Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

Закон распределения случайной величины – это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения.

Закон распределения полностью характеризует СВ. Он может быть задан рядом распределения вероятностей (таблицей), функцией распределениявероятностей, плотностьюраспределения вероятностей (аналитическими выражениями), а также с помощью графика.

Пусть некоторая случайнаявеличина Х являетсядискретной, т. е. принимает лишь фиксированные значения xi. В этом случае вероятность принятияслучайнойвеличиной каждогоизвозможныхеезначенийбольше нуля и ряд значений вероятностей P(xi) для всех (i 1, n) допустимых значений этой величины будетиметь видP(xi) = P(X = xi). Значение этой функции для любого значения xi равно вероятности того, что СВ Х примет значение xi.

Функция P(xi), связывающая значениядискретной случайной величины с их вероятностями, задает закон распределениявероятностей СВ. Обычнозакон распределениязаписываетсяввидепредставленнойниже таблицы, котораяназывается рядом распределения. В табл. 1 x1, x2…xn – случайные величины, соответствующие полной группе событий,

т. е. p1 + p2 + … + pn = 1.

Таблица 1

Ряд распределения

Пример. Пусть Х – число очков, выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда эта СВ распределена по закону, который можно задать следующим рядом распределения:

Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико, то невозможно задать распределение непрерывной случайной величины в виде вероятностей P(xi) ее отдельных значений, как в случае дискретных случайных величин. Однако его можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х), значение которой в точке x равновероятности того, что случайнаявеличина X примет значение меньшее, чем x F(x) = P(X x). С помощью этой функции можно также задавать распределение дискретных случайных величин.

31

Значения функции распределения вероятности представляют собой вероятности, поэтому 0 F(x) 1 при изменении x от - до + . Причем для непрерывной случайной величины X вероятность ее попадания в заданный интервал [x1; x2] равна разности значений функции на грани-

цах этого интервала P(x1 < X < x2) = F(x2) – F(x1).

Примеры графиков функций распределения непрерывной и дискретной случайных величин представлены на рис. 7 и 8 соответственно.

Вид графика зависит от параметров конкретного распределения, но все точки графика обязательно будут расположены между значениями 0 и 1 пооси абсцисспри изменении xi от - до + . Длялюбого х значение этой функции равно вероятности того, что случайная величина X x. Вероятность попадания случайной величины Х в конкретный интервал равна разности значений функции на границах этого интервала, т. е. чем круче график этой функции, тем меньше разброс значений случайной величины Х.

Для описания распределений непрерывных случайных величин часто используют плотность распределения вероятностей, которая является производной функции распределения вероятности и задается следующим выражением:

f(x) = dF(x) / dx.

Физический смысл f(x) состоит в том, что произведение f(x) dx представляетсобой вероятность попадания случайнойвеличины Хвинтервал от х до х + dx, т. е.

f(x)dx = P(x X x + dx).

С помощью функции плотности вероятности можно оценить вероятностьпопаданиянепрерывнойслучайной величиныХвинтервалмежду значениями х1 и х2, которая равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой плотности вероятности у = f(x), осью 0х и прямы-

ми х = х1 и х = х2 (рис. 9).

32

Рис. 9. Плотность распределения вероятностей

Эта вероятность математически записывается в виде интеграла от

f(x) в пределах х1 и х2.

x2

P(x1 X x2) = f(x)dx.

x1

Распределение является исчерпывающей характеристикой случайной величины. Прилюбомвариантезаданияраспределениезадаетсвязь между вероятностью того, что результат однократного измерения случайной величины попадетв заданный интервал возможных значений, и шириной этого интервала.

Тип распределения СВ можно установить либо путем построения схемы случайного события и нахождения аналитического выражения (формулы) вычисления вероятности (возможно, для аналогичной схемы она уже найдена), либо экспериментальным путем.

