Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1
.pdf
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
С.Г. Афанасьев
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
2-е издание
Саратов Вузовское образование
2024
УДК 517
ББК 22.16 А94
Автор:
Афанасьев С.Г. — ст. преподаватель кафедры прикладной информатики и математики
Северо-Кавказского социального института
Афанасьев, Сергей Георгиевич.
А94 Дифференциальное исчисление функции одной переменной : учебное пособие / С.Г. Афанасьев. — 2-е изд. — Саратов : Вузовское образование, 2024. — 66 с. — (Высшее образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4487-1019-3
Учебное пособие написано с учетом современных требований к подготовке специалистов высших учебных заведений на базе лекций, прочитанных автором для студентов Северо-Кавказского социального института. В нем приводятся необходимые теоретические сведения в области математического анализа — дифференциального исчисления функции одной переменной и примеры, поясняющие их. Наряду со словесно-повествовательным характером изложения материала используется условная символика математического языка.
Подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования.
Учебное пособие предназначено для изучения раздела «Применение дифференциального исчисления к исследованию функций» дисциплин «Математический анализ», «Основы математического анализа». Издание может быть использовано как в аудиторной учебной работе, так и для самостоятельной подготовки студентов и старших школьников, углубленно изучающих математику.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4487-1019-3 |
© Афанасьев С.Г., 2021 |
|
© Оригинал-макет, оформление. |
|
ООО «Вузовское образование», 2024 |
Учебное издание
Афанасьев Сергей Георгиевич
Редактор М.В. Половникова
Технический редактор, компьютерная верстка М.В. Половникова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова
Подписано к использованию 21.08.2024. Объем данных 7 Мб.
ООО «Вузовское образование»
8 (8452) 24-77-97 E-mail: sale@iprbookshop.ru
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. |
6 |
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ............................................................... |
7 |
Историческая справка ............................................................................................. |
7 |
Задача о нахождении скорости движущейся точки............................................. |
8 |
Задача о проведении касательной к кривой ......................................................... |
8 |
Определение производной ..................................................................................... |
10 |
Уравнение касательной и нормали к кривой в данной точке ............................. |
11 |
Угол между двумя кривыми................................................................................... |
12 |
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью................................... |
12 |
II. ОПЕРАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ................................................... |
14 |
Дифференцирование элементарных функций...................................................... |
14 |
Правила вычисления производных ....................................................................... |
15 |
Теорема о дифференцируемости обратной функции .......................................... |
18 |
Производные обратных тригонометрических функций...................................... |
19 |
Таблица основных производных элементарных функций.................................. |
19 |
Теорема о дифференцируемости сложной функции ........................................... |
20 |
Производные гиперболических функций ............................................................. |
22 |
Односторонние производные................................................................................. |
23 |
Параметрически заданная функция и ее дифференцирование........................... |
23 |
Производная функции заданной в неявном виде................................................. |
25 |
Прием логарифмического дифференцирования .................................................. |
26 |
Производные высших порядков ............................................................................ |
28 |
Механический смысл второй производной .......................................................... |
32 |
Вторая производная для параметрически заданной функции ............................ |
32 |
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.................................................................. |
34 |
Дифференциал функции ......................................................................................... |
34 |
Геометрический и механический смысл дифференциала................................... |
34 |
Дифференциал независимой переменной............................................................. |
35 |
Правила вычисления дифференциалов ................................................................. |
36 |
Дифференциалы высших порядков ....................................................................... |
36 |
4
IV. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ |
|
О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ ........................................................ |
38 |
Теорема Ферма......................................................................................................... |
38 |
Теорема Ролля.......................................................................................................... |
39 |
Геометрический смысл теоремы Ролля ................................................................ |
40 |
Теорема Лагранжа ................................................................................................... |
41 |
Геометрический смысл теоремы Лагранжа .......................................................... |
42 |
Теорема Коши .......................................................................................................... |
42 |
Формула конечных приращений ........................................................................... |
44 |
V. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ.................................................................... |
45 |
Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.............................................. |
45 |
Монотонность функции.......................................................................................... |
47 |
Экстремум функции ................................................................................................ |
50 |
Выпуклость кривой в точке перегиба ................................................................... |
54 |
Точки перегиба ........................................................................................................ |
56 |
Асимптоты кривой .................................................................................................. |
57 |
Общая схема исследования функции и построение графика ............................. |
61 |
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.................................................................................. |
65 |
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..................................... |
66 |
5
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие написано с учетом современных требований к подготовке специалистов высших учебных заведений, на базе лекций, прочитанных автором для студентов Северо-Кавказского социального института. Использование книги способствует математическому развитию студента, в частности обеспечивает развитие мировоззрения, владение навыками формальнологических преобразований, умение логически и абстрактно мыслить, умение критически оценивать содержание задачи, умение оптимизировать поиск решения, распространяя на более общие случаи, умение грамотно выражать свою мысль в устном и письменном изложении математического материала.
