Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

746 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Если возможные значения непрерывной случайной величины X (a; b), то:

b
M (X ) x f (x)dx	(29)

Замечания.

1.Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

2.Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.

3.Математическое ожидание случайной величины есть неслучайная

(постоянная) величина.

Свойства математического ожидания

1)Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

M (C) C .

2)Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX ) CM (X ).

Произведением независимых случайных величин X и Y называется случайная величина XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений X на все возможные значения Y , а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (X Y ) M (X ) M (Y )

Замечания. 1. Это свойство аналогично для большего количества возможных значений сомножителей.

2. Свойство 3 справедливо и для произведения любого числа независимых случайных величин.

Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина X Y , возможные значения которой равны суммам каждого значения X с каждым значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X Y ) M (X ) M (Y )

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины X – числа стандартных деталей среди трех отобранных из партии в 10 деталей, из которых две бракованные.

Решение. Из условия задачи следует, что величина X может принимать значения 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений:

				C1 C2							1						C2		C1					7				C3 C0				7
P (1)					8		2							, P (2)				8				2				,	P (3)		8	2				.
P (1)					8		2			15				, P (2)				8				2		15		,	P (3)		8	2		15		.
10					C3					15				10				C		3				15			10		C	3		15
						10													10										10
Составим закон распределения для величины X :
																X			1			2				3
																p			1				7			7
																p		15				15			15
												1				i		15				15			15
Тогда M (X ) 1												1		2	7	3			7			2,4.
Тогда M (X ) 1											15			2		3			15			2,4.
											15			15					15
Пример 2. Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
			0										при x 2 и							x 4,
f (x)						3
f (x)						3	(x	2	6x 8) при								2 x 4.
						4	(x		6x 8) при								2 x 4.
						4
Найти математическое ожидание данной величины.
Решение. По формуле (29):																																				4
	3	4				2										3	4			3				2					3 x4				3		2
	3	4				2										3	4			3				2					3 x4				3		2
M (X )				x (x 6x 8)dx														(x			6x				8x)dx
M (X )				x (x 6x 8)dx														(x			6x				8x)dx						2x 4x
	4	2														4	2												4	4						2
		2															2												4							2

34(64 128 64 4 16 16) 3.

Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Решение. Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при

броске одной кости: M X1 1 2 3 4 5 6 16 72. Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 2 математического ожидания:

M (X ) 5 M (X1) 5 72 17,5.

4.2. Мода и медиана

Кроме математического ожидания, в качестве характеристик положения случайной величины применяется иногда медиана и мода.

Модой M0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой M0 непрерывной случайной величины – значение, в

котором плотность вероятности максимальна.

Замечания. 1. Если максимум один, то распределение называется

одномодальным.

2. Если кривая распределения имеет больше одного максимума, распределение называется полимодальным (многомодальным), если эта кривая не имеет максимума, но имеет минимум – антимодальным.

3. В общем случае мода и математическое ожидание не совпадают. Но

если распределение является симметричным	и модальным (то есть кривая
распределения симметрична относительно	прямой x M0) и имеет

математическое ожидание, то оно совпадает с модой.

Медианой Me дискретной случайной величины называется значение

величины, делящее распределение на две равные части по вероятности.

Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется.

Медианой Me непрерывной случайной величины называется такое ее

значение, для которого P(X Me ) P(X Me ).

Графически прямая линия x Me делит площадь фигуры, ограниченной

кривой распределения, на две равные части.

Замечание. Для симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

Для непрерывной случайной величины X это свойство принимает вид:

