Ядерная физика и физика элементарных частиц. Часть 1. Учебное пособие

применить динамический подход, основанный на использовании уравнений Шредингера. В этом случае мы должны решать систему из дифференциальных уравнений для большого числа функций, зависящих от множества переменных. Данная задача является практически неразрешимой. В свою очередь, число частиц в системе мало, чтобы к ней можно было применить статистические методы исследования и описывать систему с помощью небольшого числа макроскопических параметров – таких, как температура, давление. Таким образом, атомные ядра занимают промежуточное положение между динамическими и статистическими системами, что приводит к большим затруднениям при построении теории атомного ядра.

Трудности, препятствующие построению теории ядра, приводят к необходимости создания различных моделей ядра. При создании той или иной модели ядра выделяют некоторые свойства ядра, которые хорошо описываются в данной модели, пренебрегая при этом рядом других свойств. Это приводит к тому, что все ядерные модели изначально имеют ограниченную область применимости и могут даже противоречить друг другу.

Модели атомного ядра можно разделить на три группы:

1.коллективные;

2.одночастичные;

3.обобщенные модели.

К коллективным моделям относятся: капельная, модель несферического ядра. К одночастичным моделям относятся: ядерный ферми-газ, оболочечная модель без остаточного взаимодействия, оболочечная модель с феноменологическим спариванием. К обобщенным моделям принадлежат: обобщенная модель со слабым взаимодействием, обобщенная модель с сильным взаимодействием.

3.2. Капельная модель ядра

Капельная модель ядра принадлежит к числу коллективных моделей. В данных моделях основываются на представлении о коллективных степенях свободы, которые соответствуют коррелированному движению большого числа частиц. Коллективные эффекты проявляются тогда, когда свободный

21

пробег каждой частицы системы и радиус действия сил между частицами малы по сравнению с размерами системы. В этом случае основную роль играют частые и интенсивные взаимодействия частицы с ее ближайшими соседями. Ядро при этом представляется в виде жидкости или твердого тела.

Восновании капельной модели лежат следующие положения, которые были проверены разнообразными методами:

1. Постоянство плотности ядерного вещества. Все ядра имеют одинаковую концентрацию нуклонов и одинаковое среднее значение расстояния между нуклонами. Этот факт свидетельствует о несжимаемости ядра.

2. Удельная энергия связи (2.3) приблизительно постоянна, что указывает на свойство насыщения ядерных сил. Подобным свойством обладают химические силы, которые действуют между молекулами жидкости.

Данные свойства позволяют построить капельную модель атомного ядра. Согласно данной модели ядро представляется в виде шарообразной капли несжимаемой сверхплотной ядерной жидкости.

Восновном состоянии ядро имеет шарообразную форму. При возбуждении ядра проявляется коллективный характер движения частиц в виде поверхностных колебаний формы ядерной капли (объем капли не меняется). При этом главную роль играют колебания, при которых капля попеременно становится то сжатым, то вытянутым эллипсоидом, или, например, колебания, при которых капля принимает грушевидную форму (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Ядерные колебания:

а) монопольные, б) квадрупольные, в) октупольные.

22

Данная модель представляет возможность получить качественное представление о структуре первых возбужденных состояний четно-четных ядер.

На основе капельной модели ядра качественно объясняется механизм деления тяжелых ядер, который будет рассмотрен при обсуждении процессов синтеза и деления ядер.

3.3. Формула Вейцзеккера для энергии связи ядра

С капельной моделью ядра связана полуэмпирическая формула Вейцзеккера для энергии связи ядра.

В первом приближении можно считать, что энергия связи ядра DW пропорциональна массовому числу А (2.3) (мы исключаем из рассмотрения самые легкие ядра):

В данном случае предполагается, что все нуклоны в ядре являются равноправными. Далее следует учесть, что нуклоны, которые находятся на поверхности ядра, притягиваются только с внутренней стороны ядра, а не со всех сторон, что имеет место для нуклонов в центре ядра. В связи с этим энергия связи ядра уменьшается на величину пропорциональную поверхности ядра. Поскольку R A1/3, то энергия связи уменьшается на величину, пропорциональную A2/3. С учетом этого и (3.1) получаем:

где β – коэффициент пропорциональности.

Следующая поправка к энергии связи ядра связана с кулоновским расталкиванием протонов в ядре. Кулоновская энергия равномерно заряженной ядерной капли пропорциональна Z2 и обратно пропорциональна радиусу капли R A1/3. Кулоновское отталкивание уменьшает энергию связи (3.2):

где γ – коэффициент пропорциональности.

23

Формула (3.3) для энергии связи ядра объяснена в рамках капельной модели. Последующие поправки уже нельзя объяснить в рамках этой модели. Первая такая поправка связана

ссимметрией в строении атомных ядер. Для легких ядер число протонов примерно равно числу нейтронов. Это приводит к тому, что ядра, у которых Z = N = A/2, обладают наибольшей устойчивостью. Отклонение от данного равенства в ту или иную сторону приводит к уменьшению энергии связи. Нарушение равенства между протонами и нейтронами в пользу последних наблюдается для тяжелых ядер и обусловлено кулоновским расталкиванием протонов, которое учтено предыдущей поправкой. Следовательно, поправка, связанная

ссимметрией в строении ядра, может проводиться одинаковым образом для легких и тяжелых ядер. Эта поправка должна зависеть от разности Z – N и быть симметричной по чис-

лам Z и N. Такой поправкой может являться ξ(A /2− Z )2 .