В издании приводятся необходимые теоретические сведения и примеры, поясняющие их. Наряду, со словесно-повествовательным характером изложения материала используется условная символика математического языка. Предназначено для студентов вузов, образовательная программа которых содержит дисциплины, включающие в себя основы математического анализа, элементы высшей математики.
Учебное пособие обеспечивает математическую базу, необходимую для успешного усвоения студентами других разделов математического анализа, способствует формированию умений и навыков, необходимых для практического применения математических идей и методов, для анализа и моделирования сложных систем, процессов, явлений, для поиска оптимальных решений и выбора наилучших способов их реализации.
Книга знакомит читателя с основными положениями и канонами математического мышления, возможностями математических методов исследования, методами математического моделирования, развития общей математической грамотности его как будущего специалиста.
Издание способствует построению системы знаний и умений в области математического анализа, необходимых для применения в будущей профессиональной деятельности, при изучении смежных дисциплин, проведении научных исследований.
6
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Историческая справка
Раздел математики «дифференциальное исчисление» связано с именами ученых И. Ньютона и Г. Лейбница, которые дали определения основным понятиям анализа бесконечно малых. Они разработали математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления, показав обратимость операций дифференцирования и интегрирования.
И. Ньютон решает задачу механики по определению скорости движения по известной зависимости пути от времени и по определению пройденного за данное время пути по известной скорости.
Г. Лейбниц решает геометрическую задачу на построение касательной к кривой, параллельно придумывает символику дифференциального исчисления.
Отдельные задачи по нахождению касательных к кривым и по определению максимальных и минимальных значений переменных величин решались еще математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Применяемые античными математиками методы были далеки от идей дифференциального исчисления, и любая аналогичная задача решалась как новая, а разработанный математический аппарат использовался лишь в весьма частных случаях.
Периодом создания дифференциального исчисления как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других решаются при помощи одного и того же математического аппарата — при помощи производных и дифференциалов. Этот период в развитии математики, академик А. Н. Колмогоров выделяет как «Период математики переменных величин» (XVII–XIX вв.), в котором происходит изменение предмета изучения математикой: постоянные величины заменяются переменными величинами.
Школа, оставленная Лейбницем, обеспечила дальнейшее развитие дифференциального исчисления, большую часть в этом сыграли работы: Я. Бернулли и И. Бернулли, Б. Тейлора, Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, П. Ферма и М. Ролля, О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса, А. Лебега и других математиков. Более глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления связывают с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного.
7
Дифференциальное исчисление обусловило появление теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Математический аппарат анализа нашел применение во всех разделах математики, расширив область приложения в физики и естествознании.
Задача о нахождении скорости движущейся точки
Пусть тело движется прямолинейно и неравномерно по некоторому закону: S = S (t) , где t — время, S — пройденный путь.
Пусть в начальный момент времени точка находится в положении S0 .
