Дискретная математика. Учебное пособие-2

51

(1) K5;

(2)

(3) для дерева.

13.Матрица смежности состоит из коэффициентов aij=1 вершины i и j смежны.

(1)Построить матрицы смежности для графов K3 и K4;

(2)Доказать, что сумма коэффициентов i-й строки матрицы смежности равна степени i-й вершины;

(3)Построить матрицу смежности графа, состоящего из вершин и ре бер куба.

(4)С помощью матрицы смежности построить матрицу, коэффициентами которой является количества путей длины 2 из вершины i в вершину j .

(5)Как связаны след матрицы A3 с числом треугольников в графе?

14.Циклы {z1, z2, , zn}называются независимыми, если z1 z2 zn. Доказать, что у связного графа максимальное число независимых циклов равно q-p+1.

15.Сколько компонент связности имеет лес, содержащий 76 вершин и 53 ребра?

16.Доказать, что среди 6 человек найдется тройка знакомых или тройка незнакомых людей.

17.В компании, состоящей из пяти студентов, среди любых трех найдутся два знакомых и два незнако-

мых. Доказать, что компанию можно рассадить за круглым столом таким образом, что любые два соседа будут знакомы.

Хроматическое число и хроматическая функция графа

18. Вершинами графа перестановок являются перестановки n чисел {1, 2, 3, , n}. Вершины, отличающиеся транспозицией, соединяются ребрами. Будет ли граф перестановок плоским при n≥3? Найти хроматическое число графа перестановок чисел {1, 2, 3, , n}.

19. Булев куб Bn размерности n состоит из вершин ( 1 , 2 , , n ), i {0, 1}, где две вершины смежные если они отличаются одной компонентойi . Найти хроматическое число графа Bn .

20.Найти хроматическую функцию графа An:

52

21. Найти хроматическую функцию полного графа Kn .

22. Найти хроматический многочлен графа, изображением которого является буква „A‟.

23. Найти хроматический многочлен графа C5 .

Ответ: f(q) = q5 – 5q4 + 10q3 – 10q2 + 4q

24.Найти хроматические многочлены и хроматические числа графов

25.Соседние области флага имеют различные цвета. Сколькими способами можно раскрасить в семь цветов изображенный ниже флаг?

26.Соседние области флага должны иметь различные цвета. Сколькими способами можно раскрасить в q цветов флаг:

27.

27.Найти число раскрасок граней куба, при которых соседние грани имеют различные цвета. Число цветов не превосходит 7.

28.Построить рекуррентное соотношение для хроматических многочленов

Cn (q) и найти эти многочлены.

29.Найти хроматическое число графа, полученного удалением одного

ребра из полного графа Kn . Двух ребер. Трех ребер, составляющих треугольник.

Ответ: n-1, n-1, n-2.

Деревья

30.Является ли дерево двудольным графом?

31.Код Прюфера нумерованного дерева с n вершинами состоит из последовательности n-2 чисел, принимающих значения от 1 до n. Упаковка.

53

Код Прюфера нумерованного дерева с n вершинами строится следующим образом. В цикле находится висячая вершина с наименьшим номером. Номер вершины смежной с найденной записывается в последовательность. Цикл повторяется n 2 раза. Распаковка. Выписываем множество B={1, 2, 3, ∙ ∙ ∙, n}, где n = длина кода+2. Устанавливаем начальное множество ребер дерева T= . Далее выполняются действия:

for (i=1; i<n 1; i++)

{

b= min { k B: k aj j ≥ i};

добавить к T ребро {b,ai};

B = B \ {b};

}

Распаковать и упаковать следующие коды:

1.4445577

2.24446

3.77321

4.12579213

32.Найти число максимальных поддеревьев графа K4 .

33.Найти все максимальные поддеревья графа, полученного удалением одного ребра из графа K4 . Результат должен быть следующим:

Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества

§5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества

Напомним, что ориентированным графом называется пара (V,A), состоящая из множества V и подмножества A V V. Элементы из A называются стрелками, а из V – вершинами. Для стрелки (u,v) вершина u называется началом, а из v – концом.

Пусть (X, ) – частично упорядоченное множество. Множество ]x,y[ = {v X: x<v<y} называется открытым интервалом с концами x и y.

Диаграммой Хассе называется ориентированный граф (V,A) с V=X и A={(u,v): u<v и ]u,v[ = }.

54

Пример 1. На рис. 5.1. показана диаграмма Хассе множества P({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .

Рис. 5.1. Диаграмма Хассе множества подмножеств

Предполагаются, что ребра направлены сверху вниз.

Пример 2. Для целого неотрицательного числа n 0 будем обозначать через [n] множество {0, 1, ∙ ∙ ∙, n} с отношением 0 < 1< ∙ ∙ ∙ < n. Его диаграммой Хассе будет ориентированный граф

Частично упорядоченные множества (X, ) и (Y, ) называются изоморфными, если существуют неубывающие отображения f: X Y и g: Y X

такие, что f(g(y))=y и g(f(x))=x ( x X, y Y).

