Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y = f (x) D(x = x

) f ' (x) = lim

y = f '(x) x + x .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Теорема. Производная п-го порядка от произведения двух функций.

Если две функции дифференцируемы до п-го порядка включительно, то существует производная п-го порядка от их произведения:

(n )

= v u

(n )

+ n v

(n−1)

n (n −1)

(2 )

(n−2 )

= (u v )

2 !

n (n −1) (n − 2)

(3)

(n−3 )

+ + u v

(n )

3 !

(4) — формула Лейбница.

= (u v)

= v u

+ u v

= (v u

+ u v

)

= v u

+ u

+ v

+ u v

= v u

+ 2 u

+ u v

(3)

= (v u

+ 2 u

+ u v

)

= v u

///

+ u

+ v

+ u v

///

+ 2 (u

+ v

) =

= v u

///

+ 3 u

+ 3 v

+ u v

///

(3)

= v u

(3)

+ 3 v

(3−1)

3(3 −1)

(2)

(3−2)

+ u

(3)

= (u v)

= v u

+ 3 v

+ u v

(3)

(2)

(3)

Пример. Найти сороковую производную функции: y = x2 sin (2x) .

Решение.

(40)

sin (2x))

(40)

−?

Применим формулу Лейбница:

u = sin (2x)

v = x2

(40)

(39)

40 39

(38)

= x

(sin (2x))

+ 40

)

(sin

(2x))

)

(sin (2x))

(40)

= 2

sin (2x)

sin 2x + 40

(sin (2x))

(39)

cos (2x)

= 2

sin 2x + 39

= 2

sin 2x +

= − 2

(sin (2x))

(38)

= 2

sin (2x + )= −

sin (2x)

sin 2x + 38

(4)

= =

Ответ.

x		2		2	40		sin (2x)− 40 2x 2						39	cos (2x)−	40 39	2	2	38	sin (2x)=
x				2			sin (2x)− 40 2x 2							cos (2x)−	2!	2	2		sin (2x)=
2			(x												2!
2		40	(x			2		sin (2x)− 40 x cos (2x)− 390 sin (2x))
		40				2
y	(40)			= 2					40	(x	2	sin (2x)− 40 x cos(2x)− 390 sin (2x)).
	(40)								40		2

Механический смысл второй производной

Так как первая производная показывает скорость изменения функции, то вторая производная показывает скорость изменения скорости, представляя ускорение изменения функции.

r(t)



— радиус вектор, является функцией от времени

= lim	r	=	dr	— Мгновенная скорость
= lim	t	=	dt	— Мгновенная скорость
t →0	t		dt

					d	2
			d		d		r

a = lim	t	=	dt	=	d t		2
t →0							2
t →0

— Мгновенное ускорение

Вторая производная для параметрически заданной функции

Пусть функция задана равенствами:

x = x(t)	, t T — некоторое множество.	(*)
	, t T — некоторое множество.	(*)
y = y(t)

и существуют первые производные системы (*), отличные от нуля.

yt	/	0 xt	/	0 .
	/		/

Выведем формулу для вычисления производной второго порядка. Первая производная вычисляется по формуле:

yx/ = yt/ xt/

и задается уравнениями:

x = x(t)
				y	/	,	t T .
	y		=	y		,	t T .

		/		t
		/		t
		x		x	/
				x
				t

Вторая производная вычисляется по формуле:

− y

/ )

= (yx

)

(1)

(2)

(3)

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциал функции

Пусть функция

y = f (x)

в точке

имеет конечную производную, тогда

приращение значения функции можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой величины:

Рассмотрим правую часть равенства:

умножение на бесконечно малую величину — есть БМВ, но если приращение аргумента стремится к нулю, то второе слагаемое выражения (1) стремится к нулю быстрее, поэтому на изменение левой части выражения (1) оказывает влияние первое слагаемое. Его называют дифференциалом функции в точке и обозначают: d y d f .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется произведение производной этой функции в точке на приращение значения независимой переменной.

d y = f	/	(x	) x

		0

— дифференциал функции в точке.

Геометрический и механический смысл дифференциала

Пусть функция

f	/	(x) .

y =

f (x)

в точке

М (x	, y	)
0	0

имеет конечную производную

y = f (x) D(x = x ) f / (x) .	(1)
0

Из треугольника

	MBD :tg =	BD
		MB

, так как

— каса-

тельная, то

tg =

(x)

MB = x

— приращение значения аргумента,

BD =	f	/	(x) x = d y — дифференциал.

		Получается, что дифференциал функции геометрически выражает при-
ращение значения ординаты касательной к кривой в точке касания.
		Рассмотрим теперь прямолинейное движение материальной точки по за-
кону:		S = S (t) (2), S —		пройденный путь, t — время.
		Пусть в точке		t = t0	существует производная функции (2), тогда диффе-
ренциал можно записать:					d S = S	/	(t) t (3);

S / (t)	— мгновенная скорость в точке t = t0 ,
t —		промежуток времени.
		Механически дифференциал означает путь пройденный точкой с мгно-

венной скоростью в точке дифференцирования за некоторый промежуток времени t .

Дифференциал независимой переменной

Пусть функция нию дифференциала:

y = f (x)

y = f (

дифференцируема в точке

x) D(x = x0 ) d y = f / (x) x

, тогда по определе-

(1)

Возьмем функцию y = x , вычислим ее дифференциал по (1)

y = x		x = x .	(2)
	d y = x

Поскольку переменные равны, то равны и их дифференциалы

d y

(3)

Из равенств (2) и (3) следует, что дифференциал независимой переменной совпадает приращением ее значения

и можно написать:

d y =	f	/	(x) d x

d x = x

(4)

(5).

