Элементы математических теорий для юристов. Учебное пособие

принадлежит этому отношению, если для данных значений а, b и c равенствовыполняется, т. е. предикатотношенияа + b = cпринимает значение «истина».

§ 2. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, где рассматриваются способы расчета числа различных комбинаций, которые можно составить из элементов некоторых множеств в соответствии с заданными правилами.

«Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в разных комбинациях. Эта способность нужна в жизни всякому…». Так в 1899 г. характеризовал комбинаторику попечитель Московского учебного округа профессор П. А. Некрасов.

Термин «комбинаторный» ввел в математику в 1666 г. знаменитый немецкий ученый ГотфридЛейбниц, нокомбинаторные методы использовались для решения задач задолго до появления его диссертации о комбинаторном искусстве.

Комбинаторикаявляетсядревнейшимразделомматематики, таккак человек всегда искал решение возникающих перед ним проблем, рассматривая различные варианты. Исходя из этого, можно предположить, что с комбинаторного анализа начиналось построение всех математических и нематематических теорий.

Несколько тысячелетий назад в Китае и Индии уже решали комбинаторные задачи, составляя магические квадраты, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же.

Примерами могут служить квадратные пластинки, найденные при археологических раскопках в Китае. Пластинки представляют собой магические квадраты 3-го порядка, состоящие из 3 3 = 9 одинаковых квадратов с числами от1 до9, сумма которых в каждой строке, в каждом столбце и каждой из двух диагоналей равна 15.

Магическийквадрат4-го порядкаизиндийскойнадписи,датируемой XI-XII вв. до н. э., остаетсямагическим при циклическом перемещении его строк по вертикали и столбцов по горизонтали. Если из таких квад-

11

ратов построить прямоугольную таблицу, то любая ее часть из 4 строк и 4 столбцов будет магическим квадратом.

Дальнейшееразвитие комбинаторики былосвязано спотребностью определения вероятностей выигрыша при игре в азартные игры, вероятности наступления страховых случаев в страховом деле. Комбинаторные задачи решали специалисты, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей и т. д.

Становление комбинаторики как самостоятельной науки произошло в конце XVII в., что связывают с появлением и развитием теории вероятностей.Так,в 1657 г.былоизданосочинение выдающегосяголландского ученого Х. Гюйгенса «О расчетах при игре в кости». В 1663 г., спустя сто лет после написания, опубликована «Книга об игре в кости» Д. Кардано (1501-1576), в которой был разрешен знаменитый парадокс игры в кости. В это же время французские математики Пьер Ферма и Блез Паскаль, независимо друг от друга, с помощью комбинаторного анализа решили задачу о разделе призовой ставки при незавершенной игре. Работы этих ученых можно считать первыми работами по теории вероятностей.

По мере развития комбинаторики было установлено, что, несмотря навнешнееразличиеизучаемыхеювопросов, многиеизних имеютодно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах.

1. Понятие комбинаторной задачи

На практике часто приходится решать такие задачи, как расстановка людей по объектам, выбор оптимального маршрута движения, планирование производства и сбыта продукции, подбор ключа к шифру, размещениефинансовых средств вцелях получениямаксимальной прибыли и т. д.

Эти и многие другие задачи можно решать с помощью перебора. При этом решение будет состоять в переборе элементов некоторого множества X возможных решений и проверке условий K(x) для каждого такогоэлемента. МножествоXвданномслучаеназываетсяпространством перебора. Для полного решения задачи необходимо выполнить |X| |K| шагов, где |X| – количество элементов множества X, а |K| – количество

12

шагов, необходимых для проверки одного элемента. От размера множества X зависит время решения задачи, поэтому одним из направлений деятельности математиков является поиск способов сокращения перебора. Для некоторых переборных задач найдены методы «прямого» решения (с помощью формул), которые будут рассмотрены далее.

Задачи, в которых из элементов конечного множества по определенным правилам составляютсяразличные комбинации этих элементов и подсчитывается их число, называют комбинаторными.

При решении комбинаторных задач различают несколько уровней. Первый уровень – поиск хотя бы одного решения, обладающего заданными свойствами. Второй уровень – поиск и описание всех возможных решений комбинаторной задачи. Третий, более сложный, уровень комбинаторных задач заключается в том, что среди всех возможных решений нужно найти одно или несколько так называемых оптимальных решений, которые превосходят другие решения по тем или иным показателям. К таким задачам относятся, например, транспортные задачи, заключающиесявминимизации путиприкольцевомобходеобъектов(маршрутдвиженияпатруля,доставкагрузовпотребителям, построениекольцевой линии электропередач и т. д.).

