Элементы теории вероятностей. Учебное пособие

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1. Классическое определение вероятности

Вероятностью события A называется отношение числа исходов опыта,

п

Это классическое определение вероятности.

Свойства вероятности:

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна нулю.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример 1. Из урны, содержащей 9 белых и 7 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти

события удовлетворяют всем условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных исходов равно n 9 7 16, а число исходов, благоприятных событию A (появлению белого шара) – m 9 (таково

количество белых шаров в урне). Значит, P(А) тп 169 0,5625.

Ответ. Вероятность появления белого шара равна 0,5625.

Пример 2. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

Решение. Прежде всего, отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует C105 способов составить такую

Сколько из этих исходов удовлетворяют условию «в пятерке две бракованные лампы», то есть, сколько исходов принадлежит интересующему нас событию?

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным

сколькими способами ее можно дополнить тремя небракованными лампами, то

бракованные лампы, равно С42 C63 6 20 120.

Отсюда, обозначив искомую вероятность через величину P , получаем:

11

P C42 5C63 120 10 . C10 252 21

Ответ. Вероятность того, что среди выбранных ламп будут 2

бракованные, равна 1021.

Задачи для решения в аудитории

1.Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна 9?

2.Методическое пособие содержит 72 страницы. Какова вероятность того, что номер наудачу открытой страницы окажется кратным 4?

3.Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Затем из этих букв случайным образом без возвращения отобрано 5 букв. Найти вероятность того, что из отобранных букв можно составить слово ТАКСИ.

4.Замок содержит на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на шесть секторов, отмеченных цифрами. Замок откроется, если все диски занимают определенное положение относительно корпуса замка, то есть образуется число – код замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?

2. Относительная частота

Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач эта схема не применима. В таких ситуациях требуется определять вероятность события иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W (A) события A как

условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью рассматриваемого события.

Пример. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Найти частоту рождения мальчика.

Решение. По условию N 1000, M 515. Тогда частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна W A 1000515 0,515.

Ответ. Частота рождения мальчика равна 0,515.

12

Задачи для решения в аудитории

1.Отдел технического контроля обнаружил 17 бракованных изделий в партии из 3500 изделий. Найти частоту изготовления бракованных изделий.

2.Опрос 300 взрослых мужчин города N показал, что 198 из них не курят. Как часто можно встретить курящего мужчину в городе N ?

3.Сколько раз появилась шестерка при 60 бросаниях игральной кости, если частота ее появления равна 0,2?

3. Геометрическая вероятность

Вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l , являющийся частью отрезка L , вычисляется по формуле

R

Пример 2. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

13

Решение. Пусть x – время прихода первого в столовую, а y – время прихода второго 12 x 13; 12 y 13 .

Можно установить взаимнооднозначное соответствие между всеми парами чисел (x; y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата

со стороной, равной 1, на координатной плоскости. В этом случае начало отсчета соответствует числу 12 по оси Ox и по оси Oy , как изображено на

рисунке 2. Здесь, например, точка A соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй – в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

y 13 A

12 13

0 x

Рис. 2

Если первый пришел не позже второго (y x), то встреча произойдет при условии 0 y x 16 (10 минут – это 16 часа).

Если второй пришел не позже первого (x y), то встреча произойдет при условии 0 x y 16 .

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области , изображенной на рисунке 3 в заштрихованном виде, можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Искомая вероятность P равна отношению площади области к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников,

изображенных на рисунке 3. Отсюда следует: S 1 2 12 56 56 1136 .

P A 1136 :1 1136.

14

Задачи для решения в аудитории

1.На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту – зеленый и полминуты красный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

2.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа.

4. Основные теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой А В двух событий A и B называют событие, состоящее в

том, что произошло хотя бы одно из событий A и B .

Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Произведением A B событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло и событие A , и событие B .

Аналогично произведением нескольких событий называется событие,

заключающееся в том, что произошли все эти события.

Условной вероятностью P(B / A) или PA (B) события B называется

вероятность события B при условии, что событие A произошло.

Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события A изменяет вероятность события B .

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. 1. Сумма вероятностей противоположных событий A и А равна единице:

2. Вероятность суммы полной группы событий равна 1.

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность.

Теорема умножения вероятностей совместных зависимых событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что

15

Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события BA , совпадающего с событием AB , то получим, что Р BA Р B Р A/B .

Следовательно, Р A Р B / A Р B Р A/B .

Событие B называется независимым от события A , если появление события A не изменяет вероятности события B , то есть Р B / A Р B .

Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Следствие 1. Теорему сложения можно распространить на случай суммы любого числа событий.

Например, для суммы трех событий A , B и С:

P A B C Р A Р B Р C Р AB Р AC Р BC Р ABC .

Следствие 2. Вероятность суммы несовместных событий является частным случаем вероятности суммы совместных событий.

Вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий

Аналогично P A2 p2 , P A2 q2 , P A3 p3 , P A3 q3.

Пусть A – событие, состоящее в наступлении только одного из событий A1, A2, A3 . Используя теорему сложения несовместных событий и теорему

умножения независимых событий, событие A можно записать в виде:

A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , тогда

16

P A P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 p1q2q3 q1 p2q3 q1q2 p3 .

