Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет двум условиям: непрерывности на отрезке, существование производной на интервале, тогда на этом интервале существует, по крайней мере, одна точка такая, что выполняется равенство (8):

Все три условия теоремы Роля выполнены, следовательно, на этом интервале существует некоторая точка, производная функции в которой равна нулю:

Теорема Лагранжа является основой доказательства монотонности функции и доказательства первого правила исследования функций на экстремум.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

ная, и тангенс угла наклона этой касательной является угловым коэффициентом

(или хордой) называется прямая, проходящая через концевые точки (a; f (a)) и (b; f (b)) графика функции.

Теорема Коши

Пусть две функции заданы на отрезке и удовлетворяют двум условиям: непрерывности на отрезке, существование производной на интервале, тогда на этом интервале существует, по крайней мере, одна точка такая, что выполняется равенство (12):

Все три условия теоремы Роля выполнены, следовательно, на этом интервале существует некоторая точка, производная функции в которой равна нулю:

1. Если g(x) = х , то из формулы (15) следует формула (11) — теорема Лагранжа — есть частный случай теоремы Коши.

2. Вопрос: нельзя ли доказать теорему Коши используя теорему Лагранжа?

Но точка c может и не принадлежать или удовлетворять обеим функциям, следовательно нельзя доказать теорему Коши используя теорему Лагранжа.

43

Формула конечных приращений

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа.

y = f (x), dom ( y) = [a, b] :

1)y = f (x) C([a, b]);

2)y = f (x) D( (a, b)).

44

V. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

Это правило служит для раскрытия неопределенностей вида:

I. Правило. Если две функции, заданные на отрезке, удовлетворяют условию теоремы Коши и при этом существует конечный предел отношения производных этих функций, то существует предел отношения этих функций и он равен предел отношения производных этих функций.

Правило Лопиталя работает тогда и только тогда, когда существует предел отношения производных.

Доказательство. Пусть

45

Решение. Непосредственная подстановка числа, к которому стремится переменная х дает неопределенность вида «ноль на ноль», тогда используем правило Лопиталя

II. Правило. Если две функции определены в дельта окрестности некоторой точки и удовлетворяют условию теоремы Коши, и предел этих функций в этой точке равен бесконечности, и если существует конечный или бесконечный предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения этих функций.

Если предел отношения производных двух функций выражает неопределенность виде ноль на ноль и производные этих функций удовлетворяют условию теоремы Коши, тогда если существует конечный предел отношения вторых производных этих функций, то он равен пределу отношения этих функций.

46

Для раскрытия неопределенности, соответствующим образом соблюдая условия (3), можно брать 3, 4, и так далее производную.

Монотонность функции

Замечание. Будем рассматривать функции заданные на отрезке [a, b] , непрерывные на нем и дифференцируемые на интервале (a, b) .

Для функции, отвечающей данным условиям, верны следующие теоремы.

Теорема 1. Условия постоянства функции. Для того чтобы функция была постоянной на отрезке необходимо и достаточно чтобы ее производная была равна нулю во всех точках соответствующего интервала.

y = f (x) = const x [a, b] f / (x) = 0 x (a, b) .

47

Доказательство. 1. Необходимость:

Так как производная равна нулю, то формула (1) запишется:

Теорема 2. Условия возрастания (убывания) функции. Для того чтобы функция на отрезке возрастала (убывала) в широком смысле необходимо и достаточно чтобы ее производная была больше либо равна нулю (меньше либо равна нулю) во всех точках соответствующего отрезка.

y = f (x) x [a, b] .

Возьмем две точки из соответствующего интервала:

Тогда будет выполнятся неравенство:

48

В силу произвола выбора точек производная функции больше либо равна нулю во всех точках соответствующего отрезка.

2. Достаточность:

Пусть производная функции больше либо равна нулю во всех точках соответствующего отрезка.

и рассмотрим отрезок [x1, х2 ] [a,b] .

На этом отрезке функция удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, применим формулу Лагранжа:

Правая часть неравенства (11) больше либо равна нулю, тогда и левая часть неравенства (11) больше либо равна нулю:

49

Теорема 3. Для того чтобы функция на отрезке строго возрастала (строго убывала) необходимо и достаточно чтобы ее производная была больше нуля (меньше нуля) во всех точках соответствующего отрезка.

ность этой точки такая, что для каждой точки из этой окрестности, кроме точки

называется точкой минимума функции на этом множестве.

y = f (x) : dom ( f (x)) = X x0 X U (x0 , ) : x x0 U (x0 , ) f (x) f (x0 ) x0 = xmin .

Аналогично определяется точка максимума.

y = f (x) : dom ( f (x)) = X x0 X U (x0 , ) : x x0 U (x0 , ) f (x) f (x0 ) x0 = xmax .

50