Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

Министерство внутренних дел Российской Федерации

Омская академия

В. Т. Гиль

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ДЛЯ ЮРИСТОВ

Учебное пособие

Омск 2009

ВВЕДЕНИЕ

Математика является фундаментальной наукой и применяется во всех отраслях знаний, поэтомуее основами должны владеть специалисты любого профиля, в том числе и те, которые не склонны к освоению точных наук. «Тот, кто не знает математики, – говорил в XIII в. известный английский философ РоджерБэкон, –не может узнатьникакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».

Математические знания позволяют правильно формулировать профессиональные задачи и преобразовывать их к виду, пригодному для решения с помощью компьютерной техники. Поскольку работникам правоохранительных органов в профессиональной деятельности чаще всегоприходитсяобращаться кматематикедлямоделирования и анализа криминальной обстановки, при выполнении статистических и оптимизационных расчетов, то в данном пособии приводится минимальный объем сведений, обладая которыми можно решать такие задачи.

Пособие состоит из 5 параграфов, в которых рассмотрены элементы теории множеств и комбинаторики, основы теории вероятностей, математической статистики и оптимизации. Теория вероятностей изучает случайные явления и выступает теоретическим фундаментом прикладнойстатистики.Дляописанияслучайныхявленийиспользуетсяязык теории множеств, а методы комбинаторики применяются при решении статистических и оптимизационных задач.

3

§ 1. Элементы теории множеств

Теория множеств – это раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Данная теория составляет основу построения всей современной математики. Сама она базируется на двух простых понятиях – «множество» и «элемент». Множеством называют совокупность объектов произвольной природы, обладающих некоторым общим свойством, отличающихся друг от друга и от объектов, не входящих в данное множество. Понятие множества является одним из основных в математике. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, который считал, что «множество есть многое, мыслимое нами как целое».

Объекты, изкоторых состоиттоили иноемножество,называютэлементами этого множества. Множества принято обозначать большими, а элементы этих множеств – маленькими буквами латинского алфавита, например:множества A,B...X,Y,Zисоответственноэлементыa, b...x,y,z. Дляобозначенияпринадлежностиэлемента множествуиспользуетсязнак , например q F. Запись j F означает, что элемент j не принадлежит множеству F.

Примеры обозначения множеств:

1)арабскими цифрами: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0};

2)римскими цифрами: G = {I; X; C; M; V; L; D}.

Для наиболее часто используемых числовых множеств в математике применяются следующие стандартные обозначения:

N – множество натуральных чисел, N = {1; 2; 3; ... };

Z – множество целых чисел, Z = {0; ±1; ±2; ±3; ... };

Q – множество рациональных чисел, Q = {n / mn, m Z, m 0}; R – множество действительных (вещественных) чисел.

1. Основные определения

Множества бывают конечными и бесконечными и могут содержать различное число элементов. Например, множество русских букв содержит 33 элемента, множество натуральных чисел N содержит бесконечное число элементов, а множество действительных корней уравнения x4 +8 = 0 вообще не содержит элементов.

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается знаком .

Конечное множество – это такое множество, где число элементов можно выразить натуральным числом. Например, множество автомобилей на стоянке – конечное множество, так как существует натуральное число, равное числу элементов этого множества.

4

Бесконечное множество – непустое множество, не являющееся конечным. Множество точек на плоскости – бесконечное множество, поскольку нет такого натурального числа, которое равнялось бы числу его элементов.

Если множество A – конечное множество, то число его элементов называют мощностью множества и обозначают |A|. Мощность множества A месяцев года |A| = 12.

Выделим из множества A какую-либо часть его элементов. Эту выделенную часть можно трактовать как самостоятельное множество B. Тот факт, что B является частью A, обозначают так: B A или A B.

Приэтомнужночеткоразличатьдвезаписиа Аи В А,знаквключения связывает два множества, а знак принадлежности связывает множество с его элементом.

Если любой элемент множества В является одновременно элементом множества А (B A), то множество В называют подмножеством множества А. Таким образом, подмножеством данного множества А является и само множество А. Пустое множество считается подмножеством любого множества.

Подмножество B множества A, отличное отсамого множества A и

называется собственным подмножествомA.

Подмножества A и множества A называются его несобственны-

ми подмножествами.

Пустое и одноэлементное множества обладают только несобственными подмножествами, но если множество содержит хотя бы два элемента, то оно имеет и собственные подмножества. Так, подмножествами множества A = {a, b} являются множества , {a}, {b}, {a; b}, из которых {a} и {b} – собственные подмножества множества A.

