Ядерная физика и физика элементарных частиц. Часть 1. Учебное пособие

числа протонов и нейтронов). Атом электрически нейтрален и число Z для электрически нейтрального атома равно числу электронов в атомной оболочке. Для обозначения того или иного ядра используется следующая символика – Az X . Здесь X – химический символ, соответствующий элементу с зарядовым числом Z.

Ядра с одинаковым Z, но разными А, называются изотопами. У урана, например, имеются изотопы 23592U и 23892U , имеющие соответственно 143 и 146 нейтронов (число нейтронов определяется как N = A – Z). Изобары имеют одинаковое массовое число и различные зарядовые числа. В качестве примера можно привести пару изобар: 13H и 23He .

2.2. Энергия связи ядра

Энергией связи ядра называется энергия, которая необходима для полного расщепления ядра на составляющие его протоны и нейтроны. Энергия связи может быть выражена следующей формулой:

где с = 3 × 1010 см/с – скорость распространения света в вакууме, mn – масса нейтрона, mp – масса протона, Мяд – масса ядра. Перепишем данную формулу в виде:

Здесь M есть дефект массы ядра. Дефект массы ядра возникает по совершенно понятной причине: ядро является прочно связанной системой из протонов и нейтронов. При образовании ядра выделяется энергия, которая и представляет собой энергию связи ядра и приводит к появлению дефекта массы.

Энергия связи ядра, отнесенная к массовому числу A, называется удельной энергией связи.

Удельная энергия связи с ростом массового числа A сначала быстро возрастает от нуля при A = 1 до 8 МэВ, далее

11

медленно растет, достигая максимума порядка 8,8 МэВ при значениях A ≈ 60 (область железа и никеля), после чего медленно убывает до 7,6 МэВ. Такая зависимость удельной энергии связи от массового числа приводит к двум возможным энергетическим процессам:

1)деление тяжелых ядер на несколько более легких;

2)слияние (синтез) легких ядер в одно ядро.

Здесь и в дальнейшем мы используем единицу энергии электрон-вольт (эВ). Один электрон-вольт соответствует энергии, приобретаемой или теряемой частицей с единичным электрическим зарядом (электрон или протон) при прохождении ею разности потенциалов в 1 В.

1 эВ ≈ 1,6 × 10–19 Дж.

1МэВ = 106 эВ.

2.3.Ядерные силы и их свойства

1)Ядерные силы имеют характер притяжения. Это следует из положительного значения энергии связи ядра. Ядерные силы компенсируют кулоновское расталкивание между электрически заряженными протонами в ядре (интенсивность кулоновского взаимодействия много слабее интенсивности ядерного взаимодействия между протонами и нейтронами в ядре).

2)Ядерные силы обладают свойством насыщения. Это означает, что протон или нейтрон взаимодействуют не со всеми окружающими их протонами и нейтронами, а только

сограниченным их числом. Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи при увеличении размеров ядра не растет, а остается примерно постоянной.

3)Ядерные силы, действующие между протонами, прото ном и нейтроном и двумя нейтронами, по отношению к сильному взаимодействию идентичны. Это свойство ядерных сил называется зарядовой независимостью. По отношению к сильному взаимодействию протон и нейтрон ведут себя одинаковым образом. В связи с этим протоны и нейтроны получили общее название нуклонов. Следует заметить, что данное соглашение имеет место только при пренебрежении

12

электромагнитным взаимодействием, так как по отношению к нему протон и нейтрон ведут себя различным образом (протон электрически заряжен, нейтрон не имеет электрического заряда).

4) Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов и не являются центральными силами.

Другие свойства ядерных сил будут изложены в последующих главах.

2.4. Изотопический спин

Тождественность ядерных свойств нейтрона и протона описывается с помощью квантовомеханической характеристики – вектора изотопического спина Т , значение которого 1/2. Данный вектор определяется во вспомогательном (формальном) изотопическом пространстве ξ, η, ζ. Одна из проекций вектора T Tz = +1/2 описывает протон, другая проекция, равная –1/2, описывает нейтрон. Число проекций 2|Τx| + 1 = 2 равно числу нуклонов, которые обладают тождественными свойствами по отношению к ядерному взаимодействию (изотопический дублет нуклонов). Ядерное взаимодействие нуклона определяется только значением вектора Т , но не его проекцией (которая характеризует различие в электромагнитных свойствах). Из этого следует, что ядерное взаимодействие является инвариантным относительно вращения в изотопическом пространстве. Это свойство называют изотопической инвариантностью. Таким образом, в ядерных взаимодействиях выполняется закон сохранения изотопического спина.

Изоспины нескольких нуклонов складываются в полный изоспин системы по правилам сложения обычных спинов.

13

Основные состояния ядер обычно характеризуются минимальным значением T, которому соответствует наименьшая энергия.

