Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

746 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пример 1. При массовом производстве шестерен вероятность изготовления годной шестерни равна 0,9975. Найти вероятность того, что из 800 наугад взятых шестерен более двух будут бракованными.

Решение. По условию n 800, q 0,9975, тогда p 0,0025 0,1.

Так как	n велико, то применим распределение Пуассона, где
np 2 10.

Пусть A – событие, состоящее в том, что не более двух шестерен окажутся бракованными (или 0, или 1, или 2).

Применяя формулу Пуассона и теорему сложения вероятностей для несовместных событий, найдем

P(A) P	(0) P	(1) P	(2)	20 e 2		21e 2		22 e 2	0,68.

800	800	800	0!		1!		2!

Следовательно, P(A) 1 P(A) 0,32.

Пример 2. Завод отправил на базу 500 качественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Составить закон распределения случайной величины X , равной числу поврежденных изделий, и найти вероятности следующих событий:

A – повреждено менее 3 изделий;

B– повреждено более 2 изделий;

C– повреждено хотя бы одно изделие.

Решение. Возможные значения X : 0, 1, 2, ..., 500; так как n 500 велико, а

p 0,002 мало,		то, учитывая, что						500 0,002 1,						вычислим					вероятности
P (k) P(X k)		приближенно по формуле Пуассона:P												k	e				1	.
P (k) P(X k)		приближенно по формуле Пуассона:P												k	e					.
n													k	k !				k !e
														k !				k !e
Закон распределения случайной величины X имеет вид:

	X			0		1		2		3				…	500
	p			1		1		1		1				…	1
	p
	i				е		е		2е			6е					500!е
					е		е		2е			6е					500!е
или

	X		0			1		2			3			…		500
	p		0,368			0,368		0,184			0,061			…		0,000
	i		0,368			0,368		0,184			0,061			…		0,000

Используя полученную таблицу, найдем вероятности событий A , B и C :

P(A) P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2)0,368 0,368 0,184 0,92;

P(B) P(X 2) 1 P(X 2) 1 (P(X 0) P(X 1) P(X 2))1 0,92 0,08;

P(C) P(X 1) 1 P(X 1) 1 P(X 0) 1 0,368 0,632.

Задача для решения в аудитории

Пивной завод отправил в магазин 400 ящиков пива. Вероятность того, что ящик будет разбит при транспортировке в данных условиях, равна 0,005. По приезде в магазин экспедитор, перевозивший груз, заявил, что семь ящиков с пивом были разбиты при транспортировке. Размышляя, можно ли доверять экспедитору, директор магазина хочет найти вероятность разбить семь ящиков, вероятность разбить не менее семи ящиков, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества ящиков, разбитых при транспортировке, чтобы оценить возможность потерь, заявленных экспедитором. Найти указанные величины.

5.3. Геометрическое распределение

Пусть проводится ряд независимых испытаний («попыток») для достижения некоторого результата (события А), и при каждой попытке событие А может появиться с вероятностью p . Тогда число попыток Х до

появления события А, включая удавшуюся попытку, – дискретная случайная величина, возможные значения которой 1, 2, …, m , … . Их вероятности по теореме умножения вероятностей для независимых событий равны

P X m pqm 1 , где m 1, 2, , 0 p 1, q 1 p .

Вероятности Pm P X m образуют для ряда последовательных значений m бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым

членом p и знаменателем				q (поэтому распределение называется
геометрическим).
Закон распределения величины X имеет вид

	X	1	2	3	….	m	…
	P	p	pq	pq2	….	pqm 1	…

Числовые характеристики геометрического распределения:

M X 1p , D X pq2 , (X ) pq .

Пример 1. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая занимает время t и заканчивается успешно независимо от других с вероятностью p . Построить закон распределения общего времени T , которое

потребуется для включения двигателя, найти его математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Число попыток X – дискретная случайная величина с возможными значениями 1, 2, , m, . Поэтому общее время T tX – тоже

случайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, и ее закон распределения будет иметь вид:

T	t	2t	3t	…	mt	…
P	p	pq	pq2	…	pqm 1	…
			52

По свойствам математического ожидания и дисперсии

M (T ) M (t X ) t M (X )	t	, D(T ) D(t X ) t2 D(X ) t2q .
	p
		p2

Пример 2. Имеется n лампочек; каждая из них с вероятностью q 0,1

имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется новой. Составить закон распределения числа лампочек X , которое будет испробовано, и найти вероятность того, что свет появится при третьем включении.