Если при решении заданного класса задач рассматривают только подмножества одного множества U, то такое множество называют универсальным. В геометрии Евклида универсальным множеством является пространство, элементами которого являются точки. Подмножествамипространстваявляютсяразличныегеометрическиефигуры:плоскости, прямые, отрезки, лучи, многоугольники, многогранники и пр., которые также состоят из точек.

Два конечных множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств А и В записывают в виде А = В.

5

Два конечных множества A и B не равны между собой, если в множестве A есть хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству B, или наоборот. Неравенство множеств А и В записывают в виде А В. Например, множества {0; 1; 2} и {1; 2; 0} равны, конечны и состоят из одних и тех же элементов.

Упорядоченное множество – это множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуютразличныечисла. Примерами упорядоченных множеств являютсяперестановки иразмещения,которые будутрассмотрены в следующем параграфе.

2. Диаграммы Эйлера – Венна

Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера– Венна(рис. 1). Диаграммы Эйлера – Венна делаютнаглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника (множество U), а его подмножества – кругами. Множество В является подмножеством множества А, а оба этих множества входят в универсальное множество U.

Рис. 1. Диаграмма Эйлера – Венна для универсального множества

3. Задание множеств

Существует два основных способа задания множеств: составлением списка всех элементов множества (перечисление элементов) и указанием характеристического свойства элементов множества (описание элементов). Первый способ используется для задания конечных множеств. В математической записи элементы множества разделяются точкой с запятой, и заключаются в фигурные скобки. Если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают так:

A = {a; b; c; d}.

6

Примерамизаданиянематематических конечныхмножествявляются: список похищенных вещей в милицейском протоколе, список стран в атласе мира, список внутренних органов человека в учебнике анатомии и т. д. Не все конечные множества можно задать списком элементов. Так, конечное множество рыб в реке списком задать нельзя.

Второй способ используется для задания конечных и бесконечных множеств, для элементов которых можно сформулировать характеристическое свойство, т. е. свойство, которым обладают все элементы данного множества, и только они.

При задании множества вторым способом в фигурных скобках сначала приводится условное обозначение элементов множества, а затем после вертикальной черты записывается их характеристическое свойство. Например, множество M натуральных чисел, меньших 10, задается следующим образом:

M = {xx N, x < 10}.

4. Операции над множествами

Основные операции над множествами – объединение, пересечение и разность.

Объединением нескольких произвольных множеств называется множество тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из объединяемых множеств (рис. 2).

Рис. 2. Диаграмма Эйлера – Венна для двух пересекающихся множеств А и В

Множество, образующееся при объединении двух множеств A и B, обозначается следующим образом:

А В = {xx А или x В}.

Нарис. 3диаграммаЭйлера–Веннаиллюстрируетобъединениеэтих множеств.

Пример. Объединением множества А = {2; 3; 4; 5; 6; 9; 11; 12} и множества В = {1;3; 5;10;12} являетсямножествоА В = {1;2; 3;4; 5; 6; 9; 10; 11; 12}.

7

Пересечениемнесколькихпроизвольных множествназываетсямножество тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит одновременновсем данныммножествам.Множество, образующеесяпри пересечении двух множеств A и B, обозначается следующим образом:

А В = {xx А и x В}.

На рис. 4 приведена диаграмма Эйлера – Венна, иллюстрирующая пересечениедвух множеств А и В. Пересечением множества А = {2;3; 4; 5; 6; 9; 11; 12} и множества В = {1; 3; 5; 10; 12} является множество

А В = {3; 5; 12}.

Разностью между множеством А и множеством В называется множество всех элементов из А, не являющихся элементами из В. Разность множеств A и B обозначается следующим образом:

А \ В = {xx А и x В}.

На рис. 5 приведена диаграмма Эйлера – Венна, иллюстрирующая разность двух множеств А и В. Разностью между множеством А = {2; 3; 4; 5; 6; 9; 11; 12} и множеством В = {1; 3; 5; 10; 12} является множество А \ В = {2; 4; 6; 9; 11}.

Рис. 5. Разность

5. Декартово произведение множеств

Декартово, или прямое, произведение множеств – это операция над n множествами, позволяющая получить новое множество, элементами которого являются различные наборы из n элементов исходных множеств.

