Электродинамика расширенный физический практикум. Учебно-методическое пособие

Если ток переменный, то в катушке с индуктивностью L возника-

ет ЭДС самоиндукции: EL= −L(dI/dt). Примем за положительное

направление тока направление от точки 1 к точке 2 (слева направо),

тогда напряжение U определяется как разность потенциалов этих то-

чек U = φ1 − φ2. Рассмотрим данную систему как участок цепи, со-

держащий ЭДС (рис. 5.2 (б)). Тогда, аналогично случаю постоянного

тока имеем:

Если сопротивлением проводов катушки пренебречь, то U стано-

вится напряжением на самой катушке, которое связано с током через

катушку соотношением:

Для синусоидального тока I(t) = I0∙sin (ωt) из (8.8) имеем:

UL(t) = (ωL) ∙ I0 cos ωt = (ωL) ∙ I0 sin(ωt + π/2) = U0 ∙ sin(ωt + π/2). (8.9)

Здесь, так же как и для емкости, амплитуда тока и напряжения связаны выражением, аналогичным закону Ома:

Величина XL называется индуктивным сопротивлением. Если индуктивность выражается в Гн, а круговая частота в с−1, то соответствующее значение XL будет в Омах. Например, для L = 1 Гн и ω = 1000 с−1 индуктивное сопротивление равно XL = 1000 Ом.

Так же как и в случае с конденсатором, между синусоидальным напряжением и током на катушке индуктивности возникает разность фаз π/2, но противоположного знака, то есть колебания напряжения на катушке «опережают по фазе» колебания тока на π/2. Говорят, что «ток бежал по катушке, запутался и отстал от напряжения».

Отметим, что сопротивления XC и XL также называют реактивными сопротивлениями, в противовес активному сопротивлению R.

Описание установки

Вариант 1. На рисунке 8.3 представлены принципиальные схемы для исследования элементов цепей переменного тока. Входное напряжение U(t) подается от генератора синусоидальных сигналов ГС

с указателем частоты. Ток в цепи можно определить по закону Ома I = U1/R, или добавить в схему миллиамперметр.

61

Рис. 8.3. Макеты экспериментальных схем

Вариант 2. В этом случае для выполнения данной работы используются элементы специального учебного стенда (рис. 8.4). Нарисованная на нем схема реализована внутренними проводами, соединяющими контактные гнезда, изображенные кружочками. Пунктиром

на схеме нарисованы изображения устройств, которые можно подключать внешними проводами к контактным гнездам. В качестве таких устройств могут использоваться приборы самого стенда: генератор синусоидальных сигналов ГС и миллиамперметр переменного тока МВА (измеритель частоты ИзмЧ уже соединен с генератором ГС).

Рис. 8.3. Схема учебного стенда. Стрелки обозначают внешние подключения

В контактные гнезда вставляются исследуемые сопротивление,

емкость или индуктивность, припаянные к стандартным держателям,

62

а также два дополнительных прибора: вольтметр универсальный

и (или) осциллограф, обозначенные на рисунке буквой «В».

Задания и указания к их выполнению

Выберите из набора активное сопротивление (резистор), индук-

тивность и емкость. С помощью внешних проводов соберите схему

(рис. 8.3 или рис. 8.4), содержащую 2 таких элемента, один из кото-

рых — резистор. Для схемы на рисунке 8.4 сопротивление и индук-

тивность (или емкость) вставляют в соответствующие парные кон-

тактные гнезда, а третью пару свободных гнезд соединяют проводом

(«закорачивают»).

Для стенда на рисунке 8.4 установите переключатель «род рабо-

ты» генератора ГС в положение «ГН 1:1», переключатель «диапазон»

в положение «100 кГц», а ручки «частота» и «амплитуда» — в сред-

ние положения. Поставьте переключатели «ИзмЧ» и «МВА» в положения, необходимые для соответствующих измерений. Включите стенд. Убедитесь, что генератор ГС позволяет изменять как амплитуду (ручка «амплитуда»), так и частоту (ручка «частота») используемого синусоидального сигнала. Частоту контролируйте измерителем частоты «ИзмЧ», а амплитуду — вольтметром.