Для классических распределений эта работа уже давно проделана. В прикладной статистике наиболее часто используются нормальное, биномиальное, полиномиальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения, распределения Паскаля, Пуассона и др. Эти распределения детально изучены, и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений лежат в основе ряда областей знаний – теории массового обслуживания, теории надежности, контроля качества, теории игр и т. п.

Для большинства классических распределений составлялись и публиковались многотомные статистические таблицы. Без использования этих таблиц и обучения правилам работы с ними последние два столетия практическое применение статистики было невозможно. В настоящее время статистические расчеты выполняются на компьютере с использованием универсальных и специализированных пакетов прикладных программ.

33

§ 4. Элементы математической статистики

Чтобы правильно ориентироваться в потоках окружающей информации, человек должен использовать соответствующие информационные технологии. Статистика является эффективным инструментом обработки и анализа информации, она позволяет компактно описать данные, понятьих структуру, провести классификацию,увидеть закономерности в хаосе случайных явлений. Поэтому каждый специалист должен владеть основами математической статистики и уметь применять ее методы на практике для анализа данных.

1. Предмет и задачи математической статистики

Математическаястатистика –это разделматематики,посвященный математическим методам сбора, обработки и анализа статистических данных для решения научных и практических задач. Предметом математической статистики выступают статистические данные, т. е. результаты наблюдений за массовыми случайными событиями. Статистические данные получают в результате обследования изучаемой совокупности однородных объектов или явлений и описывают одним или небольшим числом параметров.

Математическая статистика решает две основные задачи. Это:

–разработка способов получения (анкетирование, планы наблюдений или экспериментов), предварительной обработки (ранжирование, группировка), представления статистических сведений в удобном виде (таблицыидиаграммы и пр.) и описанияихв терминахматематической статистики и теории вероятностей;

–разработка методов анализа статистических данных и получения результатов, позволяющих принимать решения в различных областях деятельности человека в условиях неопределенности.

В соответствии с решаемыми задачами математическая статистика подразделяется на описательную и аналитическую. Анализ статистических данных можетвыполнятьсяпараметрическими и непараметрическими методами. В прикладной статистике наиболее популярны параметрические методы, основанные на предположении о том, что статистические данные распределены по нормальному или производному от него закону.

Если статистические данные не удовлетворяют этому требованию (не имеют параметрического закона распределения), то используются непараметрическиеметоды, которыеимеютболееширокую областьприменения и с которыми можно решать практически тот же круг статистических задач, что и с помощью параметрических.

34

2. Этапы статистического исследования

Подготовка и анализ данных, как правило, проходят в несколько основных этапов:

1.Сбор первичных данных для анализа: сбор первичного статистичес-

кого материала путем наблюдения и измерения статистических признаков исследуемой совокупности объектов. Дальнейшая задача состоит в выдвижении статистической гипотезы на основании цели исследования.

2.Преобразование данных: их упорядочивание и группировка (разделение на однородные группы с подобными значениями признаков). Для каждой группы подсчитывается частота появления исследуемого признака, и здесь введенные данные обычно корректируются путем удаления аномальных значений и подстановки пропущенных (не измеренных) значений, которые могут быть результатом некорректных измерений.

3.Визуализация данных, т. е. наглядное их представление. Для этого используется табличное и графическое изображение, так как человек намного быстрее воспринимает информацию в таком виде.

4.Статистический анализ – обработка полученных количественных данных, заключающаяся в вычислении некоторых статистических характеристик и оценок, позволяющих проверить нулевую гипотезу.

5.Интерпретацияипредставление результатов.Главнаяцельин-

терпретации –выявлениехарактеристик обработанногоматериала, опираясь на которыеможнообнаружить и объяснить основныетенденции и сформулировать выводы. Интерпретация полученного и обработанного фактическогоматериала считаетсясамымсложным этапомстатистического исследования. Важным условием объективной интерпретации является квалификация исследователя, поскольку даже на базе качественных и хорошо обработанных статистических данных нередко делаются необоснованные и неубедительные выводы.

