Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

Решение. Будем считать гипотезами H1, H2, и H3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы

Задачи для решения в аудитории

1.В магазин поставляются электролампы производства трех заводов, причем доля в поставках первого завода – 30 , второго – 50 , третьего – 20 . Брак в их продукции составляет соответственно 5 , 3 и 2 . Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной?

2.В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют 40, 10, 30 и 20 % исходящих документов. Вероятности неверной адресации документов секретаршами равны 0,01; 0,04; 0,06; 0,01 соответственно. Найти вероятность того, что документ был адресован правильно.

3.В колоде четыре карты: туз, король, дама, валет. Одну из карт наугад заменяют еще одним королем. Карты перетасовывают и вынимают одну из них наугад. Какова вероятность того, что это будет король?

6. Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие A . Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть P(H3 / A) 0. Для переоценки вероятностей гипотез при

Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие A – одно попадание в мишень при двух выстрелах, а гипотезы: H1 – первый попал в мишень, а второй промахнулся;

H2 – первый промахнулся, а второй попал в мишень; H3 – оба попали; H4 – оба промахнулись.

21

Применяя формулу Байеса, получим: Р(Н1 / А) 0,18 1 9 0,391. 0,46 23

Задачи для решения в аудитории

1.В студенческом стройотряде 2 бригады первокурсников и одна – второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юноши и 4 девушки. По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город. Выбранный человек оказался юношей. Какова вероятность, что он первокурсник?

2.С первого станка-автомата на сборку поступают 40 %, со второго – 30 %, с третьего – 20 %, с четвертого – 10 % деталей. Среди деталей, выпущенных первым станком, 2 % бракованных, вторым – 1 %, третьим – 0,5 % и четвертым – 0,2 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку не бракованная деталь выпущена четвертым станком.

3.Путешественник может купить билет в одной из трех касс автовокзала.

Вероятность того, что он подойдет к первой кассе, равна 12 , ко второй кассе –

13, к третьей кассе – 16. Вероятность того, что в первой кассе уже нет билетов,

равна 15, во второй кассе – 17 , в третьей кассе – 18 . Путешественник обратился

в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что он направился к первой кассе.

7. Повторение независимых испытаний

По формуле Бернулли рассчитывается вероятность появления события A k раз в n повторных независимых испытаниях, где p – вероятность появления

события A в одном испытании, q – вероятность появления события A в одном испытании.

22

Число k появления события A в n повторных независимых испытаниях называется частотой.

Пример 1. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность

Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

ситуации можно пренебречь возвращением извлеченного шара после каждой выборки (при не слишком больших значениях k ) и считать вероятности всех частот: k 0, 1, 2, по формуле Бернулли.

Замечание. Вероятность того, что событие A в n независимых испытаниях наступит: а) менее k раз; б) не менее k раз; в) более k раз; г) не более k раз, находят, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий по формулам:

а) Pn ( k) Pn (0) Pn (1) ... Pn (k 1), б) Pn ( k) Pn (k) Pn (k 1) ... Pn (n), в) Pn ( k) P(k 1) P(k 2) ... Pn (n), г) P( k) Pn (0) Pn (1) ... Pn (k).

Пример 2. Каждый день акции корпорации поднимаются или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,65 и 0,35. Найти вероятность того, что акции по прошествии шести дней вернутся к своей первоначальной цене (принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события).

Решение. Для того чтобы акции вернулись по прошествии 6 дней к своей первоначальной цене, необходимо, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по

формуле Бернулли P6(3) 3!6!3! 0,65 3 0,35 3 0,23549.

вероятность Pn (1 m n) того, что в n опытах успех наступит хотя бы один

раз, равна: Pn (1 m n) 1 qn .

Пример 3. Монета брошена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. По условию n 10, p q 0,5.

а) По формуле (17) при значениях m1 4 и m2 6 получим:

Pn (4 m 6) P10(4) P10(5) P10(6) 1024210 1024252 1024210 3221.

б) По формуле Pn (1 m n) 1 qn : P10(1 m 10) 1 0,510 0,9990235.

7.2. Наивероятнейшее число наступления события

Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты k (0 k n).

Частота, имеющая наибольшую вероятность, называется наивероятнейшей частотой или наивероятнейшим числом наступления события в серии n независимых испытаний, имеет обозначение :

(18)

Если np q – целое число (тогда и np p – целое число), то две частоты:np q и np p обладают наибольшей вероятностью.

Пример 4. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 7 выстрелах, и соответствующую этому числу вероятность, если вероятность

Задачи для решения в аудитории

1.Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

2.Капитан корабля перед высадкой десанта приказал выпустить по береговой полосе длиной 200 метров 20 реактивных снарядов, опасаясь замаскированных огневых точек. Вдоль берега в землю был врыт бункер длиной 20 метров.

а) Найти вероятность того, что 4 снаряда попали в бункер.

б) Найти наивероятнейшее число снарядов, попавших в бункер, и соответствующую этому числу вероятность.

24

3.Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений пяти очков было равно 18.

4.Гандболист забрасывает мяч в ворота в среднем в восьми случаях из десяти. Найти наивероятнейшее число заброшенных в ворота мячей, если сделано 9 бросков.