								M e												1								(30)
								f (x)dx f (x)dx												1								(30)
													M e							2
Пример 1. Найти моду дискретной																		случайной						величины			X ,	закон
распределения которой имеет вид:																		4
								X		1			2			3		4
								pi	0,1				0,7		0,15			0,05				p 0,7			– наибольшая, то
Решение. По определению, так как вероятность																						p 0,7			– наибольшая, то
соответствующее ей значение x2 2													является ее модой, то есть M0 2.
Пример 2. Найти моду и медиану непрерывной случайной величины,
заданной плотностью распределения												f (x)					1			.
заданной плотностью распределения												f (x)				(1	x2 )			.
																(1	x2 )
Решение. Найдем максимальное значение плотности вероятности. Найдем
производную этой функции:									f (x)							2x			,	тогда				x	0 – критическая
производную этой функции:									f (x)					(1 x2)					,	тогда				x	0 – критическая
														(1 x2)							f (x) 0,
точка. Так как при значениях									x 0 производная												f (x) 0,				а при значениях
x 0 производная				f (x) 0, то x 0 – точка максимума.
По определению, модой является M0 0.
Найдем медиану по формуле (30).
M		1			M			1			dx 1						1					M		1	dx 1
e f (x)dx		1	,		e			1						,			1		lim			e		1		,
e f (x)dx		2	,		e		(1 x		2	)				,					lim			e		2		,
		2					(1 x			)		2						a				a	1 x		2
				M e																		a
1	lim arctgx				1	,	1	lim (arctgMe arctga)														1	,						,
1					1		1															1
																								arctgMe
a				a	2		a															2					2	2
a				a	2		a															2					2	2

arctg Me 0, отсюда Me 0.

4.3. Дисперсия

Для того чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины X и Y , заданные законами распределения вида:

X	49	50	51
p	0,1	0,8	0,1
i

Y		0	100
p	i	0,5	0,5
	i

Найдем M (X ) 49 0,1 50 0,8 51 0,1 50 и M (Y ) 0 0,5 100 0,5 50.

Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для величины X значение M (X ) хорошо описывает поведение случайной

величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от значения M (Y ).

Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(X ) M X M (X ) 2.		(31)
Для вычисления дисперсии дискретной случайной величины удобно
пользоваться формулой:	n
D X M X 2 M 2	n
D X M X 2 M 2	X , где M (X 2) xi2 pi .	(32)
	i 1
Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется по

формуле: D(X ) x M (X ) 2 f (x)dx	x2 f (x)dx M 2(X ).	(33)

Если возможные значения величины X принадлежат интервалу (a,b), то
b	b
D(X ) x M (X ) 2 f (x)dx x2 f (x)dx M 2(X ).		(34)
a	a

Замечания. 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Свойства дисперсии

1)Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C) 0.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX ) C 2D(X ).

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X Y ) D(X ) D(Y ).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X Y ) D(X ) D(Y ).

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего, а для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X

называется квадратный корень из дисперсии:
(X ) D(X ) .	(35)

Пример 1. Вычислить дисперсии и средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y , заданных законами распределения вида:

X	49	50	51
p	0,1	0,8	0,1
i

Y	0	100
p	0,5	0,5
i	0,5	0,5

Решение.

M (X ) 49 0,1 50 0,8 51 0,1 50 и M (Y ) 0 0,5 100 0,5 50.

M (X 2) 492 0,1 502 0,8 512 0,1 2500,2 и M (Y ) 02 0,5 1002 0,5 5000. D(X ) 2500,2 502 0,2 и D(Y ) 5000 502 2500.

(X ) 0,2 0,45 и (X ) 2500 50.

Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что X мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для величины Y это отклонение весьма существенно.

Пример 2. Дана интегральная функция распределения непрерывной

случайной величины:				x 0,
			при
0			при
		2
1	x	2	x при	0 x 2,
F(x)	x		x при	0 x 2,
2			при	x 2.
1			при	x 2.

Найти ее среднее квадратичное отклонение. Решение. Найдем плотность вероятности:

	при	x 0,
0	при	x 0,
	1 при	0 x 2,
f (x) F (x) x	1 при	0 x 2,
1	при	x 2.

		45

По формуле (29):

			2										2		2				x3		x2			2		8					2
			2										2		2				x3		x2			2		8					2
M (X )						x(x			1)dx																		2					.
M (X )						x(x			1)dx					(x x)dx						3	2					3	2				3	.
			0										0							3	2			0		3					3
			0										0											0
По формуле (34):																																	2
		2												2		2	2					4			x		4			x3				4
		2												2		2	2					4			x		4			x3				4
D(X )					x2(x 1)dx													(x3	x2)dx
D(X )					x2(x 1)dx													(x3	x2)dx
																						9				4				3				9
		0											3				0					9				4				3			0	9
4 8			4				36 24 4								8.
3			9						9						9
По формуле (35):
(X )				8				2	2		0,94.
(X )				9							0,94.
				9			3
Пример 3. Независимые случайные величины																											X		и Y				заданы законами
распределения:							–2			1			3			5								–1				1			2				4
	X						–2			1			3			5					Y			–1				1			2				4
	p						0,1			0,3		0,2				…					p		0,3				0,4				0,2			…
	i						0,1			0,3		0,2				…					i		0,3				0,4				0,2			…
Найти				среднее								квадратичное								отклонение								случайной величины

Z 3X 2Y 2.