Пример 1. В магазин поступили 100 телевизоров «Sony», из них 10 – японской сборки, 20 – корейской и 70 – китайской. Найти вероятность, что купленный наудачу телевизор окажется японской или корейской сборки.

По формуле (7) найдем вероятность противоположного события: P A 1 P A , следовательно, P A 1 0,7 0,3.

Пример 3. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад один шар, затем возвращают его в урну, перемешивают и снова вынимают один шар. Найти вероятность, что оба раза извлекли белые шары.

Решение. Пусть событие A – первый вынутый шар белый, событие B – второй вынутый шар белый, событие AB – оба вынутых шара были белыми.

События A и B независимые, так как шар возвращают обратно в урну, следовательно, событие B не зависит от того, произошло ли событие A или нет. Тогда по формуле (9): P(A B) P(A) P(B) 0,77 0,77 0,5929.

Пример 4. Из колоды в 32 карты извлекается две карты. Найти вероятность того, что вторая вынутая карта окажется тузом.

Решение. Пусть событие A – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие B – то, что и вторая вынутая из колоды карта окажется тузом.

Тогда, если первая карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется: Р(В) Р(А) 324 18 0,125.

Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события A приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, где только 3 туза.

Поэтому Р(В/ А) 313 0,097.

17

Пример 5. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение. Пусть событие A – попадание при первом выстреле, а событие B – попадание при втором.

Тогда по формуле (8):

Р A 0,2; Р B / А 0,4; Р AB 0,2 0,4 0,08.

Пример 6. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Событие А, противоположное заданному событию A, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество

благоприятных событию А, – это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных: тА С65 6.

Тогда по формуле (7): Р(А) 566 283 , а Р(А) 1 283 2528.

Пример 7. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение. Введем обозначения: событие A – попадание первого стрелка, событие B – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы

Р C 0,8 0,6 0,8 0,6 0,92.

Пример 8. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал герб хотя бы на одной монете?

Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события (выпадения цифры), т. е. равна 0,5. Значит, вероятность выпадения герба хотя бы на одной монете при n бросках

равна 1 0,5 0,5 0,5 1 (0,5)n . Тогда из решения неравенства 1 (0,5)n 0,9

следует, что (0,5)n 0,1, n log0,5 0,1, n log210 3.

То есть нужно сделать более трех бросков.

Пример 9. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:

18

1)A – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;

2)B – ровно одно попадание при двух выстрелах;

3)С – два попадания;

4)D – ни одного попадания.

Решение. Пусть событие H1 – попадание в мишень первого стрелка, H2 – попадание в мишень второго. События H1 и H2 совместны и независимы,

поэтому теорема сложения применяется в общем виде (11), а теорема умножения – в виде формулы (10). Тогда

1) A H1 H2 H1H2 – хотя бы одно попадание в мишень при двух выстрелах;

2) B H1 H2 H1 H2 – ровно одно попадание в мишень при двух выстрелах;

несовместны),

РC 0,6 0,7 0,42,

РD 0,4 0,3 0,12.

Заметим, что события A и D являются противоположными, поэтому

Р A 1 Р D .

Задачи для решения в аудитории

1.В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

2.Имеется два ящика, в каждом – по 10 деталей; в первом ящике – 8, во втором – 7 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе вынутые детали окажутся стандартными.

3.Студент разыскивает нужный ему термин в трех энциклопедиях. Вероятность того, что термин находится в первой энциклопедии, равна 0,5, во второй – 0,8, в третьей – 0,3. Найти вероятности событий, что термин находится:

а) во всех трех энциклопедиях; б) хотя бы в одной энциклопедии; в) только в одной энциклопедии; г) только в двух энциклопедиях;

д) не менее чем в двух энциклопедиях.

4.Партия изделий, находящихся в 12 коробках, подлежит проверке на соответствие сертификату. Если при проверке наугад выбранных двух коробок окажется, что содержащиеся в них изделия удовлетворяют требованиям, то принимается вся партия. Найти вероятность приемки партии, содержащей в пяти коробках некачественные изделия.

19

5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p , а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного

попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти p .

6. Тигр и олень идут к водопою, выбирая тропу наугад. Какова вероятность того, что они окажутся на одной тропе в случае, указанном на рисунке 4?

Рис. 4

7. На вход премного устройства поступает поток отдельных сигналов, 35 % которых несут полезную информацию, а остальные представляют собой разного вида помехи. Из потока сигналов выбирают два сигнала наугад. Определить вероятности того, что:

а) хотя бы один из сигналов несет полезную информацию; б) только один из сигналов несет полезную информацию;

в) оба сигнала несут полезную информацию либо являются помехами. 8. Ящик содержит 50 годных и 5 дефектных деталей. Сборщик

последовательно без возвращения достает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) хотя бы одна дефектная.

5. Формула полной вероятности

Пусть событие A может произойти только совместно с одним из событий H1, H2, ..., Hn , образующих полную группу несовместных событий. Тогда

события H1, H2, ..., Hn называются гипотезами.

Теорема. Вероятность события A , наступающего совместно с гипотезами

H1, H2, ..., Hn , равна:

название формулы полной вероятности.

Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

20