1. Вольтметром В и амперметром МВА при двух разных частотах измерьте значения тока I, общего напряжения U, а также напряжений UR, UL (или UC) на каждом из подключенных элементов. На основе формул, связывающих амплитуды тока и напряжения для сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора, определите параметры этих элементов R, L (С) и сравните полученные значения с обозначенными на самих элементах. Отметим, что используемые в работе

приборы измеряют эффективные (действующие) значения тока

инапряжения: Iэфф I0 2 и Uэфф U0 2.

2.Определите сдвиги фаз между током и напряжением для катушки индуктивности или конденсатора. Рекомендуется воспользоваться методом фигур Лиссажу (лаб. работа 7, рис. 7.9), для чего на вход Y осциллографа подайте напряжение на выбранном элементе,

а на вход X — напряжение на сопротивлении UR , которое пропорционально току.

3.Изучите частотные зависимости параметров цепи. Сначала исследуйте цепь с катушкой индуктивности. Для этого при 8–10 часто-

тах f генератора ГС в диапазоне 5–100 кГц измерьте значения тока I

63

и напряжений Uполн, UR, UL и внесите полученные результаты в табли-

цу 8.1.

В этой таблице Uполн — это полное напряжение на участке из двух

элементов (активного и реактивного), которое удовлетворяет форму-

ле:

Uполн = [(UR)2 + [(UL)2]1/2.

Последний столбец таблицы нужен для проверки этой формулы.

После этого повторите те же измерения для цепи с конденсато-

ром: для набора частот измерьте значения тока I и напряжений U, UR,

UC и внесите результаты в таблицу, аналогичную таблице 8.1.

Постройте полученные частотные зависимости и сопоставьте их форму с соответствующими теоретическими зависимостями.

Содержание отчета

1.Формулировка задачи, принципиальные схемы и расчетные формулы для цепи с емкостью и цепи с индуктивностью.

2.Самостоятельно полученная формула для мощности на участке цепи, включающей активные и реактивные элементы.

3.Таблицы экспериментальных результатов по форме таблицы 8.1.

4.Расчет значений сопротивления, индуктивности и емкости по экспериментальным данным.

5.Графики частотных зависимостей тока и напряжений на элементах цепи и их сопоставление с соответствующими теоретическими кривыми.

Контрольные вопросы

1.Как зависит от времени ток в цепях переменного синусоидального тока?

2.Почему сумма амплитуд напряжений при последовательном соединении сопротивления и конденсатора (или катушки) не равна амплитуде полного напряжения на обоих элементах?

3.Что такое емкостное (индуктивное) сопротивление, и чем оно отличается от активного сопротивления?

4.Чему равна средняя за период мощность в цепи переменного тока?

64

9. Резонанс напряжений в колебательном контуре

Цель работы: исследование резонанса напряжений в колебательном

контуре (цепи, содержащей индуктивность, емкость и сопротивление)

и определение его резонансной частоты.

Вопросы для допуска к выполнению работы

1.Чем отличаются последовательный и параллельный электрические

контуры?

2.Чем отличаются свободные и вынужденные колебания в электри-

ческом контуре?

3.Что такое резонанс?

Краткие сведения из теории

Обязательными элементами одиночного колебательного контура

являются конденсатор и катушка индуктивности [2, 5]. В зависимости от их взаимного подключения контуры подразделяются на последовательные и параллельные, примеры которых приведены на рисунке 9.1.

Рис. 9.1. а) Последовательный колебательный контур б) Параллельный колебательный контур

Вданной работе исследуется контур, состоящий из соединенных последовательно резистора, емкости и индуктивности, изображенный на рисунке 9.1 (последовательный контур).