8

Пусть А и В – некоторые множества. Выражения вида (a, b) и (b, a), гдеa Aиb B,называютсяупорядоченнымипарами.Упорядоченность означает, что пара (а, b) отличается от пары (b, а) последовательностью элементов. Равенство пар вида (а, b) = (c, d) означает, что а = c и b = d.

Можнорассматриватьупорядоченные наборы(а1, а2... аn)изэлементов а1 А1, а2 А2... аn Аn. Такие упорядоченные наборы называют

кортежами.

ДекартовымпроизведениеммножествА1,А2... Аnназываетсямно-

жество кортежей вида А1 А2 ... Аn = {(а1, а2... аn)аi Аi}, т. е. каждый элемент декартова произведения состоит из нескольких элементов.

Так, декартово произведение множеств {1; 3; 5} и {2; 4; 6} есть множе-

ство пар {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (5, 2); (5, 4); (5, 6)}.

Рассмотренная операция широко используется в комбинаторике. Например, подсчет числа элементов декартова произведения множеств является основой одного из правил комбинаторики – правила произведения.

Степенью декартова произведения А1 А2 ... Аn называется число множеств n, входящих в это декартово произведение.

Замечание. Если все множества Аi одинаковы, то используют обозначение Аn = А А ... А.

Пусть А – некоторое множество. Рассмотрим упорядоченные пары элементов (а, b), где а А и b А. Множество всевозможных упорядоченных пар элементов из А называется декартовым квадратом множества А и обозначается А А.

6.Отношения

Отношение –этоподмножестводекартовапроизведениямножеств, состоящее из однотипных кортежей и удовлетворяющих условию данногоотношения. Понятиеотношенияслужитдлявыражениясвязеймежду объектами множеств и имеет большое значение не только для математики. Оно является математическим аналогом понятия «таблица» и лежит в основе реляционной теории баз данных. Relation в переводе с английскогоозначает «отношение», а термин «реляционноепредставление данных» понимаетсякак табличноепредставление данных, находящихся в определенных отношениях.

Отношенияобладаютстепеньюи мощностью.Степеньотношения – это количество элементов в каждом кортеже отношения (аналог количества столбцов в таблице). Мощность отношения – это количество кортежей отношения (аналог количества строк в таблице).

9

В математике чаще всего используют бинарные отношения (отношения степени 2). В теории баз данных основными являются отношения степени n. В математике, как правило, отношения заданы на бесконечных множествах и имеют бесконечную мощность. В базах данных, напротив, мощности отношений конечны (число хранимых строк в таблицах всегда конечно).

Широкоизвестны бинарныеотношения равенства и порядка между числами. Они записываются так: а = b, а < b или b > а.

Простым примером отношения степени 3, или тернарного отношения,вматематикеявляетсяоперациясложениячисел. Равенствоа + b = c означает, что упорядоченная тройка чисел (а, b, c) выделена по сравнению с другими тройками, для которых такое равенство не выполнено. Отношение можно представить в виде таблицы. Такие таблицы построены, например, для операции умножения, для логарифмических и тригонометрических функций. Примером тернарного отношения из теории баз данных может служить отношение из трех кортежей {(1, Кукушкин, 7000); (2, Петушков, 8000); (3, Цыплаков, 9000)}, которое можно считать таблицей, содержащей данныеосотрудниках и их зарплатах. Такая таблица будет иметь три столбца и три строки, причем в каждом столбце содержатся данные одного типа.

Здесь важным является однотипность кортежей. Именно это позволяет считать их аналогами строк в простой таблице, т. е. в такой таблице, в которой все строки состоят из одинакового числа ячеек, а в соответствующих ячейках содержатся одинаковые типы данных.

Множество, образованное разнотипными числовыми кортежами, например {(1); (1, 2); (1, 2, 3)}, не является отношением, так как из его кортежей нельзя составить простую таблицу.

Отношение может включать в себя не все возможные кортежи из декартова произведения. Это значит, что для каждого отношения имеется критерий, позволяющий определить, какие кортежи входят в отношение, а какие – нет. Этот критерий представляет собой логическое выражение, зависящее от n параметров P(а1, а2... аn), которое называют n-местнымпредикатом. Кортеж(а1,а2... аn)принадлежитотношениютогда и только тогда, когда предикат этого отношения P(а1, а2... аn) принимает значение «истина». Предикатом математики называют то, что все остальные люди называют условием. Они специально придумывают непонятные термины, чтобы показать свое превосходство перед теми, ктоещеневладеетихсловарем. Например, предикатомотношения«операция сложения чисел» является равенство а + b = c. Кортеж (а, b, c)

10