Дискретная математика. Учебное пособие-2

61

2)RºR ,

3)R R-1.

Является ли это отношение R

1)рефлексивным

2)иррефлексивным

3)симметричным

4)антисимметричным

5)транзитивным

6)отношением порядка

7)отношением эквивалентности

Варианты

63

имеющей коэффициенты rij = 1 при (i,j) R, и rij = 0 в других случаях.

Решение.

Представим отношение с помощью ориентированного графа с множеством вершин E={1, 2, 3, 4, 5}. Вершины i и j соединяются стрелкой, если

(i, j) R .

Рис. 6.1. Ориентированный граф, соответствующий отношению R Выпишем матрицы:

64

Ответим на вопросы:

Рефлективность выполняется, поскольку rii=1 влечет (i,i) R для всех i E.

Иррефлексивность не выполняется, так как существуют i E , для кото-

рых (i,i) R .

(например, i=1).

Симметричность имеет место, ибо для всех i, j E выполнено rij= rji . Антисимметричность не выполняется, так как (1,3) R и (3,1) R, но 1 3. Транзитивность вытекает из R R R.

Отношение не является отношением порядка, ибо оно не антисимметрично.

Отношение является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

§6.2. Комбинаторные объекты

Задача 1. Найти количество элементов в указанном множестве

Варианты

1.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 6 , ни кратных 4?

2.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 5 и ни одного, кратного 7?

3.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих, по крайней мере, одно число, кратное трем или четырем.

4.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число, кратное 7?

5.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 4, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?

6.Сколько подмножеств множества {1,2,3, … , 1000} содержат, по крайней

мере, одно число, кратное 4, но ни одного, кратного 7?

7.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 6 , ни кратных 15?

8.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 5 и ни одного, кратного 18?

9.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000}, имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 15 или 21?

10.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число, кратное

21?

65

11.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 6, и не содержат ни одного числа, делящегося на 7?

12.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 8 , ни кратных 6?

13.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 12 и ни одного, кратного 13?

14.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000}, имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 6 или 11?

15.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число кратное

17?

16.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 7, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?

17.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 6 , ни кратных 9?

18.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 11 и ни одного, кратного 7?

19.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000}, имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 12 или 13?

20.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число кратное 23?

21.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 1000} состоят из чисел, делящихся на 7, и не содержат ни одного числа, делящегося на 12?

22.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 6 , ни кратных 10?

23.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 12 и ни одного, кратного 7?

24.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000}, имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 11 или 4?.

25.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число, кратное 11?

26.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 2, и не содержат ни одного числа, делящегося на 3?

27.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел, ни кратных 10 , ни кратных 4?

28.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 4 и ни одного, кратного 7?

29.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000} имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 3 или 8?

66

30.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число, кратное

5?

31.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 4 и ни одного, кратного 9?

32.Сколько существует подмножеств множества {1, 2, 3, ... , 1000}, имеющих, по крайней мере, одно число, кратное 3 или 5?

33.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат ни одного нечетного числа, но имеют, по крайней мере, одно число, кратное

15?

34.Сколько подмножеств из {1,2,3, …, 300} состоят из чисел, делящихся на 4, и не содержат ни одного числа, делящегося на 7?

35.Сколько подмножеств множества {1, 2, ... , 1000} не содержат чисел ни кратных 12 , ни кратных 9?

36.Сколько подмножеств множества {1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 12 и ни одного – кратного 7?

Примеры решения задачи 1.

Пример 1.

Сколько подмножеств множества A={1, 2, ...., 1000} содержат ни чисел, кратных 8, ни чисел, кратных 12?

Решение.

Для произвольного действительного числа x обозначим через [x] его целую часть. (Например, [2.5]=2, [1/2]=0, [3]=3.) Пусть 12A – подмножество множества A, состоящее из чисел, кратных 12, A\12A A – подмножество чисел не кратных 12. Элементы, не кратные ни 12, ни 8, составляют множество (A\12A)\8A. Нам нужно найти число подмножеств этого множества. Поскольку число элементов этого множества равно

|(A\12A)\8A|=|A\(12A 8A)|=|A|-|12A 8A |=

|A|-|12A|-|8A |+|НОК(12,8)A|=1000-[1000/12]-[1000/8]+[1000/24],

то количество его подмножеств равно 2|( A\12A)\8A| 21000 [1000/12] [1000/ 8] [1000/ 24] Ответ: 21000 83 125 41 2833

Пример 2.