3. Понятие о выборочном методе

Для изучения совокупности однородных объектов можно обследовать каждый объектэтойсовокупности относительнокачественного или количественного признака, которым интересуются. На практике, однако, проводить сплошное обследование либо физически невозможно (совокупность содержит очень большое число объектов), либо бессмысленно, если обследование требует больших материальных затрат или приводит к уничтожению объектов изучаемой совокупности. Например, нет смысла проверять срок службы всех выпускаемых на заводе элект-

35

роламп, так как такая проверка приведет к выводу их из строя. Нецелесообразно также проводить сплошное обследование всех семей страны для получения данных об их бюджетах, поскольку это связано с большими материальными и трудовыми затратами, несопоставимыми с результатом.

Для исследования таких совокупностей из них случайно отбирают ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Например, по анализу элементов, содержащихся в капле крови, медицинские работники делают выводы о составе всей крови человека. Такой метод обследования называется выборочным.

Часть отобранных для обследования объектов называют выборочной совокупностью, или выборкой, авсеобъекты изучаемой совокупно-

сти – генеральнойсовокупностью.

Число элементов в совокупности (генеральной или выборочной) называется объемом совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается буквой N, а выборки – n. Число элементов в Nзначительно превосходитих в n (N >> nи N ). ОбычноN >> 1000,а 10 n 1000.

4. Способы выборки

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и обследован, он или возвратится или не возвратится в генеральную совокупность. Соответственно, выборки подразделяютна повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращаетсяв генеральнуюсовокупность.Бесповторной называютвыборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т. е. быть репрезентативной (представительной).Выборкабудеттакой,еслиееосуществитьслучайно:каждыйобъект выборкиотобранслучайноизгенеральнойсовокупности,если всеобъекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Применяются различные способы отбора. Принципиально их можно подразделить на два вида:

– отбор, не требующий разделения генеральной совокупности на части: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор;

36

– отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части: а) механический отбор; б) типический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным (рис. 10) называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают (повторный отбор) в генеральную совокупность.

Механическим (рис. 11) называют отбор, при котором генеральную совокупность делят на n групп по числу объектов в выборке, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% из 100 объектов, то отбирают каждый пятый объект, а если требуется отобрать 5% объектов, то отбирают каждый двадцатый объект и т. д.

Типическим (рис. 12) называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее типичной части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор делается не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.

Типическим отбором пользуютсятогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Серийным (рис. 13) называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

37

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

5. Статистические признаки

Всеобъекты (элементы), составляющиегенеральнуюсовокупность, должны иметьхотябы один общий признак,позволяющий классифицировать объекты и сравнивать их друг с другом (размер, вес, пол, возраст, спортивнаяквалификация и т. п.).Наличиеобщегоизменяющегося(статистического) признака является основой для образования статистической совокупности. Таким образом, статистическая совокупность представляет собой результаты описания или измерения общих изменяющихся признаков объектов исследования. Признаки делятся на качественныеи количественные.Качественныминазываютсяпризнаки, которыми объект обладает или не обладает. Они не поддаются непосредственному измерению. К таким признакам можно отнести: образование, специальность, тип личности, цвет волос, цвет кожи, национальность и т. д.

Количественными называютсяпризнаки, которыеявляются результатом измерения или подсчета. Они бывают дискретными и непрерывными. Дискретные признаки могут принимать лишь отдельные числовые значения. Примеры дискретных признаков: число попаданий в мишень в серии выстрелов, число подтягиваний на перекладине, число прожитых лет, число автомобилей на стоянке, число заключенных в колонии. Непрерывные признаки могут принимать любые значения в определенном интервале. Это, например, температура тела человека, скорость движения, размер изготовленной на станке детали.

Отдельныечисловыезначенияизменяющегося(варьирующего)признака называютсявариантами. Вариантыпринято обозначать строчными буквами конца латинского алфавита: х, у, z.