A

Данная поправка наилучшим образом соответствует эксперименту. С учетом этого энергия связи ядра

где ξ– коэффициент пропорциональности. Коэффициенты

пропорциональности в формуле (3.4) находятся путем сопоставления с измеренными энергиями связи.

Как показывают измерения, энергия связи меняется скачкообразным образом при переходе от одного ядра к другому с соседними значениями Z и A. Формула (3.4) не учитывает такой характер изменения энергии и дает для четно-четных ядер заниженное значение энергии связи, а для нечетно-нечетных – завышенное. Для правильного описания энергии связи ядра вводят в формулу (3.4) еще одну поправку δA–3/4, где

− δ для четно–четных ядер

С учетом данной поправки формула для энергии связи ядра приобретает вид:

24

Коэффициенты пропорциональности, подобранные по экспериментальным данным, имеют значения:

α= 15,75 МэВ; β = 17,8 МэВ; γ = 0,71 МэВ;

ξ= 23,7 МэВ; |δ| = 34 МэВ.

Из данных значений следует обратить внимание на резкое отличие значения постоянной α от типичного значения удельной энергии связи ε 8 МэВ. Удельную энергию связи α должно было бы иметь гипотетическое ядро больших размеров, состоящее из одинакового числа протонов и нейтронов, при отсутствии кулоновского взаимодействия между протонами.

Полная энергия ядра (масса):

где массы протона и нейтрона выражены в единицах энергии (МэВ).

Формула (3.6) называется формулой Вейцзеккера. Данная формула хорошо описывает экспериментальные значения энергий связи. Однако она не объясняет результаты ядерной спектроскопии, магнитные моменты и спины ядер, существование особо стабильных ядер (магические ядра).

3.4.Несферическая модель ядер

Внесферической модели ядра без каких-либо объяснений постулируется несферическая равновесная форма ядра.

Вданной модели наряду с низшими колебательными уровнями энергии исследуются вращательные уровни энергии четно-четных ядер, которые отсутствуют у сферических ядер.

Рассмотрим случай ядра, которое обладает осевой симметрией. Такое ядро обладает вращательным энергетическим спектром. Вращательные энергии, отвечающие переходам ядра в основное состояние, задаются формулой

25

где J – момент инерции, I = 0, 2, 4, … – полный спин. Четности всех вращательных состояний положительны.

Формула (3.7) не учитывает способность ядер деформироваться при их вращении. С учетом деформации ядер вращательные энергии определяются формулой

где α – коэффициент пропорциональности, подбираемый из экспериментальных данных.

Аксиально несимметричные ядра имеют три вращательные степени свободы и их вращательные спектры имеют более сложный характер.

3.5.Оболочечная модель ядер

Ватомах взаимодействие между электронами много слабее их взаимодействия с ядром. Для описания многоэлектронных систем используется метод самосогласованного поля. При этом в нулевом приближении считают, что электроны движутся независимо друг от друга в поле ядра.

Вядре все нуклоны взаимодействуют друг с другом посредством интенсивных ядерных сил. Здесь отсутствует ка- кой-либо выделенный силовой центр. В связи с этим можно предполагать, что в ядре нельзя различать состояния отдельных нуклонов, а следует различать состояния системы как одного целого. Однако оказалось, что целый ряд свойств ядер можно описать на основе представления об индивидуальности нуклонов. Такая возможность, скорее всего, связана с тем, что ядерные силы являются короткодействующими (быстро убывают с расстоянием) и кинетическая энергия нуклонов в ядрах имеет большие значения.

Впростейшей модели считается, что независимые нуклоны движутся в самосогласованном сферически симметричном поле. Такая модель оказывается недостаточной для

26

объяснения ряда экспериментальных фактов. Для более точного описания следует принять во внимание спинорбитальное взаимодействие. Спин-орбитальное взаимодействие проявляет себя в том, что нуклон, спин которого направлен в ту же сторону, что и орбитальный момент, притягивается к ядру сильнее. Гамильтониан взаимодействия нуклона с самосогласованным полем имеет вид

ˆ ˆ

Здесь s, l – операторы спина и орбитального момента нуклона, соответственно. Для дальнейшего построения модели необходимо подобрать вид функций U (r), V (r) . Для нейтронных уровней потенциал U (r) обычно берут в виде

(потенциал Саксона-Вудса). Здесь a – параметр. Для протона добавляется самосогласованный кулоновский потенциал в виде энергии взаимодействия протона с равномерно заряженным шаром радиуса R, заряд которого (Z – 1)e:

где b – константа спин-орбитального взаимодействия.