Дадим значению переменной t0 приращение |
t , тогда в момент (t0 + t) |
||
точка будет находится в положении S1 . |
|
|
|
| S0 S1 | — это путь, пройденный за время |
t , обозначим его S |
и назовем |
|
приращением пути. |
|
|
|
S
t
|
S = S (t0 + t) − S (t0 ) , |
|
— средняя скорость движения точки за время |
t . |
|
При изменении t |
изменяется S . |
|
t →0
Следовательно, отношение S —
t
S →0 .
более точно определяет скорость точ-
ки. Тогда |
lim |
S |
— является мгновенной скоростью точки. |
|
t→0 |
t |
|
Задача о проведении касательной к кривой
Пусть на плоскости задана кривая
L
и точка, принадлежащая кривой.
M0 (x0 , y0 ) L .
8
Отметим на кривой L произвольную точку M и проведем секущую M0 M . Пусть точка M , двигаясь по кривой L , неограниченно приближается
к точке M0 , тогда секущая M0 M будет поворачиваться вокруг точки M0 .
Определение (касательной). Если, точка M , двигаясь по кривой L , неограниченно приближается к точке M0 , то секущая M0 M стремится занять пре-
дельное положение, тогда предельная прямая будет называться касательной к кривой L в точке касания M0 .
Пусть кривая L является графиком функции y = f (x) . Возьмем на кривой точку M0 (x0 , y0 ) . Дадим значению переменной x = x0 приращение x .
Восстановим перпендикуляр к оси Ox в точке N1(x0 + x, 0) до пересечения с кривой L в точке M . Проведем секущую M0 M .
N (x |
+ x, 0):MN Ox, MN |
|
1 |
0 |
1 |
M |
0 |
M − секущая |
|
|
1 |
L = M |
|
.
;
Значение функции получит приращение: y = f
Рассмотрим треугольник M0 NM |
: |
||
M |
NM |
| M |
N |= x, | MN |= |
0 |
|
0 |
|
Отношение значения приращения функции к гумента равно тангенсу угла наклона секущей к оси
(x |
+ x) − f |
0 |
|
y .
значению
Ox .
(x0 ) .
приращения ар-
|
= |
| MN | |
= tg − угловой коэффициен т секущей MN , |
(*) |
|
x |
| M 0 N | |
||||
|
|
|
φ — угол между секущей и положительным направлением оси Ox .
9
При неограниченном стремлении точки M к точке щая стремится занять положение касательной к кривой L
M0 по кривой, секу- в точке касания M0 .
Тогда в пределе отношение (*) будет определять тангенс угла наклона касательной к кривой в точке касания, так же угловым коэффициентом в уравнении касательной к кривой в точке касания.
lim |
y |
|
x |
||
x→0 |
=lim tg
→
= tg
.
Определение производной
Всякая функция выражает зависимость изменения числового значения одной переменной от изменения числового значения другой переменной.
В этом процессе большую роль играет скорость изменения числовых значений данных переменных.
Определение. Производной функции по независимой переменной в некоторой точке называется предел отношения приращения значения функции в этой точке к приращению значения аргумента, когда приращение значения аргумента стремится к нулю, и не зависит от способа стремления к нулю.
|
y |
|
f (x |
+ x) − f (x |
) |
|
lim |
|
= lim |
0 |
0 |
|
= |
x |
|
x |
|
|||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
Обозначение производной:
f (x |
) = |
d y |
|
||
0 |
|
d x |
|
|
.
x =x0
f (x ), |
d y |
, |
f (x), |
|
f , |
d y |
, |
d f |
,... |
|
|
|
|
||||||
0 |
d x |
|
|
|
x |
d x |
|
d x |
|
|
x =x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
. |
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f (x) = lim |
x |
|
|
||||
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
Из определения видно, что для вычисления производной надо находить предел, который может существовать и быть конечным или бесконечным или не существовать.
10