Решение. Найдем недостающие вероятности в законах распределения, используя свойство, что сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна единице P(X 5) 1 (0,1 0,3 0,2) 0,4,

P(Y 4) 1 (0,3 0,4 0,2) 0,1.

По свойствам дисперсии:

D(Z) D(3X 2Y 2) D(3X ) D(2Y 2) 9D(X ) 4D(Y 2).

По определению дисперсии

D(X ) M (X 2) M 2(X ) xi2 pi ( xi pi )2,

D(Y 2) M (Y 4) M 2(Y 2) yi4 pi ( yi2 pi )2.

Составим законы распределения случайных величин X 2,Y 2,Y 4 :

X 2	4	1	9	25
P	0,1	0,3	0,2	0,4

Y 2	1	4	16
P	0,7	0,2	0,1

Y 4	1	16	256
P	0,7	0,2	0,1

Поэтому M (X ) ( 2) 0,1 1 0,3 3 0,2 5 0,4 2,7, M (X 2) 4 0,1 1 0,3 9 0,2 25 0,4 12,5,

тогда D(X ) 12,5 2,72 5,21.

M (Y 2) 1 0,7 4 0,2 16 0,1 3,1,
M (Y 4) 1 0,7 16 0,2 256 0,1 29,5.
Следовательно, D(Y 2) 29,5 3,12					19,89.
D(Z) 9D(X ) 4D(Y 2) 9 5,21 4 19,89 126,45.
(Z)	D(Z ) 126,45 11,24.
Пример 4. Случайная величина X задана законом распределения:

		X	–2	1	2	3
		p	0,2	0,3	0,4	0,1
		i	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти дисперсию случайной величины Z 3X 2 2X 1. Решение. По формуле (32): D(Z) M (Z 2) M 2(Z).

Так как случайные величины X и X 2 не являются независимыми, то составляем закон распределения случайной величины Z , где каждое значение zi 3xi2 2xi 1:

Z	17	2	9	22
p	0,2	0,3	0,4	0,1

Поэтому закон распределения Z 2 будет иметь вид:

Z 2	289	4	81	484
p	0,2	0,3	0,4	0,1

В результате получим

D(Z) M (Z 2) M 2(Z) 289 0,2 4 0,3 81 0,4 484 0,1 (17 0,22 0,3 9 0,4 22 0,1)2 139,8 9,82 43,76.

Задачи для решения в аудитории

1. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения. Требуется найти M (X ), D(X ), (X ), Mо :ы

X	0	1	2

p	0,3	0,5	0,2
i	0,3	0,5	0,2

2. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятности:

0, если x 2,

f (x) 0,5, если 2 x 4,0, если x 4.

Найти M (X ), D(X ), (X ), Mо , Me .

3. Вычислить M (X 2 Y ) и D(2X Y ), если заданы законы распределения независимых случайных величин:

X	0	1
p	0,4	0,6
i	0,4	0,6

Y	–1	0	1
p	0,3	0,5	0,2
i

5.Основные законы распределения случайных величин

5.1.Биномиальный закон распределения

Биномиальным законом распределения называется распределение

вероятностей дискретной случайной величины X k – числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:

				P (k)		Ck pk qn k .
				n			n
Биномиальный закон имеет вид:

	X k	0	1		…		k	…	n
	P	qn	npqn 1		…		Cnk pk qn k	…	pn

Справедливы теоремы:

1. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях (такое число k , которое при данном значении n имеет наибольшую вероятность) удовлетворяет двойному неравенству: np q k np p .

2. При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испытании M (X ) np , а дисперсия

равна D(X ) npq .

