Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Определение. Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то она называется дифференцируемой в этой точке.

	f (x) − f (x	)
y = f (x) lim	0		= a, a R y = f (x) D(x	)	.
y = f (x) lim			= a, a R y = f (x) D(x	)
x→ x	x − x		0
x→ x	x − x
	0

Равенство (*) можно переписать в виде:

f (x

+ x) − f (x

)

f (x) − f (x

)

(

)

= lim

f (x) = lim

x − x

x→0

x→ x

Пример. Вычислить производную функции:

y = 3x

− 6x + 4 .

Решение. Из определения производной следует, что вычисления проводят в два этапа:

1) значению независимой переменной дается приращение, и находят соответствующее приращение значение функции

y = 3(x + x)

− 6(x + x) + 4 −3x

+ 6x −

4 = 3x

+ 6x x + 3 x

− 6x − 6 x −

−3x

+ 6x − 4

= x (3

+ 6x − 6)

;

2) вычисляется предел отношения приращения значения функции к приращению значения аргумента

	lim	y
	lim	x
	x→0	x

	x(3 x	2	+ 6x − 6)
		2
= lim	x
x→0	x

=lim (3 x2

x→0

+ 6x − 6)

− 6

Ответ: y / = 6x − 6 .

Уравнение касательной и нормали к кривой в данной точке

Из геометрии известно уравнение пучка прямых, проходящих через точку

M0 ( x0 , y0 ) :

y − y0 = k(x − x0 ) ,

x	0	,	y	0
	0			0

— фиксированные числа, k — угловой коэффициент,

x, y — координаты соответствующих линий.

Из определения и геометрического смысла производной функции: f (x) = tg = k , следовательно, уравнение касательной запишется:

y − y0 = f
	(x) (x − x0 ) .

Уравнение нормали запишется:

y − y		= −	1	(x − x	)
	0
			f (x)	0

Угол между двумя кривыми

Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке пересечения.

Если

циентами

tg =	k	2	– k
tg =

	1 – k			k
			1

две прямые y1 = f (x) и y2 = g(x) , соответственно с угловыми коэффи-

k1		и	k2 ,	пересекаются в точке	M , то справедливо равенство:
1	, где —			угол между кривыми.
1
2

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью

Пусть функция дифференцируема в некоторой точке, по определению это означает, что существует конечная производная функции в этой точке.

y = f (x) D(x	) f (x	) = lim
0	0	x→ x

f(x) − f (x0 ) x − x0

const

По определению, производная это предел отношения

y		—	бесконечно малая величина.

x	= f (x) + , где

	y
	x
	x

y = f (x) x + x ,

x →0 y →0

y =

(x) C(x0 )

Бесконечно малому приращению значения аргумента соответствует бесконечно малое приращение значение функции, следовательно, функция непрерывна.

То есть из дифференцируемости функции следует ее непрерывность, обратное утверждение не верно.

y = f (x) D(x )
0

y = f (x) C(x )
0

y = y =

f (x) C(x0 ) f (x) D(x0 )

II. ОПЕРАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Дифференцирование элементарных функций

Для выведения формул производных элементарных функций используют: 1) определение производной:

	y	= lim	f (x + x) − f (x)	;

f (x) = lim	x		x
x→0		x→0

2) замечательные пределы:

sin x

−1

log

lim

1, lim

(1+ x)

= е,

lim

= ln a,

lim

x→0

x→

x→0

−1

ln( x +1)

lim

(1+ x)

= ,

lim

x→0

+1)	= log		е,
		a

Получим производные элементарных функций:

y / = lim	y	=
	x
x→0

y = c,

c = const

y = x

lim (x + x) − x

x→0 x

x + x y = c − c = 0

y	/	= lim	y	= lim	0	= 0 .