2. Правило суммы и произведения

Решение большинства комбинаторных задач основано на двух простых правилах – суммы и произведения. Правило суммы позволяетнайти число элементов в объединении двух множеств. Пусть множество А содержит k элементов, а B – m элементов, т. е. n(А) = k, n(B) = m. Нужно найти n(А B).

Рассмотрим 2 случая. Первый случай. Множества А и В не пересекаются, т. е. не содержат одинаковых элементов. Например, множества А = {1; 2; 3; 4; 5} и В = {6; 7} не пересекаются (А В = ) и содержатсоответственно 5 и 2 элемента, т. е. n(А) = 5 и n(В) = 2. Объединение этих множеств А В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} содержит n(А В) = n(А) + n(В) = 7 элементов.

Второйслучай.МножестваАиВпересекаются,т. е. содержатнесколько одинаковых элементов. Например, множества А = {0; 1; 2; 3; 4; 5} и В = {4; 5; 6; 7} содержат соответственно 6 и 4 элемента, т. е. n(А) = 6 и n(В) = 4. Пересечение этих множеств А В = {4; 5} содержит 2 элемента.

Объединенноемножествонедолжносодержать одинаковыхэлементов, поэтому элементы 4 и 5 включаются в него только один раз. Таким образом, объединение множеств А В = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} содержит n(А В) = n(А) + n(В) – n(А В) = 8 элементов.

13

Правило суммы. Если множества А и В не пересекаются и множество А содержит k элементов, а множество В содержит m элементов, то объединение множеств А и В содержит k + m элементов. Если множества А и В пересекаются и множество А В содержит h элементов, то объединение множеств А и В содержит k + m – h элементов.

Если А В = , то n(А В) = n(А) + n(В) = k + m.

Если А В = h, то n(А В) = n(А) + n(В) - n(А В) = k + m - h.

При решении комбинаторных задач используют и другую формулировку правила суммы: «Если объект X можно выбрать k способами, а объект Yможновыбратьm способами, то выбородногоизних (X или Y) можно сделать k + m способами».

Задача. На столе лежат 9 яблок и 5 груш. Нужно определить число способов, которыми можно выбрать яблоко или грушу.

Решение. Поскольку лежащие на столе фрукты представляют собой два непересекающихся множества, то выбрать яблоко или грушу можно 9 + 5 = 14 способами.

Задача.Экзаменнаправоуправленияавтомобилемсдавало25 человек.Тест на знание правил уличногодвижения не прошли 8 человек, 5 человек получили неудовлетворительныеоценкиприпроверкеуменияуправлятьавтомобилем,причем3 человекаиз группыне сдалиобечастиэкзамена.Нужноопределить, сколько всего человек не сдали экзамен.

Решение. Три человека, не сдавших обе части экзамена, входят в два пересекающихся множества: не сдавшихтест на знание правил уличного движения (8) и не умеющих водить автомобиль (5). Поэтому не сдали экзамен

8 + 5 - 3 = 10 человек.

Второе основное правило комбинаторики – правило произведения. Оно позволяет определить число элементов в декартовом (прямом) произведении множеств.Например, декартово произведениедвух множеств составляют упорядоченные пары элементов, причем один элемент каждой пары принадлежит первому множеству, а другой – второму множеству, т. е. правило произведения позволяет подсчитать число таких пар элементов.

Правило произведения. Если множество А содержит k элементов, а множество В содержит m элементов, то из элементов этих множеств можно составить k m упорядоченных пар элементов.

Например, множества А = {1; 2; 3; 4; 5} и В = {6; 7} содержат соответственно по 5 и 2 элемента, т. е. n(А) = 5 и n(В) = 2. Декартово произведение этих множеств А В = {(1, 6); (1, 7); (2, 6); (2, 7); (3, 6); (3, 7); (4, 6); (4, 7); (5, 6); (5, 7)} содержит 10 пар элементов, т. е. n(А В) = n(А) n(В) = 10.

14

Рассмотрим доказательство правила произведения.

Пусть даны два множества А = {а1, а2… аm} и В = {b1, b2… bk}, гдеm и k –числоэлементов этихмножеств(n(А) = mи n(B) = k).НайдемА В.

Для этого запишем в отдельные строки все упорядоченные пары, которые можно составить из первого (а1) элемента множества А и всех k элементов множества В, из второго (а2) элемента множества А и всех k элементов множества В и т. д.

В результате получим m строк из k пар элементов, т. е. общее количество полученных пар элементов n(А В) = m k, что и требовалось доказать.

