Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tg(3 x +1)

cos2 (3x +1)

sin (2 (3x +1))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

z	= ( y	)	y	+ ( y)	y

x	0		x		x

Переходя к пределу, получается:

(2)

lim	z		y	+ ( y) lim	y

	x	= ( y0 ) lim	x		x	= ( y0 ) f (x0 ) + 0	f (x0 ) = ( y0 ) f (x0 ) . (3)
x→0		x→0		x→0
				y →0

Правая часть выражения (3) существует, по условию теоремы, тогда существует предел и левой части:


z (x0 ) = ( y0 ) f				(x0 ) .
В силу произвола выбора точки		x0 , можно записать:
d z	=	d	d f	.
d x		d y
			d x

Пример. Вычислить производную сложной функции

1)	z = e	x	2	.

Решение.

d d

z = ex 2

z	= (e	y	)	/
z				/

x			y
x

y = x2

d y	= e	y	2x =
		y
d x

z = e y

e	x	2	2x .

Ответ. z = 2х ex2 ;

ln( tg(3 x +1))

Решение.

Ответ.

z =

6 sin (2 (3x

+1))

;

3)	z

		1+sin	2
= e	arctg ln	1+sin		x
= e

Решение.


	z = e	arctg ln
	z = e

Ответ.

+2 1

1sin x

1+ (ln 1+ sin 2 x )2

				2	x
		arctg ln		1+sin	x
	e
z = −	e
z = −	1+ (ln					x )	2
					2		2
			1+ sin		2
			1+ sin

	1						−1		2 sin
				2				2	2 sin
	1+ sin			2	x	2	1+ sin	2	x
	1+ sin				x	2	1+ sin		x
sin x cos x
1+ sin		2	x		.
1+ sin			x

x cos x

Производные гиперболических функций

1) Гиперболический синус:

	е	x	- е	-x
y = sh x =	е		- е
y = sh x =			2
			2

	1	(е				)' =	е	x	+	е	-x
y = (sh x) ' =	1		x	- е	-x		е		+	е
y = (sh x) ' =				- е

	2								2

;

2) гиперболический косинус:

= = еx + е-x y ch x

е	x	+ е	-x	/		е	x	− е	-x
е		+ е				е		− е

y = (ch x) ' =					=
		2						2
		2						2

= sh x

;

3) гиперболический тангенс:

y = th x =	sh x	=	еx - е-x
	ch x		еx + е-x

4) гиперболический котангенс:

y = cth x =	ch x	=	еx + е−x
	sh x		еx − е−x
			22

y = (th x)	/

y = (cth x)/

=	1		;
	ch	2
			x

= − sh12 x .

Односторонние производные

При вычислении производной функции может не существовать предела функции в точке, а односторонние пределы этой функции в точке существуют.

В этом случае с помощью понятия односторонних пределов вводится понятие односторонних производных.

Тогда выражение:

f (x	+ 0) =	lim
0
		x→x	+0

f (x	− 0) =	lim	f
f (x	− 0) =	lim
0
		x→x	−0

f(x) − f (x0 ) x − x0

(x) − f (x	)
0
x − x
0

—называется производной функции в точке справа;

—называется производной функции в точке слева.

Параметрически заданная функция и ее дифференцирование

Иногда зависимость одной переменной от другой переменной задается не непосредственно, а через третью переменную — системой равенств:


x	= x(t)	, t T — некоторое множество.			(*)
		, t T — некоторое множество.			(*)
y	= y(t)
Возьмем точку	t0 T , вычислим значение		функций в этой		точке
x(t0 ) y(t0 ) . Затем к полученному значению функции			x(t0 )	поставим в соответ-

ствие значение функции y(t0 ) . Поступим так для каждого значения переменной t T .

Таким образом x(t) y(t) , такой способ задания функции называется параметрическим, а переменная t — параметром.

