Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

вращение ее в лед при охлаждении ниже 0° С; расширение тел при их нагревании.

Примеры невозможных событий: составление из цифр 1, 2, 3 и 4 четырехзначного числа кратного 5; извлечение черного шара из емкости, содержащей только белые шары, наступление зимы после весны, совершение преступления в состоянии обморока.

Примерыслучайныхсобытий:составлениетрехзначногочисламеньшего 300 из цифр 1, 2 и 3; три попадания при трех выстрелах; ежедневное число покупателей магазина, продолжительность жизни человека; соотношение курсов валют; числопреступлений за определенный период времени в каждом году.

Влюбой наукеесть понятия, на которые она опирается, поэтому рассмотрим далее основные понятия элементарной теории вероятностей.

2.Основные определения

1.Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно повторить многократно при соблюдении определенного комплекса условий,

втеории вероятностей принято называть испытанием.

Под соблюдением комплекса условий данного испытания понимается постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть

икоторые вносят элемент случайности в результаты испытания.

2.Пространствомэлементарныхисходовназываетсямножество,

содержащее все возможные результаты данного испытания, из которых в испытании происходит ровно один. Элементы этого множества назы-

вают элементарными исходами.

3.Событием называется любой возможный элементарный исход испытания.

4.Достовернымсобытиемназываетсятакойисходиспытания, который в данных условиях происходит всегда.

5.Невозможным событием называется такой исход испытания, который в данных условиях никогда не произойдет.

6.Случайным событиемназывается такой исход испытания, который в данных условиях может и произойти, и не произойти.

7.События А1, А2… Аn называются равновозможными, если их исходы равноправны (симметричны) в данном испытании и в конкретных

условиях.

21

8.СобытияА1,А2… Аn называютсянесовместнымив данномиспытании, если появление любого из этих событий исключает появление любого другого из этих событий, и совместными в противном случае.

9.События А1, А2… Аn составляют полную группу событий в данном испытании, если в результате опыта хотя бы одно из этих событий обязательно произойдет.

Если события, составляющие полную группу, несовместны, то в результате испытания произойдет ровно одно событие; если события, составляющие полную группу, совместны, то в результате испытания может произойти более чем одно событие.

10.Два несовместных события в одном испытании называются противоположными, если они составляют полную группу событий. Если одно из противоположных событий обозначено А, то другое обозначают A (неА).

11.Элементарными событиями в данном испытании называют несовместные равновозможные события, составляющие полную группу.

3. Вероятность случайного события

Степень нашей уверенности в том, что данное событие в конкретных условиях произойдет, характеризуют вероятностью, которая может принимать значение от 0 до 1 в зависимости от того, насколько это событие случайно. Невозможные события имеют нулевую вероятность, достоверные происходятс вероятностью единицы (такиесобытия называют не случайными, а детерминированными), а для случайных событий теория вероятностей предлагает несколько способов вычисления вероятности.

Вероятность события – численное выражение возможности его наступления. Один из способов нахождения вероятности события основан на использовании схемы или модели случайных событий. Этотпуть называется статистическим моделированием. Оно обычно применяется в случаях, когда эксперимент невозможен, например, когда он требует значительных временных затрат, дорог, опасен или приводитк разрушению объекта исследования (проверка сейсмической стойкости зданий и сооружений, надежности летательныхаппаратов и системы безопасностиавтомобилей, испытаниеточностиракетногооружия, мощности ядерных зарядов и т. д.).

Простейшими схемами случайных событий, позволяющими определить степень вероятности непосредственно из условий испытаний, являются классическая и геометрическая модели.

22

4. Классическое определение вероятности

Классическая модель соответствует классическому определению вероятности.

Классическим считается определение вероятности, которое было сформулировано французским ученым П. Лапласом в 1800 г. для конечного числа равновозможных исходов случайного события.

Вероятностью (Р) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в данном опыте:

Р(А) = m / n.

Как правило, значения m и n вычисляют с помощью формул комбинаторики.

Элементарное событие В называется благоприятствующим событию А,еслиприпоявлениисобытияВсобытиеАтакжевсегдапоявляется.

Рассмотрим типичный пример теории вероятностей – бросание игральной кости. Этому эксперименту соответствует шесть элементарных событийпочислучиселна гранях игральной кости. Пусть насинтересует случайное событие А, которое заключается в выпадении четного числа очков. Этому событию благоприятствуют три элементарных события – выпадение чисел 2, 4 или 6. Согласно классическому определению, вероятность выпадения четного числа очков Р(А) = 3 / 6 = 1/2.

