Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

10. Проверка статистических гипотез

Поскольку статистика имеет дело со случайными величинами, то большинство статистических вычислений сопровождается проверкой некоторых гипотез о свойствах этих величин.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое требуется проверить по имеющимсяданным. Человек постоянно выдвигаети экспериментальнопроверяет различные гипотезы. При этом сохраняется следующий общий порядок: формулируется гипотеза («Наверное, моего друга еще нет дома»), планируется эксперимент, причем заранее известно, какой результат приведет к принятию гипотезы («Позвоню ему по телефону, если никто не подойдет, то его нет дома»); затем эксперимент выполняется и гипотеза принимается или отвергается. При этом практически всегда имеется некоторая вероятность ошибочного решения по результатам эксперимента (друг принимал дома душ и не слышал звонка или был ошибочно набран не его номер). Все эти черты присущи и статистической проверке гипотез, толькоздесь порядокдействийстрого формализован.

11. Понятие нулевой и альтернативной гипотезы

Нулевая гипотеза – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие: различий, влияния фактора, эффекта; равенство нулю значений выборочных характеристик и т. п. Примером нулевой гипотезы является утверждение о том, что различие уровня преступности в двух районах города вызвано лишь случайными причинами.

Другое проверяемое предположение называется конкурирующей, или альтернативной, гипотезой. Так, для упомянутого выше примера нулевой гипотезы одна из возможных альтернатив будет определена как более низкий уровень преступности в одном из сравниваемых районов города, определяется влиянием неслучайных факторов, допустим, большим числом профилактических мероприятий.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Так как проверку производятстатистическимиметодами, то даннаяпроверканазываетсястатистической. При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов:

– можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

51

–можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле неверна (ошибка второго рода).

Уровеньзначимости –этовероятностьошибкипервогородаприпри- нятии решения(вероятность ошибочного отклонениянулевой гипотезы).

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергаетсянулевая гипотеза. Нулеваягипотеза отвергается, когда различия в сравниваемых выборках настолько значимы, что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

–первый уровень (5%); допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

–второйуровень (1%);возможна ошибкатольководномслучаеизста;

–третий уровень (0,1%) – ошибка только в одном случаеиз тысячи. Статистика критерия – некоторая функция от исходных данных,

по значению которой проверяется нулевая гипотеза.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипотеза, называется критерием проверки данной гипотезы. Статистический критерий – этослучайнаявеличина, котораяслужит для проверки статистических гипотез. Критическая область – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу отверга-

ют. Область принятия нулевой гипотезы (область допустимых значе-

ний) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

1)задаетсядопустимаявероятностьошибкипервогорода(Ркр = 0,05);

2)выбирается статистика критерия;

3)отыскивается область допустимых значений;

4)по исходным данным вычисляетсязначение статистики критерия;

5)если статистика критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

12.Корреляционный анализ

Впроцессестатистическогоисследованиячастотребуетсявыяснить, как связаны между собой два или более признаков в одной или в нескольких изучаемых выборках. Связанные признаки делятся на незави-

52

симые(Х)изависимые(Y).Признаки,обусловливающиеизменениядругих, связанных с ними признаков, называются факторными или факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называютсярезультативными.

Между независимыми и зависимыми признаками может существовать функциональнаяили стохастическаясвязь. Зависимость признака Yот Х называется функциональной, если каждомузначению признака Х соответствует единственное значение признака Y. Гораздо чаще в окружающемнасмиревстречаетсястохастическая,или вероятностная,связь.

Зависимость признака Yот Х называется стохастической, если каждому значению признака Х соответствует не одно, а множество значений признака Y, причем нельзя сказать заранее, какое именно значение примет признак Y. Наличие такой зависимости объясняется действием на результативный признак наряду с контролируемым фактором (признак Х) множества неконтролируемых случайных факторов. Стохастическая зависимость называется корреляционной, если при изменении независимого признака Х изменяется среднее значение зависимогопризнака Y. Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительного или отрицательного) и формы (линейной, нелинейной) связи между варьирующими признаками, измерению ее степени и, наконец, кпроверке уровнязначимости полученных коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции

Для характеристики корреляционной зависимости между признаками Х и Y используется безразмерная величина r, называемая коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции можно рассчитать по формуле

где X Y – среднее значение произведений признаков Х и Y; X – среднее значение признака X; Y – среднее значение признака Y; (X) – стандартное отклонение признака X; (Y) – стандартное отклонение признака Y.

