Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Максимальное и минимальное значение функции принято называть экстремумами функции.

Понятие экстремума функции носит локальный характер. Это означает, что если функция имеет в точке, например максимум, то это относится только к этой точке и некоторой ее окрестности, а не ко всему множеству.

Вопрос (к рисунку): Сколько точек экстремума может иметь график на отрезке [a, b] ?

Ответ: три точки минимума и две точки максимума.

Необходимое условие экстремума функции

Если некоторая внутренняя точка из множества определения функции является точкой экстремума функции, то необходимо, чтобы в этой точке производная функции была равна нулю.

y = f (x), dom ( f (x)) = X x0 X : x0	= (xmin xmax ) f	/	(x0 ) = 0 .

Доказательство. Так как точка х0	является точкой экстремума, то по

теореме Ферма: если существует производная в этой точке, то она равна нулю.

x = (x			)	по теореме Ферма
x = (x		x	)		f / (x ) = 0 .
0	min	max			0

Достаточное условие экстремума функции

Если для функции, заданной на множестве, в некоторой внутренней точке этого множества, существует конечная производная равная нулю, то эта точка, возможно, является точкой экстремума функции.

y = f (x), dom ( f (x)) = X x	X : f	/	(x	) = 0 x	= ( x		x

0			0	0	min		max
Доказательство. Пусть в дельта окрестности U ( x0 , )						точки

x0 существу-

ет производная функции, сохраняющая свой знак, тогда возможны три случая:

x U (x0 , ) : f	/	(x) .
x U (x0 , ) : f		(x) .
1. Если производная функция при переходе аргумента через точку			x0	из-

меняет знак с «+» на «–», то в точке

значение функции достигает максимума,

x	= x
0	max

— точка максимума.

f	/		(x) 0	x (x	− , x	) : x x	f (x) f (x ) f (x)

				0	0	0	0
f	/	(x) 0		x (x0 , x0 + ) : x x0			f (x) f (x0 ) f (x) .

2. Если производная функция при переходе аргумента через точку								x0 из-
меняет знак с «–» на «+», то в точке						x0 значение функции достигает минимума,

x	= x
0	min

— точка минимума.

f	/	(x) 0	x (x	− , x	) : x x	f (x) f (x	) f (x)

			0	0	0	0
f	/ (x) 0 x (x , x + ) : x x f (x) f (x ) f (x) .
			0	0	0	0

3. Если производная сохраняет знак, то функция на указанном интервале будет: либо только возрастать, либо только убывать, поэтому в точке x0 экстремума не существует.

f	/	(x) 0 x (x	− , x	+ ) f (x)
	/
		0	0
f	/ (x) 0 x (x − , x + ) f (x) .
		0	0

Точки, в которых производная функции равна нулю называются стационарными точками этой функции. Стационарные точки являются подозрительными на экстремум, также подозрительными на экстремум являются точки, в которых производная функции обращается в бесконечность или не существует.

Применение второй производной к исследованию функции на экстремум

y =

(

Достаточное условие. Пусть точка x0 — стационарная точка функции

x) :

y = f (x) x0 : y / = f / (x0 ) = 0 .

Кроме того, существует вторая производная функции в стационарной точке, не равная нулю.

y // = f // (x0 ) = 0 .

Тогда можно доказать, что если вторая производная в стационарной точке больше нуля, то эта точка — точка минимума функции.

f	//	(x	) 0 x	= x

		0	0	min

Если вторая производная в стационарной точке меньше нуля, то эта точка — точка максимума функции.

f	//	(x	) 0 x	= x

		0	0	max

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке, тогда по одной из теорем БольцаноВейерштрасса она на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

y = f (x) C([a, b])	по теорем е Б −В
y = f (x) C([a, b])		max	f (x) min	f (x), x [a, b].

Для нахождения этого значения функцию на соответствующем интервале исследуют на экстремум, затем вычисляют значения функции во всех точках экстремума и на концах отрезка, среди полученных значений выбираются наибольшее и наименьшее значение функции.