			x		x
		x→0		x→0

x + x y =
x + x y =				(x + x)		− x

			+	x	−1
	x	1	+		−1
				x

= lim							= lim
= lim			x				= lim
x→0			x				x→0
x→0							x→0


x	−1		+	x	−1
x		1	+	x	−1
				x

						= x −1 .
			x			= x −1 .
			x

3.y = ax

x + x y = ax+ x − ax = ax (a x −1)

y / = lim	y	= lim	ax (a x −1)	= ax ln a .
y / = lim	x	= lim	x	= ax ln a .
x→0	x	x→0	x
			14

y	/

y	/

y = log

x + x y = log

(x + x) − log

x = log

log

log a

= lim

x→0

y = cos x

x + x y = cos (x + x) − cos x = 2 sin

x + x + x

sin

x − x − x

= 2 sin

2x + x

sin

− x

= −2

sin

2x + x

sin

−

2 sin

2x + x

sin

= lim

= − lim

lim

= −

sin x

x→0

y = sin x

sin

x + x y = sin (x + x) − sin x = 2 cos x +

sin

2 cos x +

sin

= lim

cos x

lim

x→

x→0

x→

y = tg x

(выполнить самостоятельно).

y = ctg x (выполнить самостоятельно).

sin x

cos x

	Правила вычисления производных
1. Пусть	функция	является	произведением	двух	величин

y = c u, c = const, u = u(x) . Функция u = u(x) дифференцируема в точке, дадим приращение значению аргумента, тогда значение функции получит приращение u

y = c u, c = const, u = u(x) D(x = x ) u (x )
0	0

и вызовет соответствующее приращение значения переменной

y = c (u + u) − c u = c u .

Разделим последнее выражение на x и найдем предел отношения:

	lim	y	= lim		c u	= с lim		u	= с u(x)
		0 x			x			x
	x→		x→0				x→0
				=
			y		(c u(x))		= c (u) .
2. Пусть функция		является алгебраической суммой двух величин
y = v + u,	v = v(x) u = u(x) .	Эти функции дифференцируемы в точке, дадим при-

ращение значению аргумента, тогда значения функций получат приращение

v u	соответственно
	y = v + u,	(v = v(x), u = u(x)) D(x = x ) v (x ) u (x )
		0	0	0

и вызовет соответствующее приращение значения переменной

y = (v + v + u + u) − (v

Разделим последнее выражение на x

lim	y	= lim	v + u	= lim	v	+
	x		x		x
x→0		x→0		x→0

+ u) = v + u .

и найдем предел отношения:

lim	u

	x	= v ' (x) + u (x) .
x→0

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

			= v '+u ' .
		(v + u)	= v '+u ' .
3. Пусть	функция	является	произведением	двух	величин
y = v u, v = v(x)	u = u(x) . Эти функции дифференцируемы в точке,				дадим при-

ращение значению аргумента, тогда значения функций получат приращениеv u соответственно

y= v u, (v = v(x), u = u(x)) D(x = x0 ) v (x0 ) u (x0 )

ивызовет соответствующее приращение значения переменной

y = (v + v) (u + u) − v u = u v + v u + v u .

Разделим последнее выражение на x и найдем предел отношения:

lim	y	= lim	u v + v u + v u	= lim	u v	+ lim	v u	+ lim	v u
	x		x		x		x		x
x→0		x→0		x→0		x→0		x→0

= u lim	v	+ v lim	u	+ lim	u	lim	v =
x→0	x	x→0	x	x→0	x	x→0

x →0 v → 0 lim v = 0 − БМВ
x→0
= u v ' (x) + v u (x) + u (x) 0 = u v '+v u

(v u) = u v '+v u ' .
4. Пусть функция является частным двух величин	y =	v	,	v = v(x) u = u(x)
4. Пусть функция является частным двух величин	y =	u	,	v = v(x) u = u(x)
		u

Эти функции дифференцируемы в точке, дадим приращение значению аргу-

мента, тогда значения функций получат приращение

v u

соответственно

y =

, (v

= v(x), u = u(x)) D(x = x )

v (x

) u (x

)

и вызовет соответствующее приращение значения переменной y

y =

v + v

−

v u + u v − v u − v u

u v − v u

+ u u

u + u

Разделим последнее выражение на x

и найдем предел отношения:

u v − v u

u lim

− v lim

u v '−v u'

lim

= lim

x→0

(u2 + u u)

+ u

lim

x→0

v /

u v '−v u'

Теорема о дифференцируемости обратной функции

Теорема. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X со значением на множестве Y и существует обратная для нее функция, заданная на множестве X . Если существует непрерывная, отличная от нуля производная функции в данной точке, то в соответствующей ей точке существует производная обратной функции, которая вычисляется по правилу:

y = f (x) D([ a, b]) ( ) ( y) =

1 f (x)