В этом случае f называется изоморфизмом, а g – обратным отображением для f.

Рассмотрим множество делителей (Dn, |) натурального числа n 1, упорядоченное отношением делимости a | b a – делитель числа b (в этом случае говорят, что a – делит b).

55

Пример 3. Пусть p и q – различные простые числа >1. Диаграмма Хассе множества (Dn, |) с n=p2q показана на рисунке.

Рис. 5.2. Диаграмма Хассе множества делителей

В общем случае диаграмма Хассе частично упорядоченного множества (Dn,|) состоит из ребер m-мерного параллелепипеда, где m – число различных простых делителей числа n.

множителей pi>1. Тогда частично упорядоченное множество (Dn , |) будет

А при n≥2:

Pn(x,y) = |{( x1 , x2 , , xn-1) : x< x1 < x2 < < xn-1 <y}|.

Доказательство. Пусть A – матрица смежности частично упорядоченного множества (X, ). Тогда выполнение равенства (1) равносильно соотношениям g(xi)= j aij f(xj) . Поскольку это равносильно равенству g=Af, эквивалентного равенству f=A-1g , то получаем, что (1) верно тогда и только тогда, когда верно (2).

Рассматривая частично упорядоченное множество с двойственным отношением порядка, получаем следующую теорему:

Теорема 2. Пусть (X, ) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций f, g: X R равносильны следующие свойства

§5.4. Теорема о произведении

Теорема 1. Пусть (X, ) и (Y, ) – конечные частично упорядоченные множества, X: X X Z и Y: Y Y Z – их функции Мебиуса. Тогда для любых x1, x2 X и y1, y2 Y имеет место равенство

X Y ( (x1, y1) , (x2 , y2 ) ) = X (x1, x2) Y (y1, y2).

Доказательство. Введем дзета-функцию X : X X Z, с помощью формулы X ( x1, x2 ) = 1 x1 x2 . Достаточно доказать формулу

X (x1 , x) Y ( y1 , y) X Y ((x, y), (x2 , y2 )) ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,

x, y

где a,b – символ Кронекера. Вычислим левую часть доказываемой формулы

X (x1, x) Y ( y1, y) X Y ((x, y),(x2 , y2 )) X (x1, x) Y ( y1, y) X (x, x2 ) Y ( y, y2 )

Получили, что она равна правой части. Что и требовалось доказать.

58

Пример 1. Вычислим Dn (1, n) в частично упорядоченном множестве

делителей числа n ≥ 1. По доказанной теореме, в случае разложения n в произведение степеней различных простых чисел pi>1, будет

то имеем

(1,n) = 0, если существует i такой, что i >1 ,

(1,n) =( 1)m, если n = p1p2 pm .

§5.5. Упражнения

Диаграмма Хассе

1.Нарисовать диаграмму Хассе множества подмножеств из {0,1,2,3}, упорядоченное отношением включения.

2.Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 1000, упорядоченного отношением делимости.

3.Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 360, упорядоченного отношением делимости.

4.Нарисовать диаграмму Хассе множества 3 разбиений множества

{1,2,3}.

5.Нарисовать диаграмму Хассе множества 4 разбиений множества

{1,2,3,4}.

6.Нарисовать диаграмму Хассе произведения 3 [1].

Функция Мебиуса

1.Вычислить значения (0, x) непосредственно из определения функции Мебиуса.

2.Вычислить значения функции Мебиуса для множества P({1,2, , n}), упорядоченного отношением .

60

ладает, по крайней мере, одним решением?

Решение.

1 шаг. Уравнение равносильно следующему равенству

((A X ) \ ((B X ) C)) (((B X ) C) \ (A X )) .

Пользуясь формулой P \ Q P Q , приходим к уравнению

((A X ) ((B X ) C)) (((B X ) C) (A X ))

С помощью правил де Моргана P Q P Q и соотношения X X преобразуем это уравнение к следующему

((A X ) ( B X C)) (((B X ) C) (A X )) .

2 шаг. Обозначим операцию объединения знаком сложения, а операцию пересечения знаком умножения. Получим уравнение

((A X )( BX C)) (((B X ) C)(AX ))

Преобразуем его с помощью закона дистрибутивности (P+Q)R=PR+QR. Приходим к уравнению

ABX C X BX C BAX X AX C AX

Из первого уравнения получаем X A , а из второго X B C . Эти соот-

Задача 2. Задано отношение R на множестве E = {1, 2, 3, 4, 5} с помощью матрицы (rij) , где

rij 1, если (i, j) R

r 0, в других случаях

ij

Представить данное отношение с помощью ориентированного графа, вершинами которого являются элементы множества E. Вершины i и j соединяются стрелкой, если (i, j) R .

Выписать матрицы, соответствующие отношениям

1)R-1 ,