5. Геометрическое определение вероятности

Геометрическая модель может быть построена на основе геометрического определения вероятности.

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов случайного события бесконечно.

Вероятность случайного события есть отношение площади области, благоприятствующей появлению события, к площади всей области.

В качестве примера, иллюстрирующего приведенное определение, рассмотрим следующую задачу. Два человека договорились о встрече в определенном месте, между 13.00 и 14.00 ч. и условились, что каждый ждет другого в течение четверти часа, а затем уходит. Какова вероятность, что они встретятся?

Если время прихода первого и второго человека в условленное место отмечать в плоской системе координат на осях Х и У соответственно, то схему случайных событий для данной задачи можно представить в виде квадрата. На рис. 6 все возможные исходы лежат в пределах квад-

23

рата со стороной один час, а заштрихованная область – это благоприятные исходы. Вероятность встречи равна отношению площади заштрихованной части ко всей площади квадрата.

Рис. 6. Возможные исходы

Площадь области благоприятных исходов равна разности площадей всего квадрата и незаштрихованной части. Для удобства расчетов час разделим на четыре четверти. Тогда площади всего квадрата и незаштрихованной части равны 4 4 = 16 и 3 3 = 9 соответственно, а площадь заштрихованной части (области благоприятных исходов) – 16 - 9 = 7. Значит, вероятность встречи равна 7/16.

Альтернативный путь определения вероятности основан на проведении эксперимента.

6. Статистическое определение вероятности

Приведенные выше способы определения вероятности для классических условий непригодны для вычисления вероятности неравновозможных случайных событий. В таких случаях используется статистическое определение вероятности.

Пусть в результате проведения n испытаний событие А появилось ровно m раз. Тогда числоm называется частотой события, а отношение m / n – частостью (относительной частотой) события. Частость события при большомчислеповторений испытания будетстремитьсяквполне определенному числовому значению, приблизительно равному вероятности событияА, чтоназываетсястатистической вероятностьюсобытия А.

Математически неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim) при n, стремящемся к бесконечности ( ), поэтому формула для статистической вероятности имеет вид:

m

Р(А) = limn n

24

Следует отметить, что приведенное определение вероятности не может быть экспериментально проверено, так как на практике нельзя реализовать бесконечно большое число повторений испытания.

Таким образом, для экспериментального нахождения вероятности события нужно проводить эксперименты и определять частоту появления события,которая тем точнее будетсоответствовать вероятности, чем больше экспериментов проведено.

7. Свойства вероятности

Рассмотрим основные свойства вероятности события. 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как событие достоверно, то благоприятствующими ему будут все элементарныесобытия, т. е. m = n и Р(А) = m / n = n / m = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Пусть А – невозможное событие, т. е. оно никогда

не происходит, следовательно, оно не происходит ни при каком элементарном событии, т. е. m = 0. Тогда Р(А) = m / n = 0 / m = 0.

3. Если А – случайное событие, то 0 < P(А) < 1.

Доказательство. Поскольку А – случайное событие, то при некоторых элементарных событиях оно появляется, а при остальных нет. Таким образом, 0 < m < n.

Разделим этодвойноенеравенствона n > 0.Получаем 0 / n < m / n < n / n и 0 < m / n < 1. Отсюда 0 < Р(А) < 1.

4. Если А и A – противоположные события, то Р(А) + Р(A) = 1. Доказательство.Если изnэлементарныхсобытийчислоэлементар-

ных событий, благоприятствующих событию А, равно m, то Р(А) = m / n. Появлению события A благоприятствуют все оставшиеся события, число которых равно n - m, поэтому Р(A) = (n - m) / n.

Теперь найдем сумму вероятностей противоположных событий: Р(А) + Р(A) = m / n + (n - m) / n = n / n = 1,чтоитребовалосьдоказать.

8.Правила сложения и умножения вероятностей

Втеории вероятностей существуют способы, позволяющие находить вероятности, выражая их черезвероятности других событий в данном опыте. Примерами таких способов служат правила умножения и сложения вероятностей.

Суммой конечного числа событий называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. Например, суммой двух событий А и В является событие С = А + В, состоящее в появлении события А или события В, или обоих событий одновременно.

25

Произведением конечного числа событий называется новое событие, состоящее в том, что произойдут все эти события. Так, произведением двух событий А и В является событие С = А В, состоящеев появлении обоих событий одновременно.