Сколько подмножеств множества A={1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 8 и ни одного, кратного 12?

Решение.

Пусть 12A – подмножество множества A, состоящее из чисел, кратных 12, A\12A A – подмножество чисел, не кратных 12. Элементы, не

67

кратные ни 12, ни 8, составляют множество (A\12A)\8A.

Каждое подмножество из A\12A может быть одного из следующих типов:

1.Оно не содержит ни одного элемента, кратного 8,

2.Оно содержит хотя бы один элемент, кратный 8.

Отсюда количество подмножеств множества A\12A равно сумме количеств подмножеств первого и второго типа. Подмножества первого типа – это в точности подмножества, не содержащие ни элементов, кратных 12, ни элементов, кратных 8. Нам нужно найти количество подмножеств второго типа.

Следовательно, искомое число равно

2|A\12A| 2|( A\12A)\8A| 21000 [1000/12] 21000 [1000/12] [1000/ 8] [1000/ 24]

Ответ: 21000 83 21000 83 125 41 2917 2833

Пример 3.

Сколько подмножеств множества A={1, 2, ...., 1000} содержат, по крайней мере, одно число, кратное 8 или 12?

Решение.

Каждое подмножество множества A обладает одним из следующих взаимоисключающих свойств:

1.Оно не содержит ни чисел кратных 8, ни чисел кратных 12,

2.Оно содержит, по крайней мере, одно число, кратное 8 или 12. Отсюда число подмножеств второго типа (которое как раз нам нужно найти) равно

2|A| 2|( A\12A)\8A| 21000 21000 [1000/12] [1000/ 8] [1000/ 24]

Ответ: 21000 2833

Задача 2. Найти число разложений заданного числа в сумму слагаемых. Разложения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются различными.

Варианты

1.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 50.

2.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 50.

3.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 50.

4.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 52.

5.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 52.

6.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 52.

7.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 54.

8.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 54.

9.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 54.

10.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 51.

11.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 51.

12.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 51.

68

13.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 49.

14.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 49.

15.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 49.

16.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 55.

17.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 55.

18.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 55.

19.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 46.

20.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 46.

21.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 46.

22.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 48.

23.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 48.

24.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 48.

25.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 53.

26.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 53.

27.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 53.

28.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 47.

29.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 47.

30.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 47.

31.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 55.

32.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 45.

33.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 42.

34.Слагаемые состоят из чисел 3 и 4, сумма равна 42.

35.Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 41.

36.Слагаемые состоят из чисел 2 и 5, сумма равна 41.

Примеры решения задачи 2.

Пример 1.

Найти число разложений заданного числа в сумму слагаемых. Разложения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются различными. Слагаемые состоят из чисел 3 и 5, сумма равна 40.

Решение.

Найдем сначала число слагаемых, равных 3, и число слагаемых, равных 5, дающих в сумме число 40. С этой целью решим уравнение в целых числах:

3x + 5y = 40, x 0, y 0.

Первое решение: x=0, y=8. Чтобы найти другие решения, будем прибавлять по 5 к числу x и вычитать по 3 из числа y. Получим решения:

x = 0, y=8; x = 5, y=5; x = 10, y=2;

Число последовательностей чисел, состоящих из x троек и y пятерок, равно

70

Вычислить числа:

функций {1,2, …, 6} {1, 2, …, 11}

инъекций {1,2, …, 6} {1, 2, …, 11}

сюръекций {1,2, …, 11} {1, 2, …,6}

неубывающих функций {0,1,2, …, 6} {0, 1, 2, …, 11}

возрастающих функций {0,1,2, …, 6} {0, 1, 2, …, 11}

неубывающих сюръекций {0,1,2, …, 11} {0, 1, 2, …,6}

Решение.

Обозначим Ln = {1,2,3, …, n}. Искомые числа вычисляются с помо-

щью таблицы, в каждой клетке которой указано число функций Lm Ln с заданными свойствами

Возрастающие функции – это в точности неубывающие инъективные функции. Находим

число функций {1,2,3,4,5,6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11} равно 116=1771561

число инъекций {1,2,3,4,5,6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 } равно

число сюръекций { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11 } {1,2,3,4,5,6 } равно

6! S(11,6). Число S(11,6) вычислим с помощью таблицы