Правила вычисления дифференциалов

Пусть функция нию дифференциала:

y =

(x)

f (x

дифференцируема в точке

) D(x = x0 ) d y = f	/	(x)d x .

, тогда по определе-

(1)

Существуют следующие правила вычисления дифференциалов:

d d

(u v) = d u d v ;
(u v) = v d u + u d v
u	=	v d u − u d v
			2
v		v

;

Докажем пункт третий:

u	u	/	u	/
				d x =
d	=		x =
v	v		v

v u − u v		d x =
v	2

v	d u	− u		d v
v	d x	− u		d x
	d x			d x	d x =
		v	2		d x =
			2

v d u − u d v
v	2

Дифференциалы высших порядков

А. Случай простой функции. Пусть функция y = f (x) в точке имеет ко-

нечную производную

f	/

(x) .
f (x) D(x = x ) f / (x)	d y = f / (x)d x .	(1)
0

Переменная			x не зависит от x .
d x = x .
d y — дифференциал 1-го порядка функции
d	2	y = d(d y) = d( f		/	(x)d x) = d x(d f	/	(x)) = d x

y =				f (x)
f		//	(x)d x
	x	2

f		//	(x)d x	2
f	x	2	(x)d x
	x

(2)

Дифференциал п-го порядка равен дифференциалу от дифференциала (п – 1)-го порядка:

Б. сложная

y = d(d

n−1

y) = d( f

(n−1)

d x

(n−1)

) = f

(n)

d x

Случай сложной функции. Пусть функциями

функция

z = (f (x)).

y = f (x) D(x = x	) z = ( y) D( у = у	0	= f (
0		0

y =

x0 ))

(

/ (

( y

)

(3)

задана

(4)

Вычислим дифференциал второго порядка для функции

d y =

(x) d x

d z = z

(x)

d x = z

d x

= d (d z) = d (z

(x) d x) = d (z

d x) = d x

d (z

) = d x (z

= z

x + z

/ /

y	/	)	/	d x
	x

IV. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Теорема Ферма

Пусть функция определена на отрезке и во внутренней точке этого отрезка принимает наибольшее (наименьшее) значение, тогда если в этой точке существует конечная производная, то она необходима равна нулю.

y = f (x),	dom ( y) = [a, b] x	[a, b] :
	0
					f (
					f (

		f	/	(x)
		f		(x)

f (x	) = max
0			[a, b]
			[a, b]
x ) = min f (
0		[a, b]
		[a, b]
	f	/	(x) =
		/

f (x) x U (x		, ) f (x) f (x		)
	0		0
x) x U (x	, ) f (x
x) x U (x	, ) f (x		) f (x)
0		0
0		0
0 .

Доказательство. Рассмотрим случай наибольшего значения функции.

f(x0 ) = max f (x) x U (x0 , ) f (x) f (x0 )

f (x) − f (x0 ) 0 x [a, b] .

Рассмотрим выражение	f (x) − f (x0 )	(2).
	x − x0

Перейдем к пределу при x → x0 .

Если будем приближаться к точке x0 слева, то изменение функции меньше нуля и выражение (2) больше, либо равно нулю

x → x − 0 x − x 0		f (x) − f (x0 )	0 .
x → x − 0 x − x 0			0 .
0	0	x − x0
		x − x0

(1)

аргумента

(3)

Если будем приближаться к точке

справа, то изменение аргумента

функции больше нуля и выражение (2) меньше, либо равно нулю

x → x + 0	x − x 0	f (x) − f (x0 )	0 .	(4)

0	0	x − x0

Используя определение производной, и по условию предел функции существует и конечен:

f / (x ) = lim		f (x) − f (x0 )		.			(5)
f / (x ) = lim				.			(5)
0	x→x0	x − x0
		x − x0

			f / (x ) 0			/
Сравнивая формулы (3) и (4), получаем:			0		f	/	(x0 ) = 0 .
Сравнивая формулы (3) и (4), получаем:					f		(x0 ) = 0 .
			f / (x ) 0
			0

Замечание. Теорема Ферма служит для определения необходимого условия существования экстремума.

Теорема Ролля

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет трем условиям: непрерывности на отрезке, существование производной на интервале, равенство значения функции на концах отрезка, тогда на этом интервале существует некоторая точка, производная функции в которой равна нулю.

y = f (x), dom ( y)

1)y = f (x) C([a,

2)y = f (x) D( (a

3)f (a) = f (b)

= [a, b] :
b]);
	/
, b)); c : f	/	(c) = 0
, b)); c : f		(c) = 0

(6)

Замечание. Второе условие предполагает, что функция может не иметь производной в граничных точках.

Доказательство. Так как функция непрерывна, то она по одной из теорем Больцано-Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наимень-

шего значения на промежутке.
Обозначим: m = min f (x),	M = max f (x) , тогда m f (x) M x [a, b] (7).
x [a, b]	x [a, b]
	39

Рассмотрим два случая:

1) Пусть

m = M

из третьего условия теоремы

y = f (x) = const

/	(x) = (const)	/
	(x) = (const)

2) Пусть гаться хотя бы интервала (a, b равна нулю.

m M из третьего условия теоремы, на отрезке будет достиодно из значений m M функции в некоторой внутренней точке ) , тогда по теореме Ферма в этой точке производная функции

c (a, b) : f (c) = m M

/ (c)

Геометрический смысл теоремы Ролля

Существует точка на графике функции, к которой касательная горизонтальна.

Пример. Определить, есть ли горизонтальные касательные у функции?

	2 − x
		2
y =	x	4	;	[−1;1] .
		4

Решение. Проверяем условия теоремы Ролля:

2 − x

y(0) =

С(х = 0);

2 − x2

2x x4 − (2 − x2 ) 3x3

2x2 − 8

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]