Пример. Функция задана в параметрическом виде

x = a cos (t)		t [0; 2 ] .
	,	t [0; 2 ] .
y = b sin (t)

Данная система задает эллипс на плоскости:

= cos (t)

= cos

(t)

= sin

(t) + cos

(t)

= sin (t)

= sin

(t)

x a

2		y
	+	y
2	+	b
2

2 2

Определение. Говорят, что функция задана параметрической формой, если заданы две функции:

		x = (t)	, (t) (t) С([a, b]).		(1)
			, (t) (t) С([a, b]).		(1)
		y = (t)
Определение.	Если для функции			x = (t) из системы (1)	существует об-
ратная функция t =	−1	(x) , тогда функцию (1), заданную в параметрическом виде
ратная функция t =		(x) , тогда функцию (1), заданную в параметрическом виде

можно представить как выражение:

y = (	−1	(x

Теорема. Если функция y = f (x)

x = (t)	, (t
	, (t
y = (t)

)) = f (x) .

задана в параметрическом виде:

) (t) С([a, b]).

(2)

и при этом обе функции от параметра дифференцируемы на всей области определения, то существует производная параметрически заданной функции, которая вычисляется по формуле (3)

(t) (t) D([a, b]) y	(x) =
/

y	/
y
t
x	/
x
t

(3)


Доказательство. Пусть функция	x = (t) имеет обратную		функцию
t = −1(x) , тогда существует зависимость переменной y		от переменной x , кото-
рую можно рассматривать как сложную функцию.
x = (t) : t = −1(x) y = ( −1(x)) .			(4)

Продифференцируем ее по правилу сложной функции:

yx	= t		tx .
/		/	/

По правилу дифференцирования обратной функции:

d y

d t

= t

или

/ .

d x

d t

(5)

(6)

Пример. Вычислить производную функции, заданной в параметрическом

виде

x = a cos (t)		t [0; 2 ] .
	,	t [0; 2 ] .
y = b sin (t)

Решение.

d y		(b sin (t))	/
	=		t

d x		(a cos (t))		/
				t

=b cos (t)

−a sin (t)

=− b a

ctg t

Производная функции заданной в неявном виде

Определение. Функция, заданная уравнением:

F (x, y) = 0

при условии, что переменная y зависит от переменной x так, что

F (x, f (x)) 0 ,

называется функцией, заданной в неявном виде.

Пример. Функции в неявном виде

1)	e	x y	+ x y	2	− y = 0	;
		x y		2
2)	sin (x y) + cos (x y) = tg (x y) .

(1)

(2)

Заданное уравнение (1) дифференцируют как некоторое алгебраическое выражение, зависящее от переменных x y , помня, что переменная y является

функцией от переменной

x :	y = f (x)
F / + F		/ y / = 0	y / = −	F	/	.	(3)
				x

x	y	x	x	F	/
				F	/
				y

Пример. Найти производную функции, заданной в неявном виде

1)	e	x y	+ x y	2	− y = 0 .
		x y		2

Решение.

(ex y + x y2 − y)/ = 0

x y

(y + x y

)+y

+ 2x y y

− y

x y

y +y

= y

(1− 2x y − x e

x y

y + y

1− 2x y − x e

x y

= 0 )

по формуле:

Ответ.

sin (x y

	y	/
		x

	) +

		e	x y
= −		e
= −	x y	x
e		x

cos (x y) =

y + + 2x

tg (x

F	/	= e	x y	y + y	2	− 0
	/		x y		2
x		= e		x + 2x y −1
F	/	= e	x y	x + 2x y −1
	/		x y
y

	yx		= −		e	x y	y + y	2	.
						x y		2

		/	e		x + 2x y −1
			e	x y	x + 2x y −1
				x y
y	2
y			.
			.
y −1
y)		— выполнить самостоятельно.

Прием логарифмического дифференцирования

Этот прием возник при дифференцировании степенно-показательного выражения:

y = uv

(1)

u = u(x) v = v(x)
y / = (uv )/ = v uv−1 + uv v / ln u .	(2)

Выражение (1) логарифмируем:

ln y = v ln u .

(3)

Дифференцируем выражение (3), не забывая, что

(ln y)

= (v ln u)

= v

ln u

+ v

v u

= y v

ln u +

= u

ln u +

Пример. Найти производную функции

y = (tg x)

sin x

		.




	.

(x)

(4)

(5)

Решение. Прологарифмируем левую и правую части равенства

(tg x)	sin x	:

ln y = ln ln y = sin

((tg x)sin x ln (tg

x	)

x).

Возьмем производную от левой и правой частей

= (sin x ln (tg x))

(ln y)

= cos x ln (tg x)+

sin x

tg x cos

= y cos x ln (tg x)+

cos x

Ответ.