38

6. Обработка данных. Вариационные ряды

Выборочные статистические данные, полученные в ходе эксперимента, называются экспериментальными (эмпирическими). Они представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел, которое сложно анализировать. Для изучения закономерностей изменения значений случайной величины повыборочной совокупности опытныеданные подвергают обработке, которая всегда начинается с их группирования. Это процесс систематизации, или упорядочения, первичных данных, заключающийся в формировании из них групп с одинаковыми характеристиками. В большинстве случаев группировка сводится к представлениюданных ввидевариационныхрядов(статистическихтаблиц). Они бывают двух типов: интервальные и безынтервальными.

В безынтервальном вариационном ряду группировка производится непосредственнопозначениямисследуемогопризнака, т. е. каждуюгруппу образуют признаки, имеющие одинаковое значение. Безынтервальный вариационный ряд применяется в тех случаях, когда исследуемый признак изменяется дискретно и слабо. В интервальном вариационном ряду каждая группа представлена интервалом значений исследуемого признака.Интервальный вариационныйрядстроится, еслиисследуемый признакизменяетсянепрерывно, ноиспользуетсяидлядискретныхпризнаков, изменяющихся в широких пределах.

Последовательность обработки рассмотрим на простом примере с небольшим числом дискретных экспериментальных данных. У группы молодых людей, подозреваемых в мошенничестве, изъята игральная кость. Требуетсяопределить, неявляетсяли данная игральнаякость орудием мошенничества. Для проверки данного предположения произведено десятикратное подбрасывание игральной кости и получены следу-

ющие результаты: 5, 6, 3, 6, 4, 1, 6, 6, 2, 5.

Первыйэтап обработки экспериментальных данных –их ранжирование. Операция, заключающаяся в том, что полученные в результате эксперимента числовые значения изменяющегося признака располагают в порядке неубывания, называется ранжированием данных. Для рассматриваемого примера с дискретными данными ранжированный ряд имеет следующий вид: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6. Десять значений ряда образуют шесть групп с одинаковыми значениями данных.

Числовое значение изменяющегося (варьирующего) признака, соответствующееотдельнойгрупперанжированногорядаэкспериментальных данных, называется вариантом, а изменение этогозначенияварьированием. Варианты обозначают строчными буквами конца латинского алфавита с соответствующими порядковому номеру группы индексами.

39

На втором этапе по результатам ранжирования строят вариацион-

ный ряд частот. Дискретным вариационным рядом частот называется ранжированная совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами mi, где i – индексварианта. Частотой варианта называетсячисленность соответствующей группы ранжированного ряда наблюдаемых данных.Длярассматриваемогопримера вариационныйрядчастотпредставлен ниже.

Отношение частоты данного варианта mi к сумме частот всех вариантов n называется частостью и обозначается рi, где i – индекс варианта. Частость используется для построения дискретного вариационного рядачастостей.Длярассматриваемогопримераонимеетследующийвид:

pi 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4

Частость есть статистическая вероятность появления варианта и представляет собой выборочный аналог (вычисленный по выборочным данным)вероятностипоявлениязначенияхi,случайнойвеличиныX.Как известно, вероятности выпадениягранейобычной игральной костиодинаковы – один к шести. В полученном вариационном ряду частости для пятой и шестой варианты существенно отличаются от остальных, на основании чего можно сделать вывод о несимметричности проверяемой игральной кости.

Интервальный вариационный ряд

Еслиизучаемый признакявляетсянепрерывнойвеличиной, тогруппировка поего значениям нецелесообразна, таккак экспериментальные данные практически не будут содержать одинаковых значений исследуемого признака.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретного признака, число возможных значений которого велико. В подобных случаях нужностроить интервальный вариационный ряд распределения. Для построения такого ряда весь диапазон варьирования наблюдаемых значений исследуемого признака разбивают на ряд интервалов иподсчитываютчастотупопаданияотдельных значенийпризнака вкаждый интервал.

Интервальным вариационным рядом частот (частостей) называ-

ется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений

40