Рассмотрим ядро 23He. Изотопический спин данного ядра равен T = 1/2. Число проекций данного вектора равно 2. Согласно общей теории, должно существовать еще одно ядро с тождественными свойствами по отношению к ядерному взаимодействию (сравните с дублетом протон-нейтрон). Таким ядром является ядро 13H . Данные ядра имеют одинаковый изотопический спин, но разные его проекции: Tz = +1/2 для ядра 23He и Tz = –1/2 для ядра 13H .

2.5. Радиус ядра

Первые представления о размерах атомных ядер были получены Резерфордом из анализа рассеяния α-частиц на ядрах вещества. В дальнейшем для определения размеров ядра использовались различные методы, например: метод рассеяния быстрых нейтронов на ядрах, рассеяние быстрых электронов на ядрах и другие. Данные исследования показали, что ядра имеют приблизительно сферическую форму, а их радиус может быть определен формулой:

Из формулы (2.6) следует, что объем ядер пропорционален числу нуклонов в ядре.

Данные по исследованию рассеяния быстрых электронов (Te > 500 МэВ) позволяют определять и распределение плотности электрического заряда по ядру. Данное распределение

ность заряда уменьшается в два раза, δ ≈ 0,55 фм – скорость

14

убывания плотности заряда с расстоянием от центра ядра. Как показывают эксперименты, для всех ядер R0 = 1,08 × × 10–13A1/3 (R0 – в см). Плотность заряда внутри ядра постоянна, а затем плавно убывает до нуля (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Распределение плотности электрического заряда по ядру.

2.6. Спин ядра

Протон и нейтрон обладают спином 1/2 (в единицах постоянной Планка) и относятся к числу фермионов (частицы с полуцелым спином). Проекция спина нуклона может принимать только два значения: +1/2 и –1/2. Полный момент нуклона представляет собой геометрическую сумму орбитального

испинового моментов. Спин ядра, в свою очередь, равен геометрической сумме полных моментов нуклонов, составляющих ядро. Сложение моментов происходит по квантовомеханическому правилу сложения моментов.

При этом имеют место следующие закономерности:

1.Ядра с четными значениями А имеют целый спин, с нечетными значениями А – полуцелый.

2.Спины всех четно-четных ядер (четное число протонов

ичетное число нуклонов) в основных состояниях равны нулю.

3.Спины всех известных стабильных ядер не превышают

9/2. Малые значения спинов ядер свидетельствуют о том, что полные моменты отдельных нуклонов в основном взаимно компенсируются (явление компенсации спинов). Компенса-

15

ция спинов начинает проявляться с ядра 13H , у которого спин равен 1/2. В данном случае спины двух нейтронов ориентированы противоположным образом и взаимно компенсируются.

Наличие у ядер спинов связывает их со статистикой, которой они подчиняются. Ядра с полуцелым спином принадлежат к классу фермионов. Они описываются статистикой Ферми–Дирака, на них распространяется принцип запрета Паули – в одном квантовомеханическом состоянии не может быть двух и более тождественных фермионов. Ядра с целым спином относятся к бозонам. Они подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, принцип Паули на них не распространяется – в одном состоянии может быть сколь угодно много тождественных бозонов.

2.7. Четность

Понятие четности тесным образом связано с операцией пространственной инверсии, при которой радиус вектор частицы меняет свой знак, то есть

r → r '= −r .

Рассмотрим систему из N частиц. Состояние такой системы в квантовой механике описывается волновой функцией Ψ(r1, r2, , rN ) , зависящей от координат частиц. Состояние называется четным, если волновая функция не меняется при изменении знаков координат всех частиц системы (операции пространственной инверсии). Если при данной операции волновая функция системы меняет знак, то состояние называется нечетным.

Каждой частице с ненулевой массой приписывается внутренняя четность h0, которая равна +1 или –1. В первом случае частицы называются четными, во втором – нечетными. Четность частицы hпредставляется в виде произведения внутренней четности и орбитальной четности hl:

Орбитальная четность равна (–1)l, где l – орбитальный момент частицы.

16

Для полной четности системы из N невзаимодействующих частиц имеем:

Важность введения понятия четности состоит в следующем.

1)Четность системы и энергия могут быть совместно измерены.

2)Четность сохраняется во времени. Это означает, что физическая система, обладающая зеркальной симметрией в начальном состоянии, сохраняет эту симметрию во все последующие моменты времени. Данный закон справедлив для электромагнитного и сильного

взаимодействий, но нарушается в процессах, обусловленных слабым взаимодействием.

Протоны, нейтроны и электроны имеют внутреннюю четность +1. Состояние нуклона будет четным или нечетным в зависимости от того, описывается его движение с четным или нечетным значением l. Основные состояния четно-четных ядер имеют положительную четность. Основные состояния других ядер могут быть как четными, так и нечетными. Четность ядер в возбужденных состояниях может не совпадать с четностью основного состояния. Эта закономерность объясняется на основе оболочечной модели ядра. На схемах ядерных уровней указывают спин ядра (указывается числом) и четность (знаки «+» и «–»). Так, «2+» означает четный уровень со спином два.

