Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1
.pdf
Общая схема исследования функции и построение графика
1.Область определения функции, область значения функции, вертикальные асимптоты.
2.Исследование функции на четность или не четность, периодичность.
3. Интервалы знакопостоянства функции
(f (x) 0 и
f
(x)
0)
.
Нули
функции (точки пересечения с осями координат).
4.Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума.
5.Интервалы выпуклости функции, точки перегиба.
6.Асимптоты кривой (наклонные асимптоты).
7.Исследование поведения функции на концах области определения,
в случае если
D( f
)
=
(− , +
)
.
8.Вычисление дополнительных точек для построения графика функции.
9.Вычерчивание графика функции.
Пример. Исследовать функцию: f (x) = (3x +1)2 , построить ее график.
x − 2
Решение.
1. Область определения функции, область кальные асимптоты (если они существуют).
x = |
2 D( f ) = (− ; 2) (2; + |
значения функции, верти-
),
lim |
(3x +1) |
|
x − 2 |
||
x→2−0 |
||
lim |
(3x +1) |
|
x − 2 |
||
x→2+0 |
2
2
= − x =
= + E( f
2 — вертикальная асимптота,
) = (− ; + ).
2.Функция задана на не симметричном, относительно точки начала координат, интервале, следовательно, проверять четность и нечетность функции не будем.
Функция общего вида, дробно-рациональная, не является периодичной.
3.Интервалы знакопостоянства функции и точки пересечения с осями координат.
61
|
|
x = 0 f (0) = − |
1 |
, |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(3x +1) |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
y = 0 |
= 0 |
|
(3x +1) (3x |
+1)= 0 |
x = − |
||||
x − 2 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) 0, |
x (− ; 2) |
f (x) 0, |
x (2; + ). |
4. Промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Возьмем производную функции:
|
|
(3x +1) |
|
|
|
/ |
|
((3x +1) |
|
) |
(x − 2) |
− (3x +1) |
|
(x − 2) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
/ |
|
|
|
f (x) = |
|
x − 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 (3x +1) (x − 2)− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
18x |
2 |
+ 6x − |
36x −12 − |
9x |
2 |
− 6x −1 |
|
||||||||||||||||
= |
(3x +1) |
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
2 |
|
− 36x −13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
2 |
−36x −13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (x) = |
|
|
= 0 |
9x |
2 |
−36x −13 = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = 36 |
2 |
− 4 9 |
(−13) =1764 = 42 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x1 = − |
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
= 84 . |
|
|
||||||||
|
3 |
, |
|
= 4 |
3 |
|
|
|
y1 |
− |
|
= 0, |
y2 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
; 0 , |
4 |
|
;84 — точки экстремума (минимума и максимума функции). |
||
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
f |
|
(x) 0, x |
− ; − |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
/ |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
f |
|
(x) 0, x |
− |
|
|
|
; 4 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
(x) 0, x |
4 |
|
|
|
; + . |
||||
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Интервалы выпуклости функции, точки перегиба. Возьмем вторую производную функции:
|
|
(3x +1) |
|
// |
9x |
2 |
− 36x −13 |
/ |
|
(18x |
− 36) (x − 2) − 2(x − 2) (9x |
2 |
− 36x −13) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
x − 2 |
|
|
= |
|
|
(x − 2) |
|
|
= |
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(18x − 36) (x − 2)− 2(9x |
2 |
− 36x −13) |
|
18x |
2 |
− 72x + 72 −18x |
2 |
+ 72x + 26 |
|
|
98 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
3 |
|
|
|
= |
(x |
3 . |
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
− 2) |
|
|||
|
f |
|
|
98 |
|
|
= 0, |
x − 2 0 |
— точек перегиба нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) 0, |
(− ; 2) |
f (x) 0, |
(2; + ). |
6. Асимптоты кривой (наклонные асимптоты).
Асимптота — это прямая линия, график функции к которой бесконечно приближается, но не пересекает ее.
Уравнение прямой:
y
=
k
x
+ b
, где
k = lim |
f (x) |
, |
|
x |
|||
x→ |
|
b =
lim |
(f |
x→ |
|
(x) − k
x)
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f (x) |
|
(3x +1) |
2 |
|
9x |
2 |
+ 6x +1 |
|
9 + |
|
→ 0 |
+ |
|
2 |
→ 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
||||||||||
k = lim |
= lim |
|
= lim |
|
= lim |
|
|
= 9 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→ |
x |
x→ x (x − 2) |
x→ |
x |
− 2x |
|
x→ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1− |
→ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
(3x +1) |
|
|
|
|
|
|
24x +1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim (f (x) − k x)= lim |
|
x − 2 |
− 9x = lim |
= 24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = 9x + 24 — наклонная асимптота, единственная. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. Исследование поведения функции на концах области определения, в случае если D( f ) = (− , + ).