Впроизвольный момент времени суммарное напряжение на всей цепи (при последовательном соединении элементов) равно сумме падений напряжений на отдельных элементах цепи [2, 5]:

U (t) U R (t) U L (t) U C (t) I (t) R L dIdt(t) qC(t) . (9.1)

65

Обозначения в уравнении (9.1) стандартные, принятые в данном по-

собии. Это уравнение также может быть получено из второго закона

Кирхгофа для переменных токов.

Пусть приложенное к цепи напряжение является гармонической

функцией времени, например, U(t) = U0 ∙ sin ωt. Продифференцируем

правую и левую части (9.1) по времени и учтем, что I(t) = dq(t)∕dt.

В результате получим уравнение, в которое входит только неизвестный ток:

Это дифференциальное уравнение второго порядка с ненулевой

правой частью, эквивалентное уравнению вынужденных механических колебаний. Его полное решение Iполн(t) с учетом начальных

условий является суммой общего решения однородного уравнения

(с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного уравнения:

Решение однородного уравнения описывает собственные затухающие колебания в контуре, которые на больших временах быстро стремятся к нулю. Оно имеет вид:

ственная частота электрических колебаний в идеальном контуре. Входящие в (9.4) амплитуда A0 и сдвиг фаз f0 определяются из начальных условий.

Второе слагаемое I(t) в формуле (9.3) описывает установившиеся вынужденные колебания, амплитуда которых остается постоянной. Так как собственные колебания в контуре согласно (9.4) быстро затухают, именно функция I(t) представляет для нас практический интерес. Параметры этой функции экспериментально исследуются в данной работе.

Функция I(t) может быть получена не только решением дифференциального уравнения, но также методом векторных диаграмм или методом комплексных амплитуд, рассмотренными в учебниках [5, 6].

66

Нетрудно проверить, что для U(t) = U0 ∙ sin ωt искомая функция

I(t), описывающая установившиеся вынужденные колебания тока

в контуре, имеет вид:

где амплитуда тока 10 и сдвиг фаз φ выражаются формулами:

Здесь, как указывалось, величина ω02 1/(LC) — собственная ча-

стота колебаний в контуре, φ — сдвиг фаз между приложенным напряжением U(t) и током.

Проанализируем зависимость амплитуды тока 10 от частоты ω (рис. 9.2). Амплитуда достигает максимального значения I0 = U0 /R при ω = ω0. Частота приложенного напряжения, при которой ток мак-

симален, называется резонансной частотой ωрез. В данном случае

ωрез = ω0.

Рис. 9.2. Зависимости амплитуды тока I0 от частоты для различных R

Резонанс можно получить либо меняя частоту приложенного напряжения ω, либо меняя L или С при фиксированной частоте ω.

Напряжения на индуктивности и емкости в цепи на рисунке 9.1 (а) всегда противоположны по фазе (см. формулы (9.1) и (9.2)),

а при резонансе модули напряжений совпадают. Поэтому на резо-

67

нансной частоте UL(t)+ UC(t) = 0, и, следовательно, UR(t) = U(t).

В этом случае, согласно формулам (9.1), (9.2), цепь ведет себя как ак-

тивное сопротивление, причем UR0 = U0 = 10∙R, а сдвиг фаз между то-

ком и приложенным напряжением отсутствует, то есть φ = 0.

Резонанс напряжений и резонанс токов

При резонансе в схеме на рисунке 9.1 (а) возможно любое соот-

ношение между амплитудой входного напряжения и амплитудами

напряжений на катушке и конденсаторе:

плитуды приложенного напряжения U0. Возможность того, что

напряжение на индуктивности или конденсаторе может значительно превышать приложенное напряжение, определяет название данного резонанса — резонанс напряжений. Естественно, что добротность контура, зависящая от R, определяет также остроту резонансных кривых (зависимостей амплитуды тока от частоты ω).