Решение. По условию p 0,9; q 0,1, m 3.

Закон распределения величины X будет иметь вид:

X	1	2	3	…	m	…	n
p	0,9	0,9 0,1	0,9 (0,1)2	…	0,9 (0,1)m 1	…	0,9 (0,1)n 1

Найдем вероятность того, что свет появится при третьем включении:

P x 3 pq2 0,9 0,12 0,009.

Пример 3. Определить математическое ожидание случайной величины X – числа бросков монеты до первого появления герба.

Решение. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Закон ее распределения имеет вид:

												X			1					2			…			n		…
												p		0,5			(0,5)2						…		(0,5)n			…
							п		1				1 2			1		3						1 п					1		1		1
М(Х)											2				3							... п			...
М(Х)							2	п	2		2				3							... п			...				2	п	2		2	п
	1			п 1			2		2				2			2								2			п 1		2		2	п 1	2
	1			1								1		1			1
						...			1	1						...					...		1 2		2	(при			вычислении дважды
	2	п		2	п	...			1	1		2		4		...	2		п		...		1 2		2	(при			вычислении дважды
	2		п 1	2								2		4			2

использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: S 1b1q , откуда

12 14 ... 21n ... 1, 1 12 14 ... 21n ... 2).

Задачи для решения в аудитории

1.В среднем левши составляют 1% всего населения. Сколько в среднем нужно опросить людей, чтобы выявить среди них десятерых левшей?

2.Среди выпускаемых заводом автомобилей 80% не укомплектованных. Составить закон распределения числа укомплектованных автомобилей. Определить, сколько автомобилей должен в среднем осмотреть покупатель, чтобы выбрать укомплектованный автомобиль.

5.4. Закон равномерного распределения вероятностей

Часто на практике рассматриваются случайные величины, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. Примерами таких законов распределения для дискретных случайных величин являются биномиальный закон и закон Пуассона.

Для непрерывных случайных величин тоже существуют стандартные распределения.

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f (x) const при a x b , f (x) 0 при x a и x b ).

Непрерывная случайная величина X подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения X , плотность вероятности задается функцией:

	0,		если	x a,
	1
	1
f (x)		,	если a		x b,			(36)
f (x)		,	если a		x b,			(36)
b a			если	x b,
	0,		если	x b,
					0,		если	x a,
					0,		если	x a,

				x a
а функция распределения F(x) имеет вид: F(x)						,	если	a x b,
а функция распределения F(x) имеет вид: F(x)						,	если	a x b,
				b a			если	x b.
					1,		если	x b.

Графики плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины X (см. рис. 13) и ее функции распределения F(x) (см. рис. 14):

f (x)

b a

F(x)

Рис. 13

Рис. 14

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожидание

M (X ) и половину ширины l b 2a области возможных значений случайной величины.

Математическое ожидание: M (X ) a 2b .

Дисперсия: D(X ) (b a)2 l2 . 12 3

Среднее квадратичное отклонение: (X )

b a

Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной

a b

величины:

M (X ) x

d x

то

есть

b a

b a 2

2(b a)

математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b].

Дисперсия:

a b 2

b3 a3

(a b)2

D(X ) x

d x M

(X )

b a

3(b a)

(b a)(b2 ab a2) a2 2ab b2

4b2 4ab 4a2 3a2 6ab 3b2

3(b a)

b2 2ba a2	(b a)2 .
12	12
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной
величины на интервал	, , принадлежащий a,b , равна
		f (x)dx .
	P( X )	f (x)dx .	(37)
		b a

Пример 1. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Найти среднее значение времени T ожидания поезда, его дисперсию и вероятность того, что пассажир уедет через полминуты.

Решение. Пусть T – случайная непрерывная величина, характеризующая время ожидания поезда пассажиром и равномерно распределенная в интервале (0, 2). Следовательно,

M (T )	b a		2 0	1 (мин), D(T )	(b a)2	(2 0)2	1	(мин).
					12	12	3
2		2
По условию 0, 0,5, тогда по формуле (37)
P(0 X 0,5)		0,5 0 0,25.
		2 0

Пример 2. Мастер, осуществляющий сборку мебели у клиента на дому, может появиться в любое время с 12 до 20 часов. Клиент, подождав до 17 часов, отлучается на 1 час. Какова вероятность того, что мастер (приход его обязателен) не застанет хозяина дома? Найти среднее время прихода мастера и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Пусть X – случайная равномерно распределенная непрерывная величина – время прихода мастера.

