Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

предварительно составить математическую модель задачи. При построении модели требуется:

1)определить переменные параметры, т. е. величины, изменяя которые можно изменять результат решения;

2)найти целевую функцию, т. е. построить математическое выражение, устанавливающее зависимость оптимизируемого параметра от варьируемых параметров;

3)определить ограничения, которым должны удовлетворять переменныепараметры.

Переменныепараметры для данной задачи – количестводоставляе-

мых изделий от i-го производителя к j-му потребителю – Nij (i = 1, 2,

а j = 1, 2, 3).

Целевой функцией является общая сумма затрат на перевозки изделий от производителей к потребителям. Затраты на доставку изделий Zij равныпроизведению количествадоставляемых изделийNij настоимость

доставки Sij, т. е. Zij = Nij Sij.

При решении данной задачи необходимо обеспечить выполнение следующих ограничений:

1)количество доставляемых изделий от i-го производителя к j-му потребителю не должно быть меньше нуля;

2)количество доставляемых изделий от i-го производителя должно быть равно количеству изготовленных им изделий;

3)количество доставляемых изделий к j-му потребителю должно быть равно его потребности в этих изделиях.

Для поиска оптимального решения по составленной модели построим несколько таблиц в табличном процессоре Excel по представленному ниже образцу (рис. 26) и введем в ячейки этих таблиц формулы, необходимыедля вычислениязначения целевой функции и ограничений.

Таблица «Затраты наперевозкуединицыпродукции»содержитформулировку задачи в табличной форме.

Таблица «План доставки» содержит исходные (единичные) значения количества перевозимых изделий от производителей потребителям. Содержимое ячеек этой матрицы – это переменные величины, от изменения которых зависит целевая функция. Справа от таблицы записаны формулы для суммирования значений в строках. При поиске оптимальногозначенияцелевойфункциисуммыдляверхнейинижнейстрокдолжны принять значения 9 и 4 соответственно. Это ограничения на количество изделий, производимых первым (Пр1) и вторым (Пр2) производителями. Снизу от таблицы записаны формулы длясуммирования зна-

61

чений в столбцах. При поискеоптимальногозначения целевой функции суммы для первого, второго и третьего столбцов должны принять значения 4, 3 и 6 соответственно. Это ограничения на количество изделий, потребляемых первым (Пт1), вторым (Пт2) и третьим (Пт3) потребителями. Дополнительным ограничением является требование неотрицательности значений ячеек B11:D12 (количество перевозимых изделий должно быть больше или равно нулю).

Рис. 26. Вид таблиц в табличном процессоре Excel

В ячейках таблицы «Итоговая таблица затрат» (рис. 27) содержатся показанныенижеформулыдляпостроенияцелевойфункции(ячейкаE20).

Рис. 27. Итоговая таблица затрат

Формулы в ячейках этой таблицы служат дляопределения затрат на перевозку от конкретного производителя конкретному потребителю. Например, по формуле в ячейке В18 вычисляется произведение стоимости перевозки одного изделия (ячейка B4) на количество доставляемых изделий (B11) от первого производителя к первому потребителю. Ре-

62

зультаты умножения из верхней и нижней строк суммируются в ячейках E18 и E19 соответственно. В целевой ячейке E20 вычисляется итоговая сумма затрат.

После ввода информации в ячейки следует в меню «Сервис» выбрать функцию «Поиск решения». В результате на экран будет выведено одноименное диалоговое окно (рис. 28).

Рис. 28. Окно установки параметров поиска решения

В качестве целевой ячейки в этом окне следует установить ячейку E20 (установить курсор в поле ввода целевой ячейки, а затем щелкнуть левой кнопкой мыши по ячейке E20).

Переключатель выбора вида поиска нужно перевести в положение «минимальномузначению».

При вводе изменяемых ячеек следуетустановить курсор в поле ввода изменяемых ячеек, а затем выделить диапазон ячеек B11:D12.

Для ввода первогоусловия нужно нажать на кнопку «Добавить» и в появившемся на экране диалоговом окне «Добавление ограничения» (рис. 29) последовательно ввести: B11 – в левое поле ввода; >= – в центральное поле ввода; 0 – в правое поле ввода. После нажатия кнопки «Добавить» произойдет ввод данного условия. Остальные условия вводятся аналогично.

Рис. 29. Окно ввода ограничений

63

Активизироватьфункцию «Поискрешения»можнопослевводавсех условий путем нажатия на кнопку «Выполнить» в окне «Поиск решения». После этого на экран выводится окно «Результаты поиска решения», а модель транспортной задачи примет следующий вид (рис. 30).

Рис. 30. Модель транспортной задачи

В таблице «План доставки» получен оптимальный план, при котором всеограничения выполнены, целевая функция в таблице «Итоговая таблица затрат»минимальна и равна 211 у. е.

2. Задача оптимизации плана производства

Другим классическим примером оптимизационной задачи является задачаоптимизации планапроизводства. Задачазаключаетсяв том, чтобы при ограничениях на запасы сырья составить план производства изделий, позволяющий получить максимальную прибыль от их продажи.