Правило сложения вероятностей. Вероятность наступления хотя бы одного из конечного числа событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Для двух событий А и В это правило можно записать следующим образом:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А В).

Если события А и В несовместны, то Р(А В) = 0, следовательно, правило сложения вероятностей примет вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Пример. Два стрелка производят по одномувыстрелув однуцель. Вероятность попадания первого стрелка 0,8, второго – 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Рассмотрим 3 события:

А – цель поражена первым стрелком; В – цель поражена вторым стрелком;

С – цель поражена хотя бы одним стрелком.

Так как события А и В независимы, то поправилам сложения и умножения вероятностей получаем:

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В) = 0,8 + 0,9 - 0,8 0,9 = 0,78.

Два события в одном опыте называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. В противном случае они называются зависимыми.

Несколько событий называются независимыми, если любые два из них независимы.

Для независимых событий правило умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность того, что произойдет сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.

Для зависимых событий правило умножения сложнее из-за необходимости учета условных вероятностей таких событий.

Вероятность события А, вычисленная в предположениях, что событие В уже наступало, называется условной вероятностью и обозначаетсяР(А / В).Если АиВ независимы,тоР(А / В) = Р(А)и Р(В / А) = Р(В). Если А и В зависимы, то Р(А / В) Р(А) и Р(В / А) Р(В).

26

Правилоумножениявероятностей.Вероятностьтого, чтопроизой-

дут сразу несколько зависимых событий А1, А2, А3... Аn равна произведению условных вероятностей этих событий, причем вероятность очередногособытия определяетсяпри условии наступления всех предыдущих.

Р(А1 А2 А3 ... Аn) = Р(А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / (А1 А2)) …

Р(Аn / (А1 А2 А3 … Аn-1).

Пример.Чтобы попасть в помещение,преступник долженоткрытьтридвери, ключи от которых у него имеются. Найти вероятность того, что он откроет все двери за пятнадцать секунд, если каждаядверь открывается ключом за пять,

аключ каждый раз выбирается случайным образом.

Вданном примере будем рассматривать четыре события: А – открыты все двери;

В– открыта первая дверь;

С – открыта вторая дверь; D – открыта третья дверь.

Посколькусобытие А заключаетсяв наступлении всехсобытий В, С и D, то по правилу произведения А = В С D. Следовательно, Р(А) = Р(В С D) =

Р(В) Р(C) Р(D).

Так как, открывая дверь, преступник выбирает один из трех ключей случайно, то события В, C и D имеют одинаковые вероятности:

P(B) = P(C) = P(D) = 1/3. Поэтому P(А) = 1/3 1/3 1/3 = 1/9.

9. Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассматриваемые здесь формулы служат для расчета условных вероятностей. Формула полной вероятности используется для нахождения вероятности зависимого события А, которое происходит после одного из независимых событий В1, В2… Вn, составляющих полную группу. События В1, В2… Вn в таких расчетах называют гипотезами.

По формуле умножения вероятностей найдем вероятность совмещения события А с каждым их событий В1, В2… Вn:

Р(А В1) = Р(В1) Р(А / В1); Р(А В2) = Р(В2) Р(А / В2)...

Р(А Вn) = Р(Вn) Р(А / Вn).

По формуле сложения вероятностей найдем вероятность наступления события А при условии наступления одного из событий В1, В2… Вn:

Р(А) = Р(А В1) + Р(А В2) + … + Р(А Вn) = Р(В1) Р(А / В1) + Р(В2) Р(А / В2) + ... + Р(Вn) Р(А / Вn).

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

27

Рассмотрим пример применения полученной формулы. В ящике находятся 5 белых и4 черныхшарика. Из ящика поодномувынимают два шарика и затем из этих двух выбирают случайно один шарик. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Событие А в данном примере – «вынут белый шар». Для решения задачи введем четыре гипотезы:

В1 – вынуты белый и черный шары; В2 – вынуты два белых шара; В3 – вынуты два черных шара;

В4 – вынуты черный и белый шары.

Так как шары вынимают по одному, то В1 В4.

По теореме умножения вероятностей найдем вероятности гипотез:

Р(В1) = 5/9 4/8 = 20/72 = 5/18; Р(В2) = 5/9 4/8 = 20/72 = 5/18; Р(В3) = 4/9 3/8 = 12/72 = 3/18; Р(В4) = 4/9 5/8 = 20/72 = 5/18.