Правило произведения в комбинаторике формулируют следующим образом: «Если объект X можно выбрать k способами, а после каждого выбора Х объект Yможновыбрать m способами, то упорядоченную пару (X, Y) можно выбрать k m способами».

Это правило справедливо для произвольного числа множеств. Так, для трех множеств А, В и С декартово произведение будет представлять собойупорядоченныетройки элементовэтихмножеств,а ихчисломожно определить по формулеn(А В С) = m k q, гдеm, k и q – числоэлементов множеств А, В и С соответственно.

Задача. На занятие по спортивным танцам пришло 10 девушек и 9 юношей. Нужно определить, сколькоразличных пар они могут составить.

Решение. Декартово произведение рассматриваемых множеств состоит из 10 9 = 90 различныхпар.

Задача. Отец собирается купить ребенкуодну из 4 игрушек, а мать одну из 3 книжек. Нужно определить, сколько различных подарков они могут подарить ребенку.

Решение. Составляются пары из элементов двух множеств А и В. Первое множество состоит из 4 элементов (n(А) = 4), а второе – из 3 (n(B) = 3). По правилу произведения из этих элементов можно составить n(А B) = n(А) n(B) = 4 3 = 12 различных пар, т. е. 12 различных подарков.

3. Перестановки из n элементов без повторений

Рассмотрим множество А = {x1; x2… xn}, которое требуется упорядочить, т. е. установить, какой элемент будет первым, какой вторым и т. д. Такие упорядоченные множества записываются не с помощью фигурных, а с помощью круглых скобок. Записи (х1, х2) и (х2, х1) различны, поскольку порядок записи элементов в них неодинаков.

15

Упорядоченные множества, содержащие n элементов множества

А = {х1; х2… хn}, называются перестановками из n элементов без повторений.

Для множества А = {1; 7; 8; 9} перестановками являются, например,

упорядоченные множества (1, 7, 8, 9), (7, 1, 8, 9), (9, 7, 1, 8) и т. д. Общее число перестановок без повторений из n элементов задает следующая теорема: число перестановок без повторений из n элементов равно n!

Число перестановок без повторений из n элементов обозначается символом Pn (от permutation – перестановка), поэтому теорему можно записать так: Pn = n! Символ “n!” (эн факториал) обозначает произведениевсехнатуральныхчиселот1доnвключительно:n! = 1 2 3 … n,

например, 3! = 1 2 3, 4! = 1 2 3 4, 5! = 1 2 3 4 5, 7! = 1 2 3 4 5 6 7.Факториалы0и1вматематикесчитаютравными единице, т. е. 0! = 1! = 1.

Доказательствотеоремы.Рассмотрим процесссоставленияперестановки без повторений из n элементов множества А = {х1; х2; х3… хn}. Это значит установить, какой из элементов А будет первым, какой вторым и т. д.

Поскольку в множестве А n элементов, то первый элемент перестановки можно выбрать n способами, второй элемент – (n - 1) способом, так как элементы не повторяются. По правилу произведения первый и второй элементы можно выбрать n (n - 1) способами. Выбор третьего элемента перестановки можно осуществить (n - 2)способами, апервый, второй и третий – n (n - 1) (n - 2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что последний n элемент перестановки можно выбрать одним способом, а всеnэлементов –n (n - 1) (n - 2) … 1 = n!способами, что и требовалось доказать.

Задача. Имеются три цифры – 3, 4 и 5. Нужно определить, сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр при условии, что ни одна цифра не повторится.

Решение. Различные трехзначные числа из множества цифр {3; 4; 5} можно составить перестановками этих цифр. Количество перестановок для множества из трехэлементов равно3!,т. е. из трехцифр можносоставить 1 2 3 = 6 трехзначных чисел.

4. Перестановки из n элементов с повторениями

Четыре цифры – 1, 2, 3, 4 – можно переставить Р4 = 4! = 24 способами. В слове «мама» четыре буквы, две из которых повторяются, поэтому различных перестановок из букв этого слова можно составить не 24, а 6: мама, маам, ммаа, аамм, амам, амма.

16

Число перестановок с повторениями из n элементов, где первый элемент повторяется n1 раз, второй – n2 раза… k-тый – nk раз обознача-

ется символом P(n1, n2… nk).

Теорема. Число перестановок из n элементов с повторениями равно

n! / (n1! n2! … nk!), где n = n1 +n2 +…+ nk.