По условию a 17, b 20, так как до 17 часов мастер не пришел, но придет обязательно с 17 до 20 часов. Тогда 17, 17 1 18, потому что мастер не застанет хозяина дома.

Вероятность того, что мастер не застанет хозяина дома (формула (37)):

P(17 X 18)	18 17		1.
	20 17		3

Среднее время прихода мастера – это математическое ожидание:

M (X ) 12 20 16 часов. 2

Среднее квадратичное отклонение: (X )	20 12		4	3	2,3.
	2	3		3

Задачи для решения в аудитории

1.Все значения равномерно распределенной случайной величины расположены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а такжевероятность ее попадания на отрезок [6; 9].

2.При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна 0,1 г, а показания весов округляются при взвешивании до ближайшего деления их шкалы, причем округления на любые значения от (– 0,05) до 0,05 равновероятны. Оценить возможность возникновения ошибки более чем на 0,03 г. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение потерь.

3.Автобусы идут с интервалом 5 мин. Предполагая, что время X ожидания автобуса на остановке имеет равномерное распределение, найти: а) функцию распределения; б) плотность вероятности; в) вероятность того, что время ожидания не превзойдет 2 мин. Построить графики плотности вероятности и функции распределения.

5.5.Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательное распределение широко применяется в теории надежности,

втеории массового обслуживания.

Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону

распределения, если ее плотность вероятностей имеет вид:
	0	при x 0,	,	(38)
f (x)			,	(38)
e x при x 0

где 0, const – параметр показательного распределения.
Интегральная функция распределения показательного закона:
	0	при x	0,	(39)
F(x)	e x при x		0	(39)
1	e x при x		0

Графики f (x) и F(x) показаны на рисунках 15 и 16:

f (x)	F(x)
	F(x)
	1

O	x	O	x
Рис. 15			Рис. 16

Показательный закон определяется только одним параметром . В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.

Вероятность попадания в конечный интервал (a,b) случайной

величины, распределенной по показательному закону, равна:

P(a X b) F(b) F(a) e a e b .

Числовые характеристики показательного распределения:

M (X )	1	,	D(X )	1	, (X )	D(X )	1	.
				2

Математическое ожидание равно среднему квадратичному отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

Пусть T

– время безотказной работы элемента (непрерывная случайная

величина), а t

– время, по прошествии которого происходит отказ.

Функция распределения F(t) P(T t)

определяет вероятность отказа за

время

t . Поэтому

вероятность

противоположного

события T t , то

есть

вероятность безотказной работы за время t будет равна:

R(t) 1 F(t) 1 P(T t).

Функцию R(t) называют функцией надежности.

Показательный закон надежности

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное

распределение, то есть F(t) 1 e t .

Следовательно,

функция

надежности

в этом случае имеет

вид:

1 F

e t

e t .

Показательным законом надежности называют функцию надежности,

определяемую равенством R t e t

, где – интенсивность отказов.

Пример

Испытываются

два независимо

работающих элемента.

Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет

показательное распределение	F (t) 1 e 0,02t , а второго –	F (t) 1 e 0,05t .
	1	2

Найти вероятность того, что за время t 6 часам: а) откажут оба элемента, б) оба элемента будут работать, в) откажет только один элемент.

Решение. Вероятность отказа первого элемента за 6 часов равна:

q1 F1(6) 1 e 0,02 6 1 e 0,12 0,113.

Вероятность отказа второго элемента за то же время равна:

q2 F2 (6) 1 e 0,05 6 1 e 0,3 0,259.

а) Вероятность отказа двух элементов по теореме умножения вероятностей равна: q1q2 0,113 0,259 0,029.

б) Вероятности безотказной работы каждого элемента:

p1 1 q1 1 F1(6) 1 0,113 0,887, p2 1 q2 1 F2(6) 1 0,259 0,741.

Вероятность того, что оба элемента будут работать: p1p2 0,887 0,741 0,657.

в) Вероятность отказа только одного элемента: p1q2 p2q1 0,887 0,259 0,741 0,113 0,313.

