Дискретная математика. Учебное пособие-2

42

Пример 1. Рассмотрим граф , изображенный на рис. 4.4. Вычислим количество его максимальных поддеревьев.

Рис. 4.4. Простой граф

Найдем матрицу M( ).

Отсюда число максимальных поддеревьев равно |A31| = 3.

§4.5. Числа Каталана

Пусть =(V,E) – простой граф. Напомним, что две вершины, принадлежащие одному ребру, называются смежными. Элементарным путем длины n в графе , соединяющим вершины p и q, называется последовательность вершин (v0, v1, , vn) таких, что

p=v0 и q=vn ;

vi =vj i=j .

Элементарным циклом длины n в графе называется последовательность вершин (v0, v1, , vn) таких, что

v0 =vn ;

vi =vj ( i=j {i,j}={0,n} ) .

Элементарный цикл можно интерпретировать как непрерывный замкнутый путь в графе, не имеющий кратных вершин. Простой граф, не имеющий элементарных циклов длины >0, называется деревом. Дерево с выделенной вершиной называется корневым, а выделенная вершина – его корнем.

43

Рис. 4.5. Корневое дерево

Для каждой вершины q существует единственный элементарный путь, соединяющий ее с корнем. Длина этого пути называется высотой вершины q. Смежные с q вершины, высота которых больше высоты вершины q на 1, называются детьми вершины q. На рис. 4.5 показано дерево с корнем 3.

Определение 1. Корневое дерево, каждая вершина которого имеет не более двух детей, называется бинарным, если детям приписан дополнительный признак „левой‟ или „правой‟ смежной вершины. Вершина не может иметь две левые или две правые смежные вершины. Бинарное дерево вместе с функцией, сопоставляющей каждой вершине некоторое число, называется бинарным деревом чисел.

Бинарное дерево чисел можно определить по индукции:

(1)Пустое дерево является бинарным деревом чисел.

(2)Если T1 и T2 – бинарные деревья чисел, то (T1, число, T2) – бинарное дерево чисел.

Определим отношение эквивалентности на множестве бинарных деревьев чисел S~T следующим образом.

(1)Если S=T= , то S~T.

(2)Если S=(S1, m, S2), T=(T1, n, T2) , S1~ T1 и S2~ T2 , то S~T.

Число классов эквивалентности бинарных деревьев, имеющих n вершин, называется n-м числом Каталана и обозначается через cn.

На рис. 4.6 показаны классы эквивалентности бинарных деревьев, имеющих n вершин, при n=0, 1, 2, 3:

45

§4.6. Плоские графы

Эйлерова характеристика. Односвязной двумерной клеткой мы будем называть часть поверхности, гомеоморфную единичному кругу

D={(x,y): x2+y2 1}.

Теорема 1. Пусть граф, разбивающий замкнутую поверхность S на односвязные двумерные клетки. Пусть p число вершин графа, q – число ребер, r – число клеток. Тогда число p – q + r не зависит от

односвязные клетки. Тогда p – q + r = 2.

Доказательство. С помощью индукции по q. Если q=0, то p=1 и r=1. Пусть теорема верна для графа с q ребрами. Докажем ее для q+1 ребер. Рассмотрим два случая добавления ребра:

В первом случае добавляется ребро, вершины не добавляются. Во втором добавляется ребро и вершина. Если обозначить новые числа вершин, ребер и граней через p’, q’, r’, то в первом случае получим p’–q’+r’ = p – (q+1)+(r+1) = p–q+r =2, во втором ─ p’–q’+r’ = (p+1) – (q+1)+r = p– q+r =2.

Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.

Первая задача принадлежит Мебиусу. Речь идет о короле, завещавшем своим пяти сыновьям разделить между собой его владения так, чтобы каждая из частей имела общие границы с каждой из остальных частей.

Рассматривая граф, вершины которого соответствуют пяти частям, а ребра – общим границам, приходим к вопросу, является ли он плоским?

46

Вторая задача – задача о трех домах и трех колодцах. На поверхности сферы заданы 3 точки, называющиеся домами, и 3 точки, называющиеся колодцами. Нужно соединить не пересекающимися кривыми (играющими роль тропинок) каждый дом со всеми колодцами.

Докажем неразрешимость этих двух задач.

Лемма 1. Для связного плоского графа с p>3 вершинами и q ребрами справедливо неравенство q 3p-6. Если существует вложение в сферу, при котором каждая грань имеет ≥ 4 ребер, то справедливо неравенство q 2p

– 4.

Доказательство. Рассмотрим множество пар (ребро, грань), где ребро содержится в грани. Число таких пар равно 2q , ибо каждое ребро принадлежит двум граням. С другой стороны, оно не меньше 3r , ибо грань содержит не меньше трех ребер. Отсюда 2q ≥ 3r. Если грань содержит не меньше четырех ребер, то получаем 2q ≥ 4r . Подставляя в эти неравенства r = 2 – p +q, получим доказываемые неравенства.

Следствие 1. Граф K5 не плоский.

Доказательство. Граф K5 имеет 5 вершин и 10 ребер. Неравенство 10 3∙5 – 6 неверно, значит он не плоский.

Следствие 2. Граф K3,3 не плоский.

Доказательство. В графе K3,3 нет циклов длины 3. Отсюда в случае существования вложения в сферу каждая грань будет иметь 4 ребер. По лемме, в этом случае имеет место неравенство q 2p –4. Так как неравенство 9 2∙6 – 4 неверно, то граф K3,3 не плоский.

