Дискретная математика. Учебное пособие-2

72

Пример решения задачи 5

Построить дерево по его коду Прюфера 71543 и сделать проверку

Решение.

Выполним распаковку кода Прюфера. С этой целью в верхней строке выпишем заданный код. Под этим кодом выпишем последовательность, состоящую из чисел 1, 2, …, m+2, где m – длина кода:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 7, 1, 5, 4, 3

Положим B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Через ai обозначим i-й элемент кода. В частности a1=7, a2=1, a3=5 и т.д. Будем выполнять цикл, на каждой итерации которого находится ребро дерево и удаляется элемент из множества B. На i-й итерации цикла, при i = 1, 2, …, m+1, минимальный элемент b B, среди

73

не равных никакому из aj j ≥ i, соединяется с ai и затем удаляется из B. Цикл выполняется для i=1, 2, 3, 4, 5. В нашей задаче:

При i=1 наименьший из {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} среди не равных

{7,1,5,4,3}

равен b=2. Присоединяем ребро {7,2}. Вычеркиваем 2 из верхней последо-

вательности, и 7 – из нижней. B = B\{2} ={1, 3, 4, 5, 6, 7}.

При i=2 наименьший из {1, 3, 4, 5, 6, 7} среди не равных {1,5,4,3} равен b=6. Присоединяем ребро {1,6}. Вычеркиваем 6 из верхней последовательности, и 1 – из нижней. B = B\{6} ={1, 3, 4, 5, 7}.

При i=3 наименьший из {1, 3, 4, 5, 7} среди не равных {5,4,3}

равен b=1. Присоединяем ребро {5,1}. Вычеркиваем 1 из верхней последовательности и 5 – из нижней.B = B\{1} ={3, 4, 5, 7}.

При i=4 наименьший из {3, 4, 5, 7} среди не равных {4,3}

равен b=5. Присоединяем ребро {4,5}. Вычеркиваем 5 из верхней последовательности, и 4 – из нижней.B = B\{5} ={3, 4, 7}.

При i=5 наименьший из {3, 4, 7} среди не равных {3}

равен b=4. Присоединяем ребро {3,4}. Вычеркиваем 4 из верхней последовательности, и 3 – из нижней. B = B\{4} ={3, 7}.

Цикл закончился. Соединяем два оставшихся элемента 3 и 7.

Полученное дерево состоит из ребер {7,2}, {1,6}, {5,1}, {4,5}, {3,4},

{3,7}.

Рис. 6.2. Дерево с кодом 71543

Сделаем проверку. С этой целью построим код для полученного дерева. Построение кода состоит из цикла, на каждой итерации которого удаляется висячая вершина с наименьшим номером и выписывается номер вершины, соединенной с висячей.

74

В данном случае удаляем 2 и выписываем 7. Затем удаляем 6 и выписываем 1. Затем удаляем 1 и выписываем 5. Удаляем 5 и выписываем 4. Удаляем 4 и выписываем 3. Цикл заканчивается, когда останутся две вершины. В результате получаем код, состоящий из выписанных чисел 7, 1, 5, 4, 3. Этот код совпадает с заданным. Следовательно, дерево построено, верно.

Ответ: Дерево состоит из ребер {7,2}, {1,6}, {5,1}, {4,5}, {3,4}, {3,7}.

Задача 6. Моноиды

Задано вещественное число и подмножество M R множества вещественных чисел. Будет ли M относительно операции x*y = x + y +xy моноидом? Группой? Ниже N = {0,1,2, ...} обозначает множество натуральных чисел, Q – множество рациональных дробей m/n (где m,n Z, n 0).

Варианты

Пример решения задачи 6.

Будет ли множество M = [0,1] с операцией x*y = x+y – (9/8)xy полугруппой? Моноидом? Группой?

Решение.

75

1) Проверим, будет ли x*y M при x,y M. Это выполнено, если для всех удовлетворяющих неравенствам 0 x, y 1 чисел x y будет иметь место 0 x*y 1. Рассмотрим произвольный 0 y 1. Функция f(x)= x+y – (9/8)xy при фиксированном y будет линейной по x. На концах интервала [0,1] она принимает значения f(0)=y и f(1)=1-(1/8)y. Поскольку эти значения лежат в интервале [0,1], то значения этой функции во внутренних точках интервала принадлежат [0,1]. Отсюда для всех x,y M значения x*y принадлежат M.

2)Проверим ассоциативность (x*y)*z=x*(y*z). С этой целью раскроем обе части проверяемого равенства:

(x+y-(9/8)xy)+z-(9/8) (x+y-(9/8)xy)z = x+(y+z-(9/8)yz)-(9/8)x(y+z-(9/8)yz)

Поскольку последнее равенство имеет место, то операция * ассоциативна. Стало быть, (M,*) – полугруппа.

3)Проверим, будет ли (M,*) моноидом. Напомним, что моноидом

называется полугруппа M, в которой существует элемент e M, удовлетворяющий для всех x M соотношениям x*e = e*x = x.

Этот элемент e M называется нейтральным. Для нахождения нейтрального элемента получаем тождество x+e –(9/8)xe = x, которое должно быть выполнено для всех x M. Легко видеть, что e=0 удовлетворяет этому тождеству. Отсюда вытекает, что (M,*) – моноид.

4) Проверим, будет ли (M,*) группой. Напомним, что моноид (M,*) называется группой, если для каждого x M найдется такой y M , что x*y = e. Отсюда данный моноид будет группой, если и только если для каждого x M существует y M, удовлетворяющий уравнению x+y-(9/8)xy = 0. Находим y = -x/(1-(9/8)x). Отсюда для x=8/9 это уравнение не имеет решений. Стало быть, заданный моноид не является группой.

Ответ: (M,*) является полугруппой, моноидом, но не является группой.

76

Библиографический список

1.Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976

– 400 с.

2.Грин Д., Кнут Д. Математические методы анализа алгоритмов. – М.:

Мир, 1987. – 120с.

3.Евстигнеев В.А., Касьянов В.Н. Теория графов: алгоритмы обработки деревьев. – Новосибирск: ВО «Наука», Сибирская издательская фирма,

1994. – 360 с.

4.Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 288с.

5.Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения./под ред. К.А. Рыбнико-

ва. – М.: Наука, 1982. – 368с.

6.Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. – 384с.

7.Липский В. Комбинаторика для программистов. – М.: Мир, 1988. –

213с.

8.Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. – Москва, Ленинград: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1950. – 47 с.

9.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Пи-

тер, 2000. – 304с.

10.Риордан, Дж. Введение в комбинаторный анализ. – М.: Изд-во иностр.

лит., 1963. – 287 с.

11.Рыбников К. А. Комбинаторный анализ. Очерки истории.– М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1996. – 125с.

12.Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. – М.: Мир, 1990. – 440с.

13.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа, 2001

14.Lovácz L., Vesztergombi K. Discrete Mathematics. – Yale University, 1999. – 139 p.

Учебное издание

Хусаинов Ахмет Аксанович

Дискретная математика

Учебное пособие

Редактор: Т.И. Белоусова

Для создания электронного издания использовано:

Приложение pdf2swf из ПО Swftools, ПО IPRbooks Reader,

разработанное на основе Adobe Air

Подписано к использованию 14.05.2019. Объем данных 6 Мб.

Издательство АмГПГУ:

601000, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Кирова, д. 17/2.

ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа» Тел. 8-800-555-22-35, (8452) 24-77-97

E-mail: izdat@iprmedia.ru, mail@iprbookshop.ru www.iprbookshop.ru

www.iprmedia.ru