Выпуклость кривой в точке перегиба

Пусть на отрезке задана функция и для нее существует производная на соответствующем интервале.

y = f (x) C([a,b])

y =

(x) D(

(a,b))

(1)

На графике функции отметим некоторую точку и проведем через нее касательную:

x	(a, b) : Y (x) − y	=
0	0

/	) (x −
(x	) (x −
0

x	)
0

(2)

Построим функцию как разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении аргумента:

	r(x) = y(x) −Y (x) .		(3)
Определение. Кривая	y = f (x) называется выпуклой вверх в точке	x0	, если

существует такая окрестность этой точки, что функция (3) будет меньше нуля во всех точках этой окрестности.

y = f (x) U (x0 , ) :r(x) 0 x (x0 − , x0 ) (x0 , x0 + ) .	(4)
x0
54

Кривая

y = f (x)

называется выпуклой вниз в точке

, если существует

такая окрестность этой точки, что функция (3) будет больше нуля во всех точках этой окрестности.

y = f (x) U (x0 , ) :r(x) 0 x (x0 − , x0 ) (x0 , x0 + ) .	(5)
x0

Теорема. Достаточное условие выпуклости кривой. Если функция имеет конечную производную в дельта окрестности точки x0 и при этом в этой точке существует вторая производная функции, отличная от нуля, то если вто-

рая производная меньше нуля,

тогда функция в точке

выпукла вверх, если

вторая производная больше нуля, тогда функция в точке

выпукла вниз.

y =

f (x) D (U (x

, ))

) = 0

) 0 y = f (x)

) 0 y = f (x) .

Доказательство. Подставим в уравнение (3) равенство (2):

		Y (x) − y = f / (x ) (x − x )
				0		0			0
				r(x) = y(x) −Y (x)
		r(x) = f (x) − f (x			) − f / (x				) (x − x	).
				0			0		0
Исследуем функцию (*) на экстремум:
1. Необходимое условие:
		r	/	(x) = f	/	(x) − f	/	(x0 ) .
		r		(x) = f		(x) − f		(x0 ) .
При x = x	r / (x ) = f / (x ) − f / (x ) = 0 (7).
0	0	0		0

Значит точка x0 — стационарная. 2. Достаточное условие:

(*)

(6)

r // (x) = f // (x) .

(8)

Рассмотрим два случая:

а)

f	//	(x) 0 r	//	(x) 0	r(x	) =	max		r(x) = 0
f		(x) 0 r		(x) 0	r(x	) =	max		r(x) = 0
					0		x U ( x	,	)
							0

r(x) r(x ) x U (x		, ) y =
0	0

f (x)

;

б) доказывается аналогично

(x) 0

r(x

) =

min

r(x) = 0

x U ( x

, )

r(x) r(x

) x U (x

, ) y = f (x)

		Точки перегиба
Определение. Точка	x0	называется точкой перегиба кривой	y = f (x) , если

при переходе аргумента через точку

знак числового значения второй произ-

водной меняется на противоположный.

Подозрительными на перегиб кривой являются точки в которых вторая производная функции обращается в нуль или не существует.

Теорема. Достаточные условия существования точек перегиба. Пусть

функция в дельта окрестности точки

имеет первую производную, и всюду на

этом интервале, кроме может быть точки

x0 ,

существует вторая производная

функции, отличная от нуля,

тогда точка x0

является точкой перегиба кривой,

если при переходе аргумента в точке

числовое значение второй производной

меняет знак.

y = f (x) D (U (x

, )) f

(x)

= 0 x

− , x

) (x

, x

+ )

− точка перегиба, если :

− , x

) x

, x

+ ) : f

) f

)

Пример. Определить точки перегиба кривой

y =

+ x2

Решение.

y =

— кривая локон Марии Аньези (Милан 1718–1799).

+ x2

В 1748 г. она опубликовала свою работу «Основы анализа», в которой в том числе исследовала эту кривую.

