Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

Пример 2. Кандидат в депутаты краевой думы считает, что 15% избирателей поддерживают его избирательную платформу. Определить вероятность того, что из случайно выбранных 86 избирателей, предполагаемая доля избирателей, поддерживающих этого кандидата, будет отличаться от истинной доли более чем на 0,04.

Решение. По условию p 0,15, q 0,85, n 86, 0,04.

P86 86k 0,15 0,04 1 P86 86k 0,15 0,04 1 2 (1,04)1 2 0,3508 0,2984.

Задачи для решения в аудитории

1.Опыт состоит в бросании игральной кости 600 раз. Оцените вероятность того, что частота выпадения шестерки в данном опыте отклонится от вероятности выпадения шестерки в одном бросании менее чем на 0,02.

2.Вероятность наступления некоторого события при одном испытании равна p 0,4. Найдите вероятность того, что при 1000 испытаниях

частота наступления этого события отклонится от вероятности p 0,4 не более чем на 0,05.

31

ГЛАВА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.Дискретная случайная величина и закон ее распределения

Вдальнейшем для краткости будем называть величину pi вероятностью

значения xi случайной величины. Отметим, что закон распределения содержит

всю информацию о случайной величине, и задать случайную величину можно, просто представив ее закон распределения.

Говорят, что задана дискретная случайная величина X , если указано конечное или счетное множество чисел x1, x2, , xn и каждому из этих чисел

xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi , причем

p1 p2 , pn 1.

Числа x1, x2, , xn называются возможными значениями случайной

называется законом распределения дискретной случайной величиныX (или рядом распределения).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi ; pi ) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся

при этом ломаная линия называется многоугольником (полигоном)

распределения случайной величины X .

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что X может принимать три значения: 0, 1 и 2 попадания.

По условию p1 0,6, p2 0,7, q1 0,4, q2 0,3.

P(0) q1 q2 0,4 0,3 0,12,

P(1) p1 q2 q1 p2 0,6 0,3 0,4 0,7 0,46, P(2) p1 p2 0,6 0,7 0,42.

Следовательно, закон распределения имеет вид:

Проверим правильность составления закона: 0,12+0,46+0,42=1 – верно. Пример 2. По мишени производится 4 независимых выстрела с

вероятностью попадания при каждом выстреле p 0,8. Требуется: а) составить

закон распределения дискретной случайной величины X , равной числу попаданий в мишень; б) найти вероятности событий: 1 X 3, X 3; в) построить многоугольник распределения.

32

Решение. а) Возможные значения случайной величины X : k 0; 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли (16): p0 P(X 0) C40 0,80 0,24 0,0016,

p1 P(X 1) C41 0,81 0,23 0,0256, p2 P(X 2) C42 0,82 0,22 0,1536, p3 P(X 3) C43 0,83 0,21 0,4096, p4 P(X 4) C44 0,84 0,20 0,4096.

Закон распределения величины X представляется таблицей:

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

б) Вероятности событий 1 X 3, X 3 равны:

P(1 X 3) p1 p2 p3 0,0256 0,1536 0,4096 0,5888, P(X 3) p4 0,4096.

в) Построим многоугольник распределения (полигон) (см. рис. 7):

pi

0,4096

Рис. 7

Задачи для решения в аудитории

1.С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Дискретная случайная величина X – число промахов. а) Найдите закон распределения величины X . б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: X 2, X 3, 1 X 3.

2.В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красного цвета. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон распределения случайной величины X , равной числу красных карандашей в

выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятность события 0 X 2.

33

2. Интегральная функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины F(x) называется вероятность того, что в результате опыта случайная

величина X примет значение, меньшее произвольно заданного числа x , то есть

Свойства F(x)

1.0 F(x) 1, так как F(x) – вероятность.

2.F( ) 0 так как (X ) – невозможное событие. F( ) 1, так как (X ) – достоверное событие.

3.Если возможные значения X (a, b), то F(x) 0 при x a и F(x) 1

при x b .

4.F(x) – неубывающая функция, то есть F(x2) F(x1), если x2 x1.

5.Вероятность попадания случайной величины X на конечный интервал (a; b) равна приращению интегральной функции на этом интервале:

P(a X b) F(b) F(a).

6. В пределе при стягивании интервала в точку P(X c) 0.

Если функция F(x) терпит разрыв в точке a , то скачок функции F(x) в этой точке равен вероятности попадания случайной величины X в нее. Поэтому для дискретных случайных величин F(x) pk , где суммирование

xk x

распространяется на все те значения xk , которые меньше x , и график функции

распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию.

Пример 1. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет

вид:

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

Найти вероятность попадания данной дискретной случайной величины в промежуток: а) ( ; 2), б) 1; 3 , в) 2; 3 .

