a, b, c X верна импликация aRb & bRc aRc, Пара (X,R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X.

Отношение порядка обычно обозначается символом .

Определение 4. Частично упорядоченное множество (X, ) называется нижней полурешеткой, если для любых a1 , , an X множество

{x X : (x a1 ) & (x a2 ) & & (x an )}

имеет наибольший элемент, который мы обозначим через 1 i n ai. Если для любых a1 , , an X множество {x X : (x a1 ) & (x a2 ) & & (x an )} имеет наименьший элемент 1 i n ai, то оно называется верхней полурешеткой. Если (X, ) является нижней и верхней полурешеткой, то оно называется

решеткой.

Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X, ) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно является решеткой.

Доказательство. Пусть a1 , , an X . В этом случае множество

S={x X : (x a1 ) & (x a2 ) & & (x an )}

не пусто и конечно. Поскольку X – нижняя полурешетка, то существует

x S x. Положим z= x S x. Для всех i=1, …, n имеет место z ai . И z – наименьший среди обладающих этим свойством. Стало быть, z = 1 i n ai .

Определение 5. Пусть X – множество. Бинарное отношение R X X называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, R – отношение эквивалентности на X, если