Пусть предприятие производит два вида изделий – И1 и И2. Прибыльотреализациипервогоивторогоизделий составляетсоответственно 14 и 16 у. е.Дляих производства используетсятри видасырья – № 1, 2 и 3, запасы которых на складе составляют соответственно 300, 200 и 100 единиц измерения. На одно изделие И1 затрачивается 14 единиц сырья № 1, 7 единиц сырья № 2 и 3 единицы сырья № 3. На одно изделие И2 затрачивается 12 единиц сырья № 1, 9 единиц сырья № 2 и 7 единиц сырья № 3. Требуется определить, какое количество изделий каждого

64

вида должно производить предприятие, чтобы не превысить запасы сырья и получить максимальную прибыль.

Длярешениязадачисоставимматематическуюмодель данногопроизводства. Исходя из условий задачи, построим целевую функцию и запишем ограничения в виде системы неравенств. Целевая функция – это общаяприбыльотреализацииизделийпервогоивтороговида –14 N1+ 16 N2, где N1 и N2 – число произведенных изделий первого и второго вида. Ограничениями для данной задачи являются:

1)14 N1 + 12 N2 <=300;

2)7 N1 + 9 N2 <=200;

3)3 N1 + 7 N2 <=100;

4)N1 >= 0;

5)N2 >= 0.

Для решения задачи в табличном процессоре Excel построим две таблицы по образцу (рис. 31).

Рис. 31. Вид таблиц в табличном процессоре Excel

Целеваяфункциянаходится вячейке C4первойтаблицы, вней суммируется прибыль от реализации изделий первого вида (ячейка C2) и второго вида (ячейка C3). Ячейки B2 и B3 содержат количество производимых изделий каждого вида. Это переменные данной задачи, исходное значениекоторых принимается равным нулю. Поиск максимума целевой функции будет производиться путем подбора значений этих переменных.

Во второй таблице приведены количество имеющегося на предприятии сырья трех типов и формулы для расчета расхода сырья на производство каждого из изделий. Приведенные здесь значения будут использоваться для задания ограничений при поиске максимума целевой функции.

После составления и заполнения таблиц следует выбрать команду «Поиск решения» из меню «Сервис». В появившемся на экране диалоговом окне (рис. 28) нужно установить целевую ячейку C4, переключатель выбора вида поиска перевести в положение «максимальному значению», в качестве изменяемых ячеек выбрать ячейки B2 и B3, а в поле «Ограничения» ввести пять рассмотренных выше нера-

65

венств. После нажатия на кнопку «Выполнить» окна «Поиск решения» решение задачи будет отображено в ячейках первой и второй таблиц (рис. 32).

Рис. 32. Вид решения задачи

Такимобразом, максимальноезначениеитоговойфункции – 332 у. е.– получается при производстве 15 изделий первого вида и 8 изделий второго вида, при этом полностью израсходованы запасы сырья № 1, 3 и остается незначительное количество сырья № 2.

После знакомства с примерами линейных оптимизационных задач рассмотрим упрощенный вариант нелинейной задачи, заключающийся в поиске максимума нелинейной функции.

3. Задача нелинейного программирования

Если математическая модель исследуемого процесса или ограничения на значения ее параметров нелинейны, то задача достижения цели является задачей нелинейного программирования. Такие задачи также можно решать с помощью функции «Поиск решения» в табличном процессоре Excel.

Найдем, например, минимум нелинейной функции y = x3 - 7x2 для неотрицательных значений х. Поиск экстремума функции следует начать сопределения участка еелокализации(т. е. участка, накотором следует искать требуемое значение функции). Участок локализации можно найти, например, путем табуляции и построения графика. Ниже представлен результат табуляции функции y = x3 - 7x2, а график, построенный по этим данным, показан на рис. 33.

Согласнографикуфункцияимеетминимумнаинтервале0 x < 8. Для поиска решения в табличном процессоре Excel потребуется всего две ячейки. Введем, например, в ячейку A2 начальноезначениеx (1), а в ячейку B2 – целевую функцию (= A2^3 - 7 A2^2), как показано в приведенной ниже таблице слева (рис. 34).

66

Рис. 33. График функции y = x3 - 7x2

Рис. 34. Вид таблиц в табличном процессоре Excel

Затем следует выбрать команду «Поиск решения» из меню «Сервис»иввести требуемыезначениявполяпоявившегосядиалоговогоокна (рис. 35),т. е. в поле«Установить целевуюячейку:»ввестиB2, переключатель выбора вида поиска («Равной:») перевести в положение «минимальномузначению», вполевводаизменяемых ячеекввестиA2,а вполе ввода ограничений ввести ограничения:A2 >= 0; A2 <= 8.

Ввод ограничений производится в окне «Добавление ограничения» (рис. 29). Для вывода этого окна на экран следует в окне «Поиск решения» нажать кнопку «Добавить».

Рис. 35. Окно установки параметров поиска решений

После нажатия на кнопку «Выполнить» найденное решение будет отображено в ячейках A2 и B2 рабочего листа (рис. 34 справа).

67

Литература

1.Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

2.Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1974.

3.Тарасов Л. В. Мир, построенный на вероятности. – М.: Просве-

щение, 1984.

4.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964.

5.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1975.

6.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.

7.ДоджМ.,Кината К.,СтинсонК.ЭффективнаяработасMicrosoft Excel 97. – СПб.: Питер, 1999.

8.Информационные технологии управления в органах внутренних дел: учебник / под ред. Ю. А. Кравченко. – М.: Академия управления МВД России, 1998.

68

69

70