Для дискретной случайной величины X , представляющей собой число появлений события A в серии из n независимых испытаний, M (X ) можно

найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть X1 – число появлений A в первом испытании, X 2 – во втором и т. д. При этом каждая из случайных величин Xi задается законом распределения вида:

	X	0	1
	p	q	p
	i
			n	n
Следовательно, M (Xi ) p . Тогда M (X ) M (Xi ) p np.
			i 1	i 1

Аналогичным образом вычислим дисперсию:

D(Xi ) 02 q 12 p p2 p p2 p(1 p), откуда по свойству 4

дисперсии D(X ) n D(Xi ) np(1 p) npq.

i 1

Пример 1. Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Решение. По условию n 5, p 0,8, q 0,2, k 0; 5.

Тогда по формуле P (k) Ck pk qn k											найдем вероятности:
					n			n
P(X 0) P (0)				5!				(0,8)0	(0,2)5		0,00032,
P(X 0) P (0)								(0,8)0	(0,2)5		0,00032,
5					0!5!
					0!5!
P(X 1) P (1)				5!		(0,8)1 (0,2)4 0,0064,
P(X 1) P (1)						(0,8)1 (0,2)4 0,0064,
5			1!4!
			1!4!
P(X 2) P (2)				5!				(0,8)2		(0,2)3	0,0512,
P(X 2) P (2)								(0,8)2		(0,2)3	0,0512,
5					2!3!
					2!3!
P(X 3) P (3)				5!			(0,8)3		(0,2)2		0,2048,
P(X 3) P (3)							(0,8)3		(0,2)2		0,2048,
5				3!2!
				3!2!
P(X 4) P (4)				5!				(0,8)4	(0,2)1		0,4096,
P(X 4) P (4)								(0,8)4	(0,2)1		0,4096,
5					4!1!
					4!1!
P(X 5) P (5)				5!			(0,8)5		(0,2)0		0,32768.
P(X 5) P (5)							(0,8)5		(0,2)0		0,32768.
5				5!0!
				5!0!
Таким образом, закон распределения имеет вид:
													4
	X		0					1		2		3	4	5
	p	0,00032						0,0064		0,0512		0,2048	0,4096	0,32728
	i	0,00032						0,0064		0,0512		0,2048	0,4096	0,32728

Так как 0,00032+0,0064+0,0512+0,2048+0,4096+0,32728=1, то закон верно составлен.

Пример 2. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. Найти: 1) наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; 2) вероятность разрушения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий.

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как отдельное независимое испытание. Поэтому применима схема повторяющихся

независимых испытаний. По условию n 6,					q 0,4,	p 0,6.
1) По	формуле			np q k np p	найдем наивероятнейшее число
попаданий 6 0,6 0,4 k 6 0,6 0,6 или 3,2 k 4,2. Тогда k 4.
Вероятность четырех попаданий равна:
P (4)	6!		(0,6)4	(0,4)2 0,31104.
P (4)			(0,6)4	(0,4)2 0,31104.
6	4!2!
	4!2!
2) Пусть		A – событие, состоящее			в том,	что будет не менее двух
попаданий при			6 выстрелах. Удобно перейти			к противоположному ему
				49

событию A – менее двух попаданий (либо 0 попаданий – событие A1, либо 1 попадание – событие A2 ).

По определению суммы событий: A A1 A2 .

Так как события A1 и A2 несовместны, то по теореме сложения:

P(A) P(A1) P(A2) или

P(A) P6(0) P6(1) 0!6!6! (0,6)0 (0,4)6 1!65!! (0,6)1 (0,4)50,004096 0,036864 0,04096

Искомая вероятность: P(A) 1 P(A) 1 0,04096 0,95904.

Задачи для решения в аудитории

1.В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Составить биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

2.Построить ожидаемое распределение результатов испытаний, которое было бы получено для 256 абсолютно невежественных экзаменующихся, случайно угадывающих ответы на четыре вопроса с четырьмя возможными вариантами ответа на каждый вопрос (из выбираемых ответов только один верен).

5.2. Закон распределения Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину X , принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, k , …), последовательность которых не ограничена.

В предельном случае биномиального распределения, когда число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления события k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле

Пуассона	P	(k) k	e , где	np const	(или	t ) – среднее число
	n	k!			1
		k!

появлений события в различных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей дискретной случайной величины k – числа появлений события в n независимых испытаниях (в случае массовых, но редких событий), называемый законом

распределения Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной степенью точности можно пользоваться при вероятности p 0,1, то есть 10.

Числовые характеристики распределения Пуассона:

M (X ) , D(X ) , (X ) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]