Для описания состояний нуклона в ядре с гамильтонианом (3.9) используют четыре квантовых числа: главное квантовое число n = 1, 2, 3, …; орбитальное квантовое число l = 0, 1, 2, …

(или s, p, d, f, …); полный момент j = ± 1/2, (1/2, при l = 0); проекция полного момента mj = –j, –j + 1, j – 1, j. Каждому зна-

чению l соответствует 2 (2l + 1) протонов и такое же число нейтронов. Каждому значению j соответствует (2j + 1) протонов и такое же число нейтронов. При обозначении уровня

27

сначала ставят главное квантовое число, затем символ орбитального момента, который снабжают нижним индексом, указывающим значение полного момента. Проекцию полного момента не указывают, так как энергия вырождена по данному квантовому числу. Например, обозначение 1p3/2 означает уровень со значениями n = 1, l = 1, j = 3/2.

Энергетические уровни группируются в оболочки. При заполнении каждой оболочки возникает конфигурация, которая обладает наибольшей устойчивостью. Так, первая оболочка состоит из ядер, в которых нуклоны занимают одно

ито же состояние 1s1/2. Для данной оболочки последним ядром является ядро гелия 24He , содержащее два протона

идва нейтрона (здесь l = 0, j = 1/2, то есть в этом состоянии могут находиться два протона и два нейтрона).

Наибольшую устойчивость (большую энергию связи) имеют ядра, у которых полностью заполнена протонная или нейтронная оболочки (магические ядра). Число протонов или нейтронов в этих ядрах равно 2, 8, 20, 50, 82, 126 (последнее число характеризует число нейтронов) – магические числа. Еще большую устойчивость имеют ядра, у которых полностью заполнены протонная и нейтронная оболочки (дважды

магические ядра). У ядра гелия 24He полностью заполнены протонная и нейтронная оболочки. Данное ядро является дважды магическим.

Таким образом, модель ядерных оболочек позволяет объяснить в природе наличие особо устойчивых ядер.

Одной из следующих задач модели ядерных оболочек является объяснение спинов и четностей ядер. Для этого дополним модель допущением о феноменологическом спаривании. Феноменологическое спаривание состоит в том, что нуклоны одного вида стремятся объединиться внутри ядра в пары. Такая пара имеет нулевой суммарный момент и положительную четность. При четном числе нуклонов все нуклоны объединяются в пары, при нечетном числе имеется один неспаренный нуклон, который влияет на спин и четность ядра. Таким образом, все четно-четные ядра имеют характеристику 0+; ядра четно-нечетные имеют характеристику последнего неспаренного нуклона. Первое правило не имеет исключений, второе правило справедливо почти во

28

всех случаях. В случае нечетно-нечетных ядер имеются два неспаренных нуклона. Характеристики таких ядер в данной модели не могут быть однозначно определены.

Рассмотрим ядро изотопа лития 37Li . Это ядро имеет один неспаренный протон в состоянии 1p3/2. Следовательно, ядро имеет характеристику 3/2.

О данной модели ядерных оболочек в целом можно сказать следующее. Данная модель позволяет описывать многие свойства основного и слабовозбужденного состояний сферических ядер – магические числа, спины, магнитные моменты легких ядер и т.д. Однако модель ядерных оболочек абсолютно непригодна для описания несферических ядер. Она не описывает, в частности, квадрупольные электрические моменты и спины таких ядер.

3.6. Обобщенная модель ядра

Остановимся кратко на основных положениях, лежащих

воснове обобщенной модели. В обобщенной модели отказываются от двух предположений оболочечной модели:

1)сферическая симметрия потенциала;

2)отсутствие взаимодействия между нуклонами.

Вобобщенной модели учитываются коллективные и одночастичные степени свободы. В модели со слабой связью ядро считается состоящим из сферически симметричного четночетного остова и небольшого числа внешних нуклонов. При этом для описания остова используют коллективную модель, а для описания внешних нуклонов – одночастичную. В обобщенной модели со слабой связью взаимодействие между остовом и внешними нуклонами считается малым. При возбуждении ядра может возбуждаться как остов, так и внешние нуклоны. В остове возбуждаются колебания, показанные на рис. 3.1 (квадрупольные и октупольные).

При большом числе внешних нуклонов связь перестает быть слабой и следует использовать модель с сильной связью.

Вобобщенной модели с сильной связью коллективное движение нуклонов, находящихся вне заполненных оболочках, приводит к изменению формы ядра и его ориентации

впространстве. У такого ядра в данном случае возникают

29

вращательные уровни энергии. Колебательные уровни сохраняются, но их энергия понижается. Одночастичные уровни также присутствуют. Таким образом, система уровней несферического ядра определяется как одночастичным, так и коллективным (вращение + колебания) движением нуклонов.

При помощи обобщенной модели удается:

1)получить правильные значения спинов для некоторых несферических ядер;

2)объяснить вращательные уровни и колебательные спектры некоторых ядер;

3)объяснить большие значения квадрупольных моментов несферических ядер;

4)более точно рассчитать магнитные моменты ядер.

30