В электрическом контуре высокая добротность часто бывает опасной, так как приводит к высоким (опасным) значениям напряжений на L и С, в некоторых же случаях явление резонанса можно использовать в частотных фильтрах. Пусть напряжение, приложенное к контуру, имеет вид U(t) = U1 sin (ω1 t) + U2 ∙ sin (ω2 t) +… . Настроив контур на одну из частот ωi (подбором С и L), можно получить на

конденсаторе (или на индуктивности) напряжение такой же частоты, в Q раз большее напряжения этой же составляющей в исходном сигнале U(t), в то время как амплитуды других составляющих будут незначительны. Такой процесс происходит, например, при настройке радиоприемника.

В параллельном колебательном контуре (рис. 9.1 (б)) наблюдается так называемый резонанс токов. Полный ток I по первому закону Кирхгофа является суммой токов, протекающих через сопротивление, конденсатор и катушку индуктивности: I = IR + IL + IC. Можно пока-

зать, что токи IL и IC всегда текут в противофазе, а амплитуда полного

тока выражается формулой:

68

На резонансной частоте ω0 1 LC амплитуда тока в контуре при-

нимает значение

Амплитуды токов через катушку индуктивности L и конденсатор

C на резонансной частоте имеют вид:

где ρ / — характеристическое (волновое) сопротивление кон-

тура. Поскольку токи через катушку индуктивности и конденсатор

находятся в противофазе, на резонансной частоте ω0 токи, текущие

в реактивных элементах замыкаются в кольцо внутри контура. В этом

случае, цепь также ведет себя как активное сопротивление.

При определенных параметрах (когда R/ρ > 1) амплитуды I0L и I0C

превышают амплитуду полного тока в (R/ρ) раз (см. формулы (9.9)

и (9.10)). Именно тот факт, что ток через индуктивность или конден-

сатор может значительно превышать полный ток и определяет название данного резонанса — «резонанс токов» или параллельный резонанс.

Описание установки

Вариант 1. На рисунке 9.3 представлена принципиальная схема установки для исследования резонанса. Входное напряжение подается от генератора периодических сигналов ГС. Очевидно, частотный диапазон генератора должен быть таким, чтобы в него попадала резонансная частота контура ω0.

Рис. 9.3. Принципиальная схема для исследования резонанса в колебательном контуре. ГС — универсальный генератор периодических сигналов

Частота сигнала задается на панели управления ГС, а также может быть определена с помощью осциллографа, который подключен

69

крезистору R. Величина сопротивления R известна и равна 10 Ом

(или задается преподавателем), поэтому определив амплитуду напря-

жения по осциллографу, можно также рассчитать и амплитуду тока

по формуле 10 =UR0 /R. Для измерения напряжения на емкости и ин-

дуктивности используется вольтметр V (переменного напряжения).

При заданном значении частоты вольтметр V сначала подключается

кодному элементу, а затем к другому. Если есть возможность исполь-

зовать два вольтметра, их подключение очевидно: один будет снимать

напряжение с конденсатора, другой — с катушки.

Вариант 2. В этом случае для выполнения исследований исполь-

зуются элементы специального учебного стенда (рис. 9.4). Нарисо-

ванная на нем схема реализована внутренними проводами, соединя-

ющими контактные гнезда, изображенные кружочками. Пунктиром

на схеме нарисованы изображения устройств, которые можно под-

ключать внешними проводами к контактным гнездам. В качестве та-

ких устройств могут использоваться приборы самого стенда: генератор синусоидальных сигналов ГС и миллиамперметр переменного тока МВА (измеритель частоты ИзмЧ внутренними проводами уже соединен с генератором ГС).

Вконтактные гнезда вставляются исследуемые сопротивление, емкость и индуктивность, припаянные к стандартным держателям,

а также два дополнительных прибора: «вольтметр универсальный» и осциллограф, имеющие на рисунке общее обозначение буквой «В».

Рис. 9.4. Универсальный учебный стенд. Стрелки обозначают внешние подключения

70