Стандартные отклонения рассчитываются по формулам

(X) = (X 2 - X 2) и (Y) = (Y2 - Y 2) .

Случайные величины Х и Yназываютсянекоррелированными, если r = 0, и коррелированными, если r 0.

Корреляционные связи различаются формой, направлением и силой.

53

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной является, например, связь между количеством залитого в бак автомобиля бензина и дальностью поездки. Криволинейной может быть, например, связь между количеством тренировок и спортивными достижениями. При увеличении числа тренировок спортивные показатели сначала растут, а при превышении критического уровня начинают снижаться из-за усталости спортсмена от перегрузок.

По направлению корреляционная связь может быть положительной (прямой)иотрицательной(обратной).Приположительнойпрямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют болеевысокиезначениядругого, аболеенизким – более низкие. При отрицательной корреляции соотношения обратные. При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, например r= +0,207, приотрицательной корреляции – отрицательный (r= -0,207).

Сила или степень корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции. Максимальное возможное абсолютное значение коэффициента корреляции r = 1,00, минимальное – r = 0,00.

Взависимостиотабсолютной величиныкоэффициента корреляции различают следующие типы корреляционной связи:

13. Регрессионный анализ

Слово «регресс» является антонимом «прогрессу», но в математической статистике оно имеет другой смысл. Впервые этот термин был использован Ф. Гальтоном приописаниирезультатов исследований биологической наследственности. В одной из своих работ Ф. Гальтон привел пример, показывающий, чтоу высоких отцов – высокиедети, но все же в среднем не столь высокие, как отцы. Аналогично, у невысокого родителядети небольшогороста,новсеженетакиемаленькие, какотцы. Этутенденциюизбранныхпонекоторымпоказателям группприближаться к среднему показателю популяции, а не воспроизводить средний по-

54

казатель родителей, Ф. Гальтон и назвал регрессией по направлению к среднему.

Регрессионный анализ –видстатистическогоанализа,используемый дляпрогнозирования. Регрессионныйанализпозволяетоценитьстепень связи между переменными с помощью механизма вычисления предполагаемогозначенияпеременнойизнесколькихуже известных значений.

Впроцессерегрессионногоанализапоизвестнымзначениям признаков X иYустанавливаетсяфункциональнаясвязь междуними исоставляется уравнение регрессии, по которому можно определять неизвестные значения Y путем подстановки соответствующих значений X. Уравнение регрессии иногда называют эмпирической формулой, т. е. формулой, полученной на основании результатов эксперимента, опыта.

Например, если между параметрами X и Y существует линейная связь, то в этом случае уравнение регрессии имеет вид

Y = а0 + а1 X,

где а0 , а1 – коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициент а0 является средним значением Y в точке X = 0, а коэффициент а1 имеет смысл показателя степени связи между признаком X и признаком Y. Уравнение регрессии показывает, какизменяется среднее значение признака Y при изменении признака X. Знак а1 задает направление этого изменения.

Коэффициенты уравнения а0 и а1 могутбыть найденыметодом наименьших квадратов. Суть метода заключается в том, что коэффициенты а0 и а1 подбираются так, чтобы для любого значения Хi (i = 1, 2... n), сумма квадратов разностей между эмпирическими значениями признака Yi и значениями, рассчитанными по уравнению регрессии, была минимальной. Для упрощения расчета коэффициентов а0 и а1 можно воспользоваться следующими формулами, дающими тот же результат:

Уравнениерегрессии можнолегкополучить, используясоответствующиепрограммныесредства. Такие возможности имеет, например, табличный процессор Excel.

14. Линии тренда

Линия тренда – это линия регрессии, которая аппроксимирует точки эмпирически полученных данных.