Далее найдем условные вероятности события А:

Р(А / В1) = 1/2, Р(А / В2) = 1; Р(А / В3) = 0; Р(А / В4) = 1/2.

По формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = Р(В1) Р(А / В1) + Р(В2) Р(А / В2) + Р(В3) Р(А / В3) + Р(В4) Р(А / В4) = 5/18 1/2 + 5/18 1 + 3/18 0 + 5/18 1/2 = 5/9.

Приведенная ниже формула Байеса позволяет найти вероятность любойi-тойгипотезы изгипотезВ1,В2…Вn,составляющихполнуюгруппу, если зависимое от нее событие А произошло:

n

Р(Вi / А) = (Р(Вi) Р(А / Вi)) / Р(Вk) Р(А / Вk).

k = 1

Пример. Из пункта С в пункт D груз можно доставить тремя различными маршрутами.Выбормаршрутаравновероятен,авероятностидоставкигруза при выборепервого,второгои третьегомаршрутов равнысоответственноР(В1) = 0,8; Р(В2) = 0,9 и Р(В3) = 0,4. Какова вероятность того, что был выбран второй маршрут, если груз в пункт D успешно доставлен?

Поскольку выбор маршрута был равновероятен, то условные вероятности случайного события А, заключающегося в доставке груза в пункт назначения, имеют однои тоже значение при выборе любогомаршрута Р(А / В1) = Р(А / В2) = Р(А / В3) = 1/3. Искомую вероятность найдем, подставив необходимые величины вероятностей в формулу Байеса:

Р(В2 / А) = (Р(В2) Р(А / В2)) / (Р(В1) Р(А / В1) + Р(В2) Р(А / В2) + Р(В3) Р(А / В3)) = (0,9 1/3) / (0,8 1/3 + 0,9 1/3 + 0,4 1/3) =

0,9 / (0,8 + 0,9 + 0,4) 0,43.

28

10. Последовательные испытания. Формула Бернулли

ФормулаБернулли используетсядлярасчетавероятностиPn(m)того, что событие А произойдет m раз в серии из n независимых испытаний, выполняемых в одинаковых условиях.

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие А. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(А) = p, следовательно, вероятность противоположногособытия(ненаступлениеА)равна P(A) = 1 - p = q.Определимвероятность Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могутчередоваться различнымобразом. Условимсязаписывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и A. Например, запись АAAА означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в первом и четвертом случаях и не осуществилось во втором и третьем.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и A входит n - m раз, назовемблагоприятной.Количествоблагоприятныхкомбинацийравноколичеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; та-

ким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т. е. k = Cm

n

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала ситуацию, когда событие А происходитв первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n - m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

В = АА… А AA… A .

1

m раз n-m раз

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

В любой другой благоприятной комбинации Вi событие А встречается также m раз, а событие A происходит n - m раз, поэтому вероятность каждой из таких комбинаций также равна pn qn -m.

Так как все благоприятные комбинации являются несовместными, то дляискомой вероятности Pn(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях, по правилу сложения вероятностей получим:

Pn(m) = P(B1 + B2 + … + Bk) = P(B1) + P(B2) + … + P(Bk) = k pm qn – m.

29

Поскольку k – это количество способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n, то:

Полученная формула называется формулой Бернулли.

11. Случайная величина (СВ)

Одним из важнейших понятий, которое широко используется в теории вероятностей и ее приложениях, является понятие случайной величины (СВ), так как во многих случаях результатом испытания является случайное событие, принимающее числовое значение. Приведем примеры случайных величин:числовыпавших очков при однократном бросании игральной кости, рост и вес человека, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, время службы электролампы и т. д.

Случайной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

Различают дискретные (прерывные) и непрерывные случайные величины.

Случайная величина, возможные значения которой можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности чисел, называется дискретной. Примеры дискретных СВ: число автомобилей на выделенном участке дороги, число дорожно-транспортных происшествий за некоторый промежуток времени, число посетителей выставки и число детей в семье.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно, например: температура тела человека, диаметр различных участков одного и того же провода, время прибытия рейсового транспортного средства в пункт назначения и время приезда инкассатора в магазин.

12. Закон распределения случайной величины

Многие случайные события подчиняются законам, которые хотя и не позволяют однозначно определять значения СВ, но обеспечивают возможность вычислить вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зная распределениевероятностей СВ, можноделать выводы о событиях, в которых появились данные случайные величины.

30