Доказательство теоремы.Пусть Х = {х1;х2…хk}. Составим кортеж длины n, в котором элемент х1 повторяется n1 раз, x2 – n2 раза… xk – nk раз

(n1 + n2 + … +nk =n):

Этот кортеж содержит n элементов. Будем переставлять его элементы местами, получим перестановки с повторениями, их число равно P(n1, n2… nk), всего перестановок n! Но так как элементы повторяются, то различных перестановок будет меньше.

Найдем число перемещений элементов, не меняющих данную перестановку. Поскольку элемент х1 повторяется n1 раз, то число перестановок элемента х1, не меняющих всю перестановку, будет n1!, элемента x2 - n2!... nk - nk! и т. д. Всего перестановок элементов x1, x2… xk, не меняющих данную перестановку, по правилу произведения будет равно

n1! n2! … nk!

Если изобщего числа возможных перестановокn!исключить всеповторяющиеся перестановки (n1! n2! … nk!), то получим число пере-

становок с повторениями. Поэтому P(n1, n2… nk) = n!/ (n1! n2! … nk!), что и требовалось доказать.

Задача. В слове «кукушка» буква «к» повторяется три раза, а буква «у» – два раза. Нужно определить, сколько неповторяющихся перестановок можно получить, переставляя буквы в рассматриваемом слове.

Решение. В слове «кукушка» семь букв, значит, n = 7, буква «к» повторяется три раза, значит, n1 =3, буква «у» повторяется два раза, значит, n2 = 2. Остальные буквы повторяются по одномуразу, т. е. n3 =1, n4 =1, n5 =1. Используя формулу для числа перестановок с повторениями, получим Р(3, 2, 1, 1, 1) =

n!/ (n1! n2! n3! n4! n5!) = 7! / (3! 2! 1! 1! 1!) = 5040/12 = 420 непов-

торяющихся перестановок.

5. Размещения с повторениями

Еслиизэлементовнекоторогомножестватребуетсявыбратьнесколько элементов, причем эти элементы могут повторяться, и установить среди них порядок, то речь идет о размещениях с повторениями. Напри-

17

мер,используя цифры 1, 2, 3,4 и 5, можносоставить двузначныечисла –

12, 33 и т. д.

Кортежи длины k, составленные из элементов множества X, содержащего n элементов, называются размещениями с повторениями из n элементов по k. Число размещений с повторениями из n элементов по k обозначается символом Аnk (от arrangement – размещение).

Теорема. Число размещений с повторениями из n элементов по k равно nk (краткая запись: Аnk = nk).

Доказательство теоремы.ПустьХ = {x1;x2…xn},n(X) = n.Рассмот-

рим процесс составления размещения с повторениями из n элементов по k. Первый егоэлемент можно выбратьn способами,таккак элементы могут повторяться; второй элемент тоже можно выбрать n способами, k-тый элемент также выбрать n способами. По правилу произведения k элементов можно выбрать n n … n = nk способами, что и требовалось доказать.

Задача. Имеются три цифры – 7, 8 и 9. Нужно определить, сколько чисел до миллиона можно из них составить.

Решение.Числа меньшемиллиона:однозначные,двузначные,трехзначные, четырехзначные и пятизначные. Всегооднозначных чисел из цифр 9,8, 7 можно составить три. Чтобы составить двузначные числа, надо из множества {9; 8; 7}, содержащего три элемента, выбрать упорядоченные пары различных или одинаковых элементов, т. е. составить различные кортежи длины 2. Таких чисел будет А32 = 32 = 9; трехзначных А33 = 33 = 27; четырехзначных А34 = 34 = 81 и пятизначных А35 = 35 = 243. Общее количество чисел до миллиона найдем по правилусуммы 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363.

6. Размещения без повторений

Упорядоченные множества из k элементов, выбранных из множества, содержащего n элементов, называются размещениями без повторенийиз n по k. Число размещений безповторений изn по k обозначают

символом Аkn.

Теорема.Числоразмещенийбез повторений из nпо kравноn!/ (n - k)!

(краткая запись: Аkn = n! / (n - k)!).

Доказательствотеоремы.ПустьХ = {х1;х2… хn},n(Х) = n.Рассмот-

рим процесс составления размещения без повторений из n по k. Первый элемент размещения можно выбрать n способами; второй

элемент – (n - 1) способами;третий элемент –(n - 2) способами… k-тый элемент – (n - k + 1) способами.

Поправилупроизведения всеk элементыможновыбратьn (n - 1) (n - 2) … (n - k + 1) способами.

18

Запишем эту формулу по-другому, а для этого умножим и разделим ее навеличину(n - k)! = (n - k) (n - k - 1) … 2 1.Врезультатевчислите-

ле получим n (n - 1) (n - 2) … (n - k + 1) (n - k) (n - k - 1) … 2 1 = 1 2 3 … n = n!Таким образом, расчетная формула примет вид Аkn = n! / (n - k)!, что и требовалось доказать.

