Дискретная математика. Учебное пособие-2

23

U2 – число разложений с x2 10,

∙∙∙

U6 – число разложений с x6 10.

Тогда | Ui Uj Uk | =0 при |{I,j,k}|=3.

Вычислим число разложений, не удовлетворяющих неравенствам 0 xi 9. Оно равно

| U1 U2 U3 U4 U5 U6 | = 6|U1|─15|U1 U2|,

где | U1| ─ число решений уравнения (x1─10)+x2+x3 + x4+x5+x6 = 27─10, а |U1 U2| ─ число решений уравнения

(x1─10)+(x2─10)+x3 + x4+x5+x6 = 27─10-10.

Функция Эйлера. Пусть n – положительное натуральное число, (n)

– количество натуральных чисел 0<d n , взаимно простых c n. Например, при n=10, d {1, 3, 7, 9} и (10) = 4 . Функция (n) называется функцией Эйлера.

Теорема 2.

где q1, …, qт являются различными простыми делителями числа n.

Доказательство. Находим число не взаимно простых с n по формуле включения и исключения, пользуясь тем, что количество делящихся среди {1,2, …, n} на число q равно n/q . Затем это число отнимаем от n.

§2.4. Разбиения

Напомним, что разбиением множества A называется семейство {Ai} его непустых попарно непересекающихся подмножеств, таких, что iAi = A. Подмножества Ai называются блоками разбиения. Если в семействе учитывается порядок подмножеств и если допускаются пустые блоки, то оно называется упорядоченным разбиением.

Упорядоченные разбиения и обобщенный бином Ньютона. Будем говорить, что упорядоченное разбиение (A1 , A2 , , Am ) множества E={e1,

24

e2, , en} имеет тип ( k1 , k2 , , km ), если |A1| = k1 , |A2| = k2 , , |Am| = km

. Число таких разбиений обозначается через P(k1 , k2 , , km) или Pn(k1 , k2 ,

, km), где n= k1 + k2 + + km .

Лемма 1.

Подмножество A2 выбирается из оставшихся n-k1 элементов, его можно будет выбрать C kn2 k1 способами. Подмножество A3 – C kn3 k1 k2 способами и т.д.

Выбор подмножества Am определен предшествующими подмножествами.

гаемое встречается столько раз, сколько существует упорядоченных разбиений множества ящиков. Разбиение будет состоять из следующих подмножеств: первое подмножество состоит из ящиков, откуда выбран x1, второе состоит из подмножеств, откуда выбран x2 и т.д. Отсюда коэффи-

Разбиения и перечисление сюръекций. Пусть {B1, , Bk} – раз-

биение множества X, состоящего из n элементов. Обозначим через k(X) множество разбиений X на k блоков, а через (X) – множество всех разбиений. Число S(n,k) = | k(X)| называется числом Стирлинга второго рода,

n

Bn=| (X)| – числом Белла. Ясно, что ( X ) k ( X ) . Каждому разбиению

k 1

мы сопоставили отношение эквивалентности и заметили, что разбиения составляют решетку относительно включения соответствующих отношений эквивалентности. Отсюда множество разбиений будет решеткой отно-

26

Пример 3. Найдем число сюръекций {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4}. Оно равно 4!S(6,4). Число S(6,4) находим из таблицы. Отсюда искомое число = 4!∙65 = 1∙2∙3∙4∙65 = 1560.

Положим B0=1. Число Белла Bn можно вычислить по формуле

n

Bn S(n, k) .

k 0

Рассмотрим более простые формулы для нахождения чисел Белла.

Доказательство. Множество разбиений X={1,2, , n+1} состоит из классов, зависящих от блока A содержащего n+1. Для таких A будет справедливо включение X\A {1, 2, , n}. Отсюда каждое разбиение можно получить, выбрав блок A n+1 и разбиение (X\A). Выбор блока A с |A|=k+1, будет осуществляться выбором подмножества из {1,2, ,n}, со-

§2.5. Упражнения

Размещения

1. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг

из материалов семи цветов. Одна из полос должна быть красной.

29

допускается первой для ненулевых чисел). Например, при n=2 такие числа будут равны

0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, ∙ ∙ ∙ , 89, 99.

Ответ: Cn9 9 = 36.

24. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих из цифр, расположенных в возрастающем порядке.

Ответ: 1 C91 C99 210.

25. Найти количество неотрицательных целых чисел, десятичная запись которых состоит из n разрядов и содержит все цифры, расположенные в невозрастающем порядке.

Ответ: Cn9 1 .

26. Какое количество m n–матриц можно составить из неотрицательных целых чисел aij 0 , таких, что aij = k.

Ответ: Ck .

m n k 1

Упорядоченные разбиения

27.Десять человек разбились на 5 групп по 2 человека в каждой. Скольким способами это можно сделать?

Указание. Упорядоченных разбиений 10!/(2!2!2!2!2!), при перестановках групп получаются одинаковые разбиения, отсюда искомое число = 10!/(2!2!2!2!2!)/5! = 1 3 5 7 9 = 945.

28.В группе 20 студентов. Одному человеку положено выдать надбавку к стипендии в размере 1000 рублей. Двум – по 500, трем по 300. Сколькими способами это можно сделать?

29.Сколько существует шашечных позиций, состоящих из 10 белых и 10 черных шашек?

30.Сколько различных слов можно составить из букв слова МАТЕМАТИКА.

31.Оценить сверху число шахматных позиций, содержащих все фигуры и пешки?

32.В урне находится k шаров. Каждый шар может иметь либо белый, либо черный, либо красный цвет. Какова вероятность того, что один шар белый, один – черный? (А остальные красные.)

Ответ: k(k-1)/3k.

30

33.Найти коэффициент при x12 x24 x34 в разложении степени (x1 x2 x3 )10 в сумму однородных одночленов.

34.Найти (x1 + x2 + x3)4.

35.Сколько путей, составленных из направленных отрезков единичной длины, существует в трехмерной решетке из (0,0,0) в (p,q,r). Вектора отрезков равны (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Формула включения и исключения

36.Сколько чисел из принадлежащих множеству {1, 2, , 1000} не делится ни на 10, ни на 12, ни на 9?

37.Группа из 20 студентов сдает зачеты по математике, физике и информатике. Множество студентов, сдавших математику и физику, совпадает с множеством студентов, сдавших математику и информатику, и совпадает с множеством студентов, сдавших физику и информатику. Каждый студент сдал по крайней мере один зачет. Найти число студентов, сдавших все зачеты, если математику сдали 15, физику – 16, информатику – 17.

Неупорядоченные разбиения

38.Найти число разбиений множества {1,2,3,4,5,6,7} на 3 блока.

39.Найти число разбиений множества, состоящего из 8 элементов.

40.Найти число сюръекций {1,2,3,4,5,6,7} {1,2,3,4}.

41.Вывести формулу для числа сюръекций {1, 2, , m} {1, 2, , n} с помощью формулы включения и исключения для подсчета числа несюръ-

ективных отображений |U1 Un| , где Ui –множество отображений, образ которых не содержит элемент i.

Глава 3. Производящие функции

Пусть {ak} – последовательность чисел, где k 0 пробегают неотрицательные целые значения. Производящей функцией a(x) последовательно-

сти {ak} называется сумма ряда ak xk . Иногда сумма берется по всем на-

k 0

туральным k 1. Это происходит в случаях, когда число a0 не определено.

k 0

Имеет место обобщение бинома Ньютона