2.8. Электромагнитные моменты ядер

Рассмотрим систему заряженных частиц в электрическом поле E (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Система заряженных частиц в электрическом поле.

17

Размеры системы будем считать достаточно малыми – так, что при этом электрическое поле предполагается квазиоднородным: размеры системы частиц много меньше характерного расстояния, на котором поле меняется существенным образом. В нулевом приближении энергия взаимодействия системы с внешним электрическим полем

a=1

где ϕ(0) – потенциал поля в точке начала координат. Формула (2.11) показывает, что энергия в нулевом приближении совпадает с энергией одной частицы, которая расположена в точке начала координат и имеет заряд равный заряду системы частиц. Величина q – электрический заряд системы – называется электрическим моментом нулевого порядка. Если система электрически нейтральна, то ее электрический момент нулевого порядка равен нулю, и необходимо использовать следующую поправку к энергии:

a=1

Здесь величина d есть дипольный момент системы. Всякое ядро имеет электрический момент нулевого по-

рядка – электрический заряд Ze.

Дипольный момент ядер в основном состоянии равен нулю. Данный результат следует из того, что, согласно закону сохранения четности, распределение протонов и нейтронов по объему ядра должно быть равномерным, то есть должен отсутствовать сдвиг всех протонов относительно всех нейтронов. В случае наличия такого сдвига ядро являлось бы несимметричным относительно операции зеркального отражения. Отсутствие данного сдвига означает отсутствие дипольного момента. Основное состояние ядра является невырожденным. Данные рассуждения об отсутствии дипольного момента ядра в основном состоянии справедливы и для возбужденных невырожденных состояний.

Электрический дипольный момент у ядра может возникнуть под действием внешнего электрического поля. В этом случае центр распределения всех протонов (положительного заряда) сдвинут относительно центра распределения всех

18

нейтронов (нулевого заряда) и система ориентируется по направлению поля, то есть обладает свойством диполя.

Следующей величиной, которая определяет взаимодействие ядра с внешним электрическим полем, является квадрупольный момент. При этом различают внешний (наблюдаемый) и внутренний (собственный) квадрупольные моменты.

Наблюдаемый квадрупольный момент определяется относительно оси z, которая совпадает с выделенным направлением в пространстве:

Внутренний квадрупольный момент определяется в системе центра инерции ядра:

Здесь r(ξ, η, ζ) – расстояние от центра инерции ядра; ζ – проекция r на ось ζ. Для ядер, обладающих сферическисимметричным распределением заряда, Q0 = 0. Величина Q0 положительна для распределения заряда, вытянутого вдоль оси ζ, и отрицательна для распределения заряда, сплюснутого вдоль данной оси.

Если внутренний квадрупольный момент равен нулю, то равен нулю и внешний квадрупольный момент. Внешний квадрупольный момент равен нулю, если спин ядра равен нулю или 1/2, даже при отличном от нуля внутреннем моменте.

Система заряженных частиц обладает дипольным магнитным моментом

Поскольку магнитные заряды в природе не обнаружены, магнитный момент нулевого порядка равен нулю.

Магнитный момент ядра представляет сумму магнитных моментов составляющих его нуклонов. При этом учитываются магнитные моменты протонов, связанные с их орбитальным движением (2.15), и собственные магнитные моменты протонов, нейтронов.

Собственный магнитный момент микрочастицы либо параллелен направлению спина, либо антипараллелен и может быть представлен в виде

19

тон. Средний магнитный момент ядра направлен по спину

ядра или против него, и для магнитного момента ядра мож-

где J – спин ядра. Обычно под магнитным моментом ядра понимают максимальное значение его проекции:

Магнитные моменты ядер подчиняются следующим эмпирическим закономерностям.

1. Магнитные моменты ядер с нулевым спином равны нулю.

2. Магнитные моменты ядер с отличным от нуля спином имеют порядок одного ядерного магнетона, g-факторы ядер лежат в пределах от –4 до +6. Это показывает, что магнитные моменты нуклонов в ядре в основном компенсируют друг друга.

3. Магнитные моменты нуклонов не подчиняются свойству аддитивности. Так, например, магнитный момент ядра 12H не равен сумме магнитных моментов протона и нейтрона. Расхождение составляет около 2% и обусловлено орбитальным движением нуклонов.

3.ЯДЕРНЫЕ МОДЕЛИ

3.1.Классификация ядерных моделей

При построении теории атомного ядра возникает целый ряд трудностей, которые препятствуют созданию последовательной теории атомного ядра:

1.В настоящее время недостаточно хорошо изучены силы взаимодействия между нуклонами в ядре. Количественная теория ядерных сил к настоящему времени не построена.

2.Ядро содержит достаточно большое число частиц. Это число частиц велико, чтобы к их описанию можно было бы

20