Пример 2. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения f (t) 0,1 e 0,1t при

величине t 0. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.

Решение. Так как параметр 0,1, то искомую вероятность найдем с помощью функции надежности: R(10) e 0,110 e 1 0,368.

Задачи для решения в аудитории

1.Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр 5. Построить их графики.

2.Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение показательного

закона, заданного функцией распределения F(x) 1 e 0,4x при значениях x 0.

3. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается на время t . Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что за время t откажут: 1) 3 элемента; 2) не менее четырех элементов; 3) не более четырех элементов.

5.6. Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятности:

f (x)	1		(x a)2
			2	2	,	(40)
		e
	2

где a и – параметры, вероятностный смысл которых таков:

a M (X )

– математическое ожидание; D(X ) – среднее

квадратичное отклонение.

График плотности вероятности нормального распределения называется

нормальной кривой (кривой Гаусса).

График плотности вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид (см. рис. 17):

f (x)

Рис. 17

Свойства функции f (x)

1)Область определения функции: ( ; ).

2)f (x) 0 при любом значении x (весь график расположен выше оси Ox ).

3)	lim	f (x) 0,		то есть ось Ox			служит горизонтальной асимптотой графика
	\|x\|
при значениях x .								(x a)2
4)	Производная			f (x)	x a		e	(x a)2	0	при величине x a .
					x a			2 2
								2 2
			f (x) 0		3	2			и	f (x) 0 при величине	x a , то
Так	как		f (x) 0	при величине			x a		и	f (x) 0 при величине	x a , то
	1
a;			– точка максимума.
a;			– точка максимума.
	2

5)График симметричен относительно прямой линии x a .

		f (x)		1		(x a)2		(x a)2		0
						2
6) Вторая	производная				e	2	1				при
			3	2					2

		1
величинах	x a . Точки a ;		являются точками перегиба.

		2 e

Замечание. Для вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной нормально, применяется не берущийся

						z2
интеграл Пуассона				e			dz		2 .
интеграл Пуассона				e		2	dz		2 .
								(x a)2
		1						(x a)2				x a		1			z2
M (X )					xe				dx (z				)		( z a)e			dz
								2 2
																	2
		2															2
		2												2
	1		z2					a		z2			a
		ze			dz				e		dz 0			2 a		(первое слагаемое
			2							2
			2					2		2			2
	2							2					2

равно нулю, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

	1		2		(x a)2
						2
D(X )		(x a)		e	2

	2

		2		z2		z2
dx			z ze		dz (u z,dv ze		)
				2		2
				2		2
	2
59

	2			z	2			z	2	2	0	2
					2				2
													2
													2
		z e	2				e	2 dz						.
		z e	2				e	2 dz		2				.
	2									2

Следовательно,						параметры нормального распределения (a и ) равны

соответственно математическому ожиданию и среднему квадратичному отклонению исследуемой случайной величины.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной
величины в интервал		, определяется по формуле:				a
					a	a		(41)
				P( X )			,	(41)

	1	x	z 2
где (x)		e		d z – интегральная функция Лапласа.
			2
	2		2
	2	0
Для значений функции Лапласа составлена таблица, при пользовании
которой нужно учесть, что она нечетная: ( x) (x).

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно среднего значения a , вычисляется по

формуле:

P a

X a

X a 2

, где 0.

(42)

В частности, при величине 3 получим:

X a

0,9973.

Поэтому

вероятность

3 2

2 (3)

X a

3 ) 0,0027.

противоположного

события:

Такой

малой

вероятностью можно пренебречь.

На этом и базируется важное для приложений правило «трех сигм»: если случайная величина распределена по нормальному закону, то с вероятностью, близкой к единице (достоверное событие), можно считать, что практически все рассеивание укладывается на интервале (a 3 , a 3 ) от центра

распределения случайной величины, то есть можно пренебречь вероятностью попадания случайной величины вне интервала (a 3 , a 3 ).

Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»:

если случайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от значения x a не превосходит 3 .

Пример 1. На станке изготовляется партия однотипных деталей. Длина детали X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 18 cм, 0,2 см. 1) Найти вероятность того, что длина

наудачу взятой детали заключена между 17,7 см и 18,4 см. 2) Какое отклонение длины детали от номинального размера можно гарантировать с вероятностью 0,95? 3) В каких пределах будут заключены практически все длины деталей?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]