(*)

Доказательство. Из условия теоремы следует, что условие существования обратной функции выполнены. Возьмем некоторую точку из отрезка x0 [ a, b], по условию теоремы предел функции существует и в силу непрерывности прямой функции для любой δ или ε окрестности точки найдется соответствующая δ или ε окрестность точки у обратной функции:

x	+ x x → 0 x → x	x → 0
0	0	x → 0
0	0
y	+ y y → 0 y → y
0	0

При этом:

y → 0

x →

( y) = lim	x	= lim		1
				y
y→0 y		y→	0
				x

		( y) =

lim	x	= lim		1	=	1
lim		= lim		y	=	f (x)
y→0 y		x→	0	y
y→0 y		x→	0	x
				x
1	.
	.
f (x)

Так как обратная функция выражается через переменную y , то

dd xy = d1x .

d y

Производные обратных тригонометрических функций

1) y = arcsin x \| x \| 1, −				y
			2		2
x = sin y
y ' = (arcsin x) ' =	1	=	1
y ' = (arcsin x) ' =	(sin y)'	=
	(sin y)'	cos y

x = sin y	cos y =		1− x			2
x = sin y	cos y =		1− x
y ' = (arcsin x) ' =		1		=		1	=	1
y ' = (arcsin x) ' =		(sin y)'		=	cos y		=	− x
		(sin y)'			cos y		1	− x
								2

;

y = arccos x	\| x \| 1, 0 y	(arccos x) ' =	1
			− sin x

x = cos y	sin y =				1− x		2
x = cos y	sin y =				1− x
(arccos x) ' =			1	=		1
(arccos x) ' =				=	−	1 − x
		− sin x			−	1 − x
									2
3) y = arctg x				\| x \| , −
3) y = arctg x				\| x \| , −				2
								2
x = tg y	(arctg x) ' =					1
x = tg y	(arctg x) ' =					(tg y)			/
									/
									y
									y

;

	y
	y	2
		2

= cos	2	y =	1

			1+ tg	2	y

	=	1
	=	+ x
	1	+ x
		2

;

y = arcctg x

| x | , 0 y

x = ctg y (arcctg x) ' =	1	= −sin 2 y = −	1	= −	1	.
	(ctg y)y/		1+ ctg2 y		+ x2
				1

Таблица основных производных элементарных функций

(c)/ = 0, c = const

(xn )/ = n xn−1,		n R \ 0
(ln x)	=	1
/
		x

(ex )/ = ex

(arcsin x)/ =				1


		1		− x2
		1		− x2
(arccos x)/ = −				1
/	=	1
(tg x)	=		2
	cos			x
(ctg x)/ = −			1
		sin 2 x

1 − x2

(a	x	)	= a				ln a
	x	/				x
			/		= cos x
(sin x)					= cos x
			/	= −sin x
(cos x)				= −sin x

(arctg x)					/		=
(arctg x)							=
				/		=
(arcctg x)						=
(log		x)	/	=			1
			/
	a						x
	a

1 1 + x2

−1

1+ x2

log a e

Теорема о дифференцируемости сложной функции

Теорема. Пусть функциями

y = f (x)

z = ( y)

задана сложная функция

= ( f

(x))

y = f (x) z = ( y)

= ( f

(x))

Если функция дифференцируема в точке

y = f (x) D(x = x0 )

и функция

z= ( y)

вточке

D( y = y	= f (x ))
0	0
z = ( f (x)) D(x

, тогда сложная функция также будет дифференцируема

= x0 )

и при этом производная сложной функции вычис-

ляется по формуле:

	d z	= ( y)
	d x	= ( y)
	d x

(x)

(*)

Доказательство. По условию теоремы функции дифференцируемы в точке, следовательно, они непрерывны в точке, когда приращение значения аргумента стремится к нулю, то стремится к нулю и приращение значения функции.

y = f (x) z = ( y) D(x = x	y = y ) y = f (x) z = ( y) С(x = x		y = y	)
0	0	0	0
x → 0 y → 0 x → 0 .
Используя необходимое и достаточное условие дифференцируемости
функции, можно для z = ( y) записать:
z = ( y0 ) y + ( y) y,		y → 0 ( y) → 0 .			(1)
Равенство (1) разделим на x :
	20

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]