55

Рассмотрим примерпостроения линии тренда для представленного ниже ряда эмпирических данных.

Точечнаядиаграмма, построеннаяпоэтимданным, приведенаниже.

Чтобы добавить линию тренда на диаграмму, нужно выделить имеющийся на диаграмме ряд данных (щелкнуть левой кнопкой мыши по одной из точек) и выбрать команду «Добавить линию тренда» в меню «Диаграмма». В результате на экран будет выведено окно диалога «Линия тренда» (рис. 19). Характер зависимости между анализируемыми параметрами определяетвыбор в этом окнерисунка (типа) аппроксимирующейлиниитренда – линейный,логарифмический,полиномиальный, степеннойили экспоненциальный.Дляданногопримера нужновыбрать степенную линию тренда и перейти во вкладку «Параметры».

Рис. 19. Окно установки параметров линии тренда

В этой вкладке число периодов для составления прогноза установим равным пяти, а с помощью переключателей укажем на необходимость отображенияна диаграмме уравнения регрессии и величины достоверностиаппроксимацииR2.Достоверностьаппроксимации –эточисло от 0 до1, котороеотражаетблизость значений линии тренда к фактическим данным. Чем больше величина этого показателя, тем достовернее линия тренда.

56

После щелчка мышью по кнопке «ОК» на диаграмму будет добавлена линия тренда (рис. 20) с коэффициентом R2 = 1 и уравнением регрессии, по которому можно рассчитать неизвестные значения Y путем подстановки новыхзначений X.Если X = 10,тоY = 4,1888 102 = 418,88.

Рис. 20. Линия тренда

§ 5. Основы оптимизации

Оптимизация в любой сфере деятельности состоит в достижении максимальногоили минимальногозначенияпоказателяполезности(критерий оптимальности) при выполнении ограничений на используемые ресурсы. В математической форме критерий оптимальности имеет вид U = F(X, Y), где Х = (х1, х2… хn) – множество управляемых параметров, а Y = (y1, y2… ym) – множество неуправляемых параметров.

Ограниченность ресурсов выражается в том, что управляемые параметры должны удовлетворять неравенствам вида ximin xi ximax (i = 1, 2… n) или функциональным ограничениям f(x) < 0, f(x) > 0, f(x) = 0. Данные ограничения выделяют в пространстве управляемых параметров область допустимых значений. Решение оптимизационной задачи состоит в том, чтобы в этой области найти набор управляемых параметров X*, при которых критерий оптимальности принимает оптимальное значение: U = F(X*, Y) = min или U = F(X*, Y) = max.

Наиболее популярным направлением решения оптимизационных задач является линейное программирование. Методами линейного программирования решают такие задачи оптимизации, в которых критерий и ограничениялинейны относительноуправляемыхпараметров. Одним из основоположников этого направления является академик Л. В. Канторович, разработавший в годы Великой Отечественной войны метод оптимального раскроя материала для пошива солдатских сапог.

Критерий в задачах линейного программирования имеет вид F(x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn, где (х1, х2… хn) – множество управляемых па-

57

раметров, а (с1, с2… сn) – множество постоянных коэффициентов, играющее роль неуправляемых параметров. На управляемые параметры накладываются ограничения вида линейных равенств или неравенств:

где i + j + k = n.

Вчастном случаеограничениямогутбыть условияминеотрицательности (неположительности) управляемых параметров (например, xi 0,

i = 1, 2… n) или их нахождения в заданных пределах (xi min xi xi max, i = 1, 2… n).

Как уже говорилось, ограничения задают область допустимых значений переменных, в которой должен находиться искомый оптимум.

Рассмотримрешениезадачилинейногопрограммированиянапростом примересдвумяпеременными.ПустьзаданыкритерийF(x1,x2) = с1 x1 +

с2 x2 и ограничения bн а1 x1 + а2 x2 bв, где bн и bв – верхняя и нижняя границы действия условий. Если из этих условий убрать знаки

порядка(< и>)и оставить знаки равенства,тополучатсяуравнениядвух

параллельных прямых: x2 = bв - (a1 / a2) x1 и x2 = bн - (a1 / a2) x1. Между этими прямыми расположена область допустимых значений (ОДЗ)

(рис. 21).