Решение. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий

случайная величина X не принимает.

2. Для значений 1 x 2: F(x) P(X x) 0,3, так как X может принять

значение 1 с вероятностью 0,3.

3. Для значений 2 x 3: F(x) P(X x) P(X 1) P(X 2)

34

0,3 0,5 0,8.

4. Для значений x 3: F(x) P(X x) P(X 1) P(X 2) P(X 3)

0,3 0,5 0,2 1, так как событие X 3 достоверно. Следовательно, искомая функция распределения имеет вид:

Построим график составленной функции F(x) (см. рис. 8).

F(x)

1

0,8

Найдем вероятности попадания дискретной случайной величины в данные промежутки, используя формулы F(x) P(X x) и

P(a X b) F(b) F(a):

а) ( ; 2), тогда P(X 2) P(X 1) 0,3;

Пример 2. Баскетболист совершает три броска в корзину. Составить закон распределения числа попаданий мячом в корзину, если вероятность попадания при одном броске p 0,3. Построить многоугольник и функцию

распределения.

Решение. Случайная величина X – число попаданий мячом в корзину при трех бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие

вероятности могут быть вычислены по формуле: Pn (X k) Cnk pk qn k .

Этой формулой можно пользоваться, если независимые испытания производятся n раз, вероятность события в каждом испытании постоянна и

Здесь n 3; p 0,3;q 0,7.

35

Построим многоугольник распределения (см. рис. 9) и график функции распределения (см. рис. 10).

Задачи для решения в аудитории

1. Число кораблей, прибывающих ежедневно под погрузку в порт – случайная величина X , заданная таблицей:

Требуется:

1)убедиться в том, что задан закон распределения;

2)найти функцию распределения F(x);

3)построить график функции F(x);

4)используя функцию распределения, найти вероятность того, что в определенный день прибудет от 2 до 5 кораблей (включая оба значения);

5)если в определенный день прибывает больше трех кораблей, то порт берет на себя ответственность за издержки, возникающие вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт будет нести дополнительные расходы в этот день?

6)предполагая, что количество прибывающих кораблей в разные дни есть независимые случайные величины, найти вероятность того, что ни один из кораблей не прибудет в течение 5 дней;

7)при условиях пункта 6 найти вероятность того, что порт будет нести дополнительные расходы в течение двух дней подряд.

36

2. Задана функция распределения дискретной случайной величины X :

Составить закон распределения случайной величины X . Найти вероятность попадания данной дискретной случайной величины в промежуток

2; 4 .

3. Непрерывные случайные величины и плотность вероятностей

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Функция f (x) F (x) – первая производная от интегральной функции распределения F(x) называется плотностью вероятности или

дифференциальной функцией распределения. График плотности вероятности называется кривой распределения.

В отличие от функции F(x) плотность вероятности не является

универсальной характеристикой распределения, а существует только для непрерывных случайных величин.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в конечный интервал (a; b) равна определенному интегралу от плотности вероятностей,

взятому в пределах от a до b :

считается практически невозможным). Поэтому для непрерывной случайной величины X справедливы равенства:

P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) F(b) F(a).

2. Так как для непрерывной случайной величины F(x) – непрерывная

функция, то ее значения не должны претерпевать разрывов на границах интервалов изменения величины X . Это должно служить контролем

правильности составления функции F(x).

3. Полагая в формуле (26) a , b x и учитывая определение F(x),

получим F(x) x f (x)dx , то есть нахождение F(x) по известной плотности

вероятности сводится к вычислению определенного интеграла с переменным верхним пределом.

37

Свойства функции f (x)

1. f (x) 0, то есть f (x) – неотрицательная функция.

2. Условие нормировки: f (x)dx 1.

То есть площадь, ограниченная графиком плотности вероятности и осью Ox , равна единице.

б) функция F(x) не является непрерывной на всей числовой оси, так как

при значениях x 1 функция 0 ex e 1 0,37, а при значениях x 1 функция F(x) 1, то есть эта функция терпит разрыв и имеет скачок, равный

2) Интегральную функцию распределения F(x) найдем с помощью

39

позволяет полностью и однозначно описать случайную величину. Но во многих случаях в этом либо нет необходимости, либо закон распределения бывает неизвестен. Тогда ограничиваются меньшими сведениями, а именно, некоторыми характерными неслучайными числами, каждое из которых описывает то или иное свойство распределения случайной величины.

Такие числа, позволяющие отразить наиболее существенные особенности распределения случайной величины, называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия.

4.1. Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X

называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

i 1

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то

M (X ) xi pi , при условии, что полученный ряд сходится абсолютно.

i 1

Математическое ожидание называют еще центром распределения или характеристикой положения случайной величины на числовой оси. Это некоторое среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X

называется среднее ожидаемое значение X , определяемое формулой:

40