= (tg x)

sin x

cos x ln (tg x)+

cos x

Найти производную функции

y =

1− arctg x

)

(1+ x

y = 5

Решение. Прологарифмируем левую и правую части равенства

1− arctg x				.
x	2	3	)
		(1+ x

ln y =	1	ln	1− arctg x				=	1	ln (1	− arctg x) − 2 ln x − ln (1+ x3 )

	5		x	2	3	)		5
	5		x		(1+ x	)		5
									27

Ответ.

		1	y	/	=	1
			y		=

		y				5	1−

y =	1						1
y =
	5		(arctg x −1)
	5		(arctg x −1)

1			−		1			−	2	−		1			3x		2
						2							3
arctg x			1+ x						x	1+ x

			2		3x		2			1− arctg x
		−		−					5
2	)		x		1+ x			3		x	2	(1			3	)

(1+ x														+ x

 

	Производные высших порядков
Пусть функция	y = f (x) в точке имеет конечную производную			f	/	(x) .
					/
	y = f (x) D(x = x0 ) f	/	(x) .
	y = f (x) D(x = x0 ) f		(x) .

(1)

Производную функции можно так же рассматривать как некоторую функцию от той же переменной x . И можно поставить вопрос о вычислении ее производной, которую называют производной второго порядка.

Данный процесс можно продолжить, необходимо только, чтобы все производные существовали.

Обозначение:

y",

, ...

y ,

, y

d y

, ...

d x

y ,

, ...

Определение. Производной п-го порядка функции

от производной (n −1)

-го порядка.

f	(n)	(x) = (f	(n−1)	(x))	/	.

y =

f (x)

производная

(2)

В отличие от отыскания первой производной, производные высших порядков находятся с помощью правил дифференцирования и таблицы производных.

Пример. Взять п-ную производную функций

y =

x	n

y / = n x n−1,

y // = n (n −1) x n−2 , . . . ,

y(n+1) = 0 y(n) = n!.

a	x

y	/	x	ln a
y		= a	ln a
y	//	x	(ln a)	2
y		= a	(ln a)

y = sin

y	(n)	= a	x	(ln a)	n

			/
		y		= cos x = sin x +	2
					2
y		//
y			= −sin x = sin x + 2
						2
y	///
y			= −cos x = sin x + 3
						2
y		(4)
y				= sin x = sin x + 4
						2

cos

1 x −

−

y	(n)
y		= sin x + n	.
			2

y	(n)
y		= cos x + n	.
			2

a)	−1	.

y	/				−2
		= −1 (x − a)
y	(2)				−3
			=1 2 (x − a)
y	(3)				−4	.
			= −1 2 3 (x − a)

y	(n)		= (−1)	n	−n−1
					n! (x − a)

		х
Пример. Взять п-ную производную функции	y =		.
		x2 − 5x + 6
29

Решение.

	y
y	(n)
y

= =

x		х
x	2	− 5x + 6
	2

(−1)	n	n! (?).
	n

Разложим дробь на сумму простейших дробей:

		х	=	x	=	A	+	B	=
x	2	− 5x + 6		(x − 2) (x − 3)		(x − 2)		(x − 3)

Дроби равны, когда равны их числители:

A (x − 3) + B (x − 2) (x − 2) (x − 3)

xA (x − 3) + B (x − 2)

xAx − 3A + Bx − 2B

			x x ( A + B) − 2B − 3A
1 = A + B		1 = A + B				2				1
			2		1 = −	2	B + B	1	=	1	B B = 3, A = −2


0	= 2B + 3A	A = −		B		3				3
0	= 2B + 3A	A = −	3	B		3				3
			3

y =	− 2	+	3
	(x − 2)		(x − 3)

y	(n)

= (−1)	n

n! (3 (x − 3)−n−1

− 2 (x

−

2)−n−1

)

Ответ. y(n) = (−1)n n! (3 (x −3)−n−1 − 2 (x − 2)−n−1 ).

Теорема. Если две функции дифференцируемы до п-го порядка включительно, то существует производная п-го порядка от их суммы:

= (y

+ y

)

= y

+ y

)

= y

+ y

)

= (y )

+ (y

)

(n)

−

(−1)

(x − 3)

n+1

− 2)

−

2
(x − 2)	n+1
(x − 2)

  

(3)

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]