Область допустимых значений

Верхняя граница

Нижняя граница

Рис. 21. ОДЗ

Ограничений вида bн а1 x1 + а2 x2 bв может быть несколько, и каждое из них задает на плоскости (х1, х2) пару параллельных прямых. Их совокупность выделяет область допустимых значений, которая может иметь достаточно сложную форму, как, например, на рис. 22. При назначении ограничений может возникнуть ситуация, когда область допустимых значений не существует (рис. 23). Этоозначает, что ограничения противоречивы и «запрещают» любое решение оптимизационной задачи.

58

Область допустимых значений в двумерной задаче линейного программирования (рис. 22) есть выпуклый многоугольник. Для трехмерного пространства переменных эта область превращается в выпуклый многогранник допустимых значений.

Идею поиска оптимального решения рассмотрим на примере той же двумерной задачи с критерием F(x1, x2) = с1 x1 + с2 x2. Если вместо F(x1, x2) в критерий подставлять константы qi (i = 1, 2… n), то получим уравнениядлясемействапараллельныхпрямыхлиний видаx2 = (qi / c2) - (c1 / c2) x1, где параметр qi / c2 задает точку пересечения прямой с осью (0, x2), а коэффициентc1 / c2 – ееуголнаклона. Каждаятакаяпрямаяесть множество точек, в которых значения критерия оптимальности одинаковы. Еслиналожить прямуюлинию x2 = (qi / c2) - (c1 / c2) x1на область допустимых значений, то, изменяя qi, можно ее двигать в направлении, перпендикулярном линии, – вверх при поиске максимума и вниз при поиске минимума. Причем, если ни одна пара границ области допустимых значений не параллельна рассматриваемой линии, то существует только одно оптимальное решение, которое находится в вершине многогранникаобласти допустимыхзначений(рис. 24). Иначеоптимальных решений будетмного ивсе онилежатнаодной изграниц, параллельных линии с одинаковым значением критерия оптимальности (рис. 25).

Рис. 24. Одно решение Рис. 25. Множество решений

59

В реальных условиях, когда количество переменных больше трех и числоограничений, а следовательно, и вершин многогранника допустимых значений велико, поиск решения задачи линейного программирования существенно усложняется. В этих условиях прямой перебор вершин нецелесообразен из-за значительных временных затрат. Поэтому применяют алгоритмы направленного перебора, позволяющие резко сократить количество вычислительных операций (шагов) при поиске оптимального решения. Наиболее популярным методом направленного перебора является симплекс – метод, для которого строго доказана сходимость за конечное число шагов.

Рассмотрим процесс решения линейных оптимизационных задач в табличном процессоре Excel на классических примерах.

1. Транспортная задача

Суть транспортной задачи заключается в составлении оптимального плана, позволяющего минимизировать затраты на перевозку продукции отнескольких производителей однородных изделий, например продовольствия, нескольким потребителям.

Пусть имеется два производителя (Пр1 и Пр2), выпускающих соответственно девять и четыре одинаковых изделияежедневно. Пусть имеется также три потребителя (Пт1, Пт2 и Пт3), ежедневная потребность которыхв изделияхуказанныхпроизводителей составляетсоответственно четыре, три и шесть штук. Так как производители и потребители расположены друг от друга на различных расстояниях, то неодинаковы и затраты на перевозку одного изделия от конкретного производителя к конкретному потребителю. Для данной задачи матрица затрат выглядит следующим образом:

Иначе говоря, доставка одного изделия от первого производителя (Пр1) ко второму потребителю (Пт2) обходится в 17 у. е., а от второго производителя к этому же потребителю – в 14 у. е. Требуется составить такой план перевозок, который полностью удовлетворяет потребности потребителей, не превышает объем производства производителей и минимизирует суммарные транспортные затраты.

Решение данной задачи может быть найдено с помощью функции «Поиск решения» в табличном процессоре Excel, но для этого требуется

60