7.3. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Теорема. Если в серии n независимых испытаний вероятность наступления события постоянна и 0 p 1, то вероятность того, что событие

наступит ровно k раз, вычисляется по формуле:

Формула асимптотическая (приближенная).

Вычисления по этой формуле затруднены. Поэтому составлены специальные таблицы (приложение 1) для вычисления локальной функции

Свойства функции (x)

1.D x R .

2.Функция четная, то есть x x .

4. График функции (x) – кривая Гаусса (см. рис. 5).

(x)

1

2

Рис. 5

5.При значении x ; функция (x) 0.

6.При значении x 3,99 считается, что (x) 0. На практике применяют локальную теорему в виде:

Пример 1. Вероятность того, что покупатель приобретет товар, равна 0,4. Найти вероятность того, что из 20 покупателей 12 человек приобретут товар.

Решение. По условию p 0,4, q 0,6, n 20, k 12.

Применим локальную формулу Лапласа (20). Найдем величину x .

Пример 2. С вероятностью 0,2731 определить сколько раз придется переключить передачу на трассе длиной 256 км, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25.

Решение. Число испытаний n соответствует длине трассы в километрах, то есть n 256. Так как n велико, то применим локальную теорему Лапласа.

По условию p 0,25, q 0,75, P256(k) 0,1731.

Задачи для решения в аудитории

1.В поезде едет 196 пассажиров. Вероятность того, что пассажир сойдет на полустанке, равна 0,2. Найти вероятность того, что 40 пассажиров сойдет на полустанке.

2.Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) 400 семян; в) 450 семян.

7.4.Формула Пуассона

Впрактических задачах часто приходится вычислять вероятности

различных событий, связанных с числом исходов в n независимых испытаниях: п . В этих случаях вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится

k . Тогда применяют приближенную формулу.n

26

Пример 2. Некоторый развлекательный комплекс предоставляет большой выбор услуг. Вечером в течение 15 минут в комплекс проходит в среднем 30 посетителей. Какова вероятность того, что в комплекс:

1)в течение 5 минут не зайдет ни один посетитель;

2)в течение 3 минут пройдет 12 посетителей.

Решение. Общее число n посетителей не известно, но по условию задана интенсивность посещений, то есть 1 30 в течение 15 минут.

1) Найдем 1 t , где значение 5 минут 13 15 минут, то есть t 13.

Задачи для решения в аудитории

1.Завод отправил на базу 2000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия при транспортировке равна 0,0002. Найти вероятность того, что среди 2000 изделий при транспортировке будет повреждено: а) ровно пять изделий; б) ровно одно изделие; в) не более трех изделий; г) более трех изделий.

2.В архиве на определенный пакет документов поступает в среднем 6 заявок в год. Найти вероятность того, что за 10 месяцев на данный пакет документов поступит не менее четырех заявок.

7.5. Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Если в серии n независимых испытаний вероятность наступления события в каждом отдельном испытании постоянна и 0 p 1, то

вероятность того, что событие наступит от a до b раз вычисляется по формуле

функция Лапласа.

28

Свойства функции (x)

1.(0) 0.

2.0 (x) 0,5.

3.Функция (x) неотрицательная и возрастающая.

4.Функция (x) – нечетная, то есть ( x) (x).

5.При значениях x 5 считается (x) 0,5 (см. рис. 6).

(x)

0,5

Замечание. Формулами Лапласа (20) и (23) на практике пользуются в случае, если npq 10. Если же npq 10, то эти формулы приводят к довольно

большим погрешностям.

Пример 1. В процессе сборки некоторая деталь с вероятностью p 0,2

может быть повреждена и потребует замены. Какова вероятность того, что в результате 400 сборочных операций количество поврежденных деталей будет заключено в пределах от 70 до 100 штук?

Решение. По условию p 0,2, q 0,8, n 400, a 70, b 100.

что событие A появится: а) не менее 115 раз и не более 137 раз; б) не менее 140 раз; в) не более 128 раз.

Решение. Так как общее число испытаний n велико и заданы интервалы изменения величины k , то применим интегральную теорему Лапласа.

По условию n 200, p 0,65, q 0,35. a) a 115, b 137.

29

Применяя таблицу приложения 2, найдем искомую вероятность:

P200(115 k 137) (1,04) ( 2,22) (1,04) (2,22)

0,3508 0,4868 0,8376.

б) В рассматриваемом случае следует принять a 140, b n 200.

Задачи для решения в аудитории

1.Вероятность того, что покупателю требуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что среди 100 покупателей потребуют обувь 41-го размера: а) от 10 до 30 человек; б) не более 30 человек; в) не менее 35 человек.

2.Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,15. Найдите вероятность того, что за время t из 80 независимо работающих конденсаторов будут работать: а) не менее 60 конденсаторов; б) менее 68 конденсаторов; в) от 54 до 72 конденсаторов.

7.6.Вероятность отклонения частости от постоянной вероятности

в серии n независимых испытаний

Если в серии n независимых испытаний вероятность наступления событий постоянна и 0 p 1, то вероятность того, что частость отклонения от

постоянной вероятности по абсолютной величине не больше, чем на величину, вычисляется по формуле:

Пример 1. Вероятность того, что элемент некоторого прибора выйдет из строя, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 10000 элементов доля тех, что выйдут из строя, отклонится от постоянной вероятности не более чем на 0,005.

30