Задача.Чтобы выполнитьпереводыслюбогоиз пяти различныхязыков на любойдругойиз этихжеязыков,используютсясоответствующиесловари.Нужно найти число этих словарей.

Решение. Поскольку для каждой пары языков требуется 2 словаря (k = 2), то определим, сколько упорядоченных пар без повторений элементов можно составить из исходного множества языков, т. е. из 5 элементов (n = 5). По формуле для размещений без повторений получим

Аkn = n!/ (n - k)! = 5!/ (5 - 2)! = (1 2 3 4 5) / (1 2 3) = 20 словарей.

7. Сочетания без повторений

Неупорядоченное подмножество, содержащее k элементов множества, состоящего из n элементов, называется сочетанием из n элементов по k. Число сочетаний из n элементов по k обозначается Ckn.

Теорема.Числосочетаний изn элементов поk равноn! / (n - k)! k!

(краткая запись: Ckn = n! / (n - k)! k!).

Доказательство теоремы.ПустьХ = {х1;х2…хn},n(Х) = n.Рассмот-

рим процесс составления сочетания изn по k. Вышеприведена формула для расчета Аkn – числа размещений без повторения из n по k. Иначе говоря, выбрать k упорядоченных элементов из n можно n! / (n - k)! способами. Так как в сочетаниях порядок расположения элементов роли не играет, то сочетаний будет меньше во столько раз, сколько можно составить перестановок изk элементов, т. е. в k!раз.ПоэтомуCkn = Аkn/k! = n!/ (n - k)! k!, что и требовалось доказать.

Задача. При заполнении карточек спортлото требуется выбрать 6 элементов из 49. Нужно определить, сколько существует вариантов такого выбора.

Решение.Вданномслучаепорядоквыбораможетбытьлюбым,поэтомучисло вариантов выбора определяется числом шестиэлементных сочетаний (k = 6), которые можно составить из 49 элементов исходного множества (n = 49). Используя формулу для сочетаний Ckn = n!/ (n - k)! k!, получим C649 = 49! /43! 6! = 6,08282E + 62 / ((6,04153E + 52) 720) = 13 983 816 вариантов.

§ 3. Элементы теории вероятностей

Задачи количественного измерения возможности наступления случайного события возникли в средние века в связи с такими азартными играми, как игра в кости и карты. Одной из таких задач, давших начало

19

теории вероятностей, является известный парадокс игры в кости, разрешенныйД. Кардано (1501-1576) путемучетапорядка выпадениякостей. Парадокс заключался в различных частотах появления суммарного результата 9 и 10 при бросании двух и трех костей. Впервом случаесумма выпавших чисел чаще равна 9, а при бросании трех костей – 10.

Однако уже тогда ученые, занимающиеся решением подобных задач, понимали важность проводимых исследований. Еще в 1657 г. Х. Гюйгенс в сочинении «О расчетах при игре в кости» писал: «...думаю, при внимательном изучении предмета читательзаметит, чтоимеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности в массовых случайных событиях, а методы этой науки используются для решения практических задач анализа случайных событий и определения параметров, влияющих на их исход.

Теория вероятностей не позволяет предсказать исход отдельного случайного события, но дает возможность узнать средний суммарный результат массы однородных случайных событий. Используя законы, характеризующие массовые случайные события, можно управлять их результатами, увеличивать или уменьшать влияниеслучайных событий на практику.

1. Случайные события

Окружающий нас мир мы воспринимаем как непрерывную последовательность сменяющих друг друга взаимосвязанных событий. Наблюдая за происходящим вокруг нас, мы анализируем либо сами события, либо их параметры или величины. В конкретных условиях одни события происходят обязательно (достоверные события), другие не могут произойти (невозможные события), третьи же могут произойти, а могут и не произойти (случайные события). Иначе говоря, существует множество достоверных и невозможных событий, исходы которых мы можем предсказать заранее. Существует также множество случайных событий, исходы которых предсказать заранее невозможно: в одних и тех же условиях они зависят от действия случайных факторов.

Предметом изучения в теории вероятностей являются именно случайные события, но не любые, а только те, которые можно наблюдать множество раз при многократном повторении испытания.

Примеры достоверных событий: составление трехзначного числа меньшего 400 из цифр 1, 2 и 3; наступление весны после зимы; закипание воды в нормальных условиях при ее нагревании выше 100° С и пре-

20