																				1				/			− 2x
															y	/				1				=			− 2x
															y		=						2	=			2		2
																		1+ x					2				2	)	2
																		1+ x								(1+ x		)
					− 2 x					/		− 2 (1+ x							2	)	2	+ 2 x 2 (1+ x								2	) 2 x					− 2
					− 2 x							− 2 (1+ x								)		+ 2 x 2 (1+ x									) 2 x					− 2
y		=									=																							=
y	//	=									=																							=
					(1 + x	2	)	2															(1+ x		2	)	4										(1
					(1 + x		)																(1+ x			)											(1
							− 2				(1− 3x					2	)																1
		y	//	= 0			− 2				(1− 3x						)	= 0					1 − 3x			2	= 0 x					=	1		, x		=
			//																							2
									(1 + x				2	)	3																1		3			2
									(1 + x					)																			3

x1, x2 − точки перегиба.

y	1		=	1			=		1	=	3	,	y2	−	1	=		1			=

					1	2		3	+1		4								1	2

1		3													3
				1 +					3								1 +	−


					3														3
					3														3

(1− 3x					2	)

+ x		2	)	3

−	1			.
		3

1	=	3
3 +1	=	4
3 +1		4
3

тами

Ответ. У заданной кривой существуют две точки перегиба с координа-

1	;	3		−	1	;	3
3	;	4	,	−	3	;	4	.
3		4			3		4

Асимптоты кривой

Пусть на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат XOY задана точка M (x, y) . Говорят, что точка M (x, y) удаляется в бесконечность, если при ее перемещении расстояние от этой точки до начала координат может стать сколь угодно большим.

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой кривой до данной прямой линии стремится к нулю, когда эта точка по кривой удаляется в бесконечность.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты. Если предел функции равен плюс-минус бесконечности в точке x = a , то прямая, проходящая через точку x = a , является вертикальной асимптотой кривой. Обычно вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва функции.

lim	f (a) = x = a −
x→а

вертикальна я

асимптот а

Пример.

ке

x = 2 .

	y =	1
	y =	x − 2
		x − 2

— исследовать значение функции в стационарной точ-

	lim	1
	lim	x − 2
	x→2−0	x − 2

−

	lim	1
	lim	x − 2
	x→2+0	x − 2

x = 2

— вертикальная асимптота кривой.

2. Наклонные асимптоты:

Из геометрии известна формула расстояния от точки до прямой:

M	0	(x	, y ),	l : Ax + By + C = 0,
	0	0	0

(M	, l) =	\|
(M	, l) =
0

Ax + By			0	+ C \|
0
A	2	+ B			2

(1)

Пусть функция y = f (x) имеет наклонную асимптоту, будем отыскивать

ее уравнение в виде:	y = k x + b k x − y + b = 0 (2).
Пусть точка M	0 (x0 , y0 ) f (x) и точка устремляется в бесконечность, следо-

вательно, ее координаты будут переменными величинами: M0 (x, y) , удовлетворяющие уравнению (1):

(M	, l) =
0

\| k x − y + b \|
k		+1
	2	2

(3)

По определению асимптоты расстояние стремится к нулю, то формула (3) запишется через предел:

(M	, l) → 0
0

lim	\| k
x→
lim	\| k
x→

lim	\| k
lim
x→

x − y + b

x − f (x)

x − y + b \|
k		+1
	2	2
\|= 0
\|= 0
+ b \|= 0			.
+ b \|= 0

;

(4)

(5)

Равенство (5) является необходимым и достаточным условием, чтобы прямая (2) была асимптотой кривой.

Найдем коэффициенты k b . Равенство (5) запишем следующим образом:

	k x − f (x) + b			f (x)		b
lim		= lim	k −		+		= lim
	x			x		x
x→		x→					x→

k = lim	f (x)	.
	x
x→

Теперь выразим b	при найденном значении k
lim \| k x − f (x) + b \|= 0		b = lim ( f (x)
x→		x→

k − lim	f (x)	= 0
k − lim	x	= 0
x→	x
x→

− k x).

(6)

(7)

Если k = 0 , то прямая линия y = b — является горизонтальной асимптотой.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]