f(x) = (3x +1)2 x − 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3x +1) |
2 |
|
9x |
2 |
+ 6x +1 |
|
(9x → )+ 6 + |
|
→ 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
f (x) = lim |
|
= lim |
|
= lim |
|
|
|
x |
|
|
= + |
|||||
x − 2 |
|
|
|
x − 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
x→ |
x→ |
|
x→ |
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x +1) |
|
|
2 |
lim |
f (x) = lim |
x − 2 |
x→− |
x→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
→ 0 |
|
|
|
9x |
2 |
+ 6x +1 |
|
(9x → − )+ 6 + |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
= |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|||||
|
|
x − 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
x→− |
|
|
x→− |
1 |
→ 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
=
−
.
x
f (x)
8. Вычисление дополнительных точек для построения графика функции.
− |
−3 |
− 2 |
−1 |
− |
1 |
0 |
1 |
2 − 0 |
2 + 0 |
3 |
4 |
1 |
5 |
|
+ |
|||||
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− |
− |
64 |
− |
25 |
− |
4 |
0 |
− |
1 |
−16 |
− |
+ |
100 |
84 |
85 |
1 |
+ |
|||
5 |
4 |
3 |
2 |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Вычерчивание графика функции (чтобы показать график на одном рисунке выбран разный масштаб по оси у для положительной ее части и для отрицательной ее части).
График функции f (x) = (3x +1)2 .
x − 2
64
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Понятие производной.
2.Механический смысл производной.
3.Геометрический смысл производной.
4.Производные простейших элементарных функций.
5.Теорема о производной обратной функции.
6.Производные обратных тригонометрических функций.
7.Теорема о производной сложной функции.
8.Правила вычисления производных.
9.Односторонние производные.
10.Дифференцирование функции заданной параметрически.
11.Дифференциал функции. Смыслы дифференциала.
12.Дифференцируемость функции в точке. Критерий дифференциальности.
13.Связь непрерывности и дифференцируемости функции в точке.
14.Правила вычисления дифференциалов.
15.Производные высших порядков.
16.Дифференциалы высших порядков.
17.Теорема Ферма.
18.Теорема Ролля.
19.Теорема Лагранжа.
20.Теорема Коши.
21.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
22.Критерии постоянства функции на промежутке.
23.Критерии монотонности функции на промежутке.
24.Необходимые условия точки локального экстремума функции.
25.Достаточные условия точки локального экстремума функции.
26.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
27.Выпуклость кривой. Достаточные условия выпуклости.
28.Достаточные условия наличия точки перегиба кривой.
29.Асимптоты графика функции. Формулы наклонных асимптот.
30.Алгоритм исследования и построения графика функции.
65
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники
1.Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер ; перевод с немецкого под редакцией А. П. Юшкевича. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Наука, 1966. — 508 с.
2.Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк ; перевод с немецкого. — 5-е изд., испр. — Москва : Наука, 1990. — 256 с.
3.Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I / В. А. Зорич. — 6-е изд, доп. — Москва : МЦНМО, 2012. — 702 с.
4.Ильин, В. А. Математический анализ в 2 частях. Книга 1 : учебник для вузов / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — 4-е изд., перераб.
идоп. — Москва : Юрайт, 2020. — 324 с.
5.Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа в 3 томах. Том 1 : учебник для бакалавров / Л. Д. Кудрявцев. — 6-е изд., перераб. и доп. — Москва : Юрайт, 2019. — 703 с.
6. |
Пискунов, Н. С. |
Дифференциальное и интегральное исчисление / |
|
Н. С. Пискунов ; т. 1–2. — Москва : Интеграл-Пресс, 1997. — |
418 с. |
||
7. |
Садовничая, И. В. |
Математический анализ. Предел |
и непрерывность |
функции одной переменной : учебное пособие для академического бакалавриата / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко ; под общей редакцией В. А. Ильина. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Юрайт, 2019. — 115 с.
8. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Том 1 / Г. М. Фихтенгольц. — Москва : Лань, 2002. — 440 с.
Задачники
1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа : учебное пособие / Г. Н. Берман. — 22-е изд., перераб. — Санкт-Петербург : Профес-
сия, 2001. — 432 с.
2.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ча-
стях. Часть 1 : учебное |
пособие для втузов |
/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, |
Т. Л. Кожевникова. — 5-е |
изд., испр. — Москва |
: Высшая школа, 1997. — 304 с. |
3.Демидович, Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов / Б. П. Демидович. — Москва : Наука, 1997. — 624 с.
4.Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г. И. Запорожец. — Москва : Высшая школа, 1994. — 464 с.
66