Следовательно, обе задачи неразрешимы.

Следующая теорема Куратовского характеризует плоские графы.

Теорема 3. Граф плоский тогда и только тогда, когда он не содержит ни графа гомеоморфного K5 , ни графа гомеоморфного K3, 3 .

Раскраска плоского графа. Следующий вопрос – о раскраске плоских графов. В 1878 году эта проблема была поставлена Кэли на заседании Лондонского математического общества. Задана карта, состоящая из об-

47

ластей на сфере, которые можно интерпретировать как страны, расположенные на земной поверхности. Можно ли произвольную такую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две имеющие общую границу страны были окрашены в различный цвет?

Положительное решение этой проблемы было опубликовано в 1977 году Аппелем и Хакеном.

Мы докажем, что пять цветов достаточно для раскраски любой карты. Метод доказательства был предложен А.В. Кэмпе, и долгое время считалось, что этот метод годится и для четырех красок. Но это мнение было опровергнуто в 1890 году Хивудом.

Задача сводится к правильной раскраске вершин плоского графа, вершины которого соответствуют странам, а соединение вершин ребром осуществляется при наличии общей границы у стран.

Лемма 2. Пусть (V,E) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина v V такая, что d(v) 5. Здесь d(v) – степень вершины v.

Доказательство. Иначе 2q = d(v) 6p, и q 3p, а мы доказали раньше, что q 3p – 6.

Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.

Доказательство. Для p 5 теорема верна. Пусть для p – 1 вершин теорема доказана. Рассмотрим граф с p вершинами. Найдем в нем вершину v с d(v) 5. Обозначим через [v] подграф, полученный удалением вершины v и инцидентных ей ребер. Существует правильная раскраска графа[v]. Наша задача – раскрасить вершину v. Если d(v) < 5, то вершину v раскрасим цветом, которого нет у смежных с v вершин. Пусть d(v)=5 и пусть все смежные с v вершины раскрашены в различные цвета.

Обозначим через 13 подграф графа [v], состоящий из вершин цвета 1 и 3. Если в нем нет путей между вершинами 1 и 3 из смежных с v, то компоненту связности вершины 3 перекрасим следующим образом: все вершины компоненты цвета 3 перекрасим в цвет 1, а все вершины компоненты цвета 1 – в цвет 3. Затем v покрасим в цвет 3. Если в графе 13 суще-

48

ствует путь, соединяющий вершины 1 и 3 и состоящий из вершин цвета 1 или 3, то в подграфе 24 нет пути между вершинами, смежными с v. В этом случае перекрасим вершины компоненты содержащей 4, аналогично тому, как это делалось выше: цвета 2 – в 4, а цвета 4 – в 2. Таким образом, если граф имеет p вершин, то для него существует правильная раскраска пятью красками. Теорема доказана.

Платоновы тела. Многогранник, у которого грани имеют одинаковое число сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер, называется правильным. Рис. 4.7 показывает, что, по крайней мере, 5 правильных многогранников существует. Следующее приложение эйлеровой характеристики – доказательство того, что правильные многогранники исчерпываются телами Платона.

Рис. 4.7. Пять платоновых тел

Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев:

49

Доказательство. Вершины графа, состоящего из ребер и вершин фиксированного многогранника имеют одинаковую степень. Обозначим эту степень через x. Пусть y – число сторон грани этого многогранника. Получаем систему уравнений

Аналогично x=4 , x=5 при y=3.

§4.7. Упражнения

Свойства графов

Все графы предполагаются простыми. Графы называются изоморфными, если существует биекция f между множествами их вершин, такая что {u,v} ребро {f(u), f(v)} – ребро.

1.Доказать, что граф имеет четное число вершин с нечетными степенями.

2.При встрече студентов состоялось 15 рукопожатий, трое человек сделали по 4 рукопожатия, а другие – по 3. Сколько было студентов?

3.Может ли существовать группа из 23 человек, каждый из которых знаком с пятью другими?

4.В соревнованиях по шахматам по круговой системе участвуют 5 человек. Все, кроме Иванова и Петрова, сыграли различное число партий. Сколько партий сыграли Иванов и Петров?

5.Можно ли нарисовать без отрыва карандаша граф K6, у которого удалено одно ребро.

50

6. Найти число попарно неизоморфных графов, у которых 2 вершины имеют степень 2, 2 вершины имеют степень 3, и 2 вершины имеют степень 4. Остальные вершины имеют степень 0.

7.Найти число попарно неизоморфных графов, у которых 3 вершины имеют степень 2, 3 вершины имеют степень 3, и 3 вершины имеют степень 4. Остальные вершины имеют степень 0.

8.Доказать, что в простом графе, имеющем не меньше двух вершин, всегда найдутся две вершины одинаковой степени.

9.Какие графы из следующих ниже изоморфны:

10.Какие графы из следующих ниже изоморфны:

11.Найти число всех попарно неизоморфных графов, имеющих 4 вершины. Нарисовать эти графы.

Ответ: (см. рис.4.8) существует 11 неизоморфных графов

Рис. 4.8. Графы, имеющие 4 вершины

12. Кратчайший путь, соединяющий вершины u и v, в графе называется геодезическим путем между вершинами. Его длина обозначается d(u,v). Диаметром D( ) графа называется длина самого длинного геодезического пути в этом графе, т.е. D( )=max{d(u,v): u,v V}. Найти диаметры графов