Электродинамика расширенный физический практикум. Учебно-методическое пособие

3. Исследование температурной зависимости сопротивления полупроводника

Цель работы: проверка теоретической формулы зависимости сопро-

тивления полупроводника от температуры и определение значений

параметров, входящих в эту формулу; применение метода функцио-

нального масштаба и метода наименьших квадратов для обработки

результатов измерений.

Вопросы для допуска к выполнению работы

1.Статистика Больцмана.

2.Зависимость сопротивления чистых полупроводников и металлов

от температуры.

Краткие сведения из теории

Сопротивление различных материалов, как и многие другие физические их характеристики, зависит от температуры. Определяющую роль здесь играет механизм переноса зарядов при прохождении тока, что дает качественное отличие температурной зависимости сопротивления для различных типов материалов.

Для металлов в широком температурном диапазоне сопротивление с ростом температуры слабо возрастает. В области очень низких температур (порядка 1–10 К) многие металлы претерпевают фазовый переход в сверхпроводящее состояние с нулевым удельным сопротивлением. При температурах много выше этого перехода можно аппроксимировать удельное сопротивление металлов линейной зависимостью. Поэтому для стандартного металлического резистора применяют формулу [2, 5, 6]

Обычно принимают T0 = 273 K, а для чистых металлов коэффициент электрического сопротивления α ≈ (1/273) K−1 ≈ 0,004 K−1. Соответственно R0 — это сопротивление резистора при температуре T0. Таким образом, при повышении температуры на 100 К сопротивление меняется примерно на 40%.

Экспериментальные значения коэффициента α в области комнатных температур (с учетом разброса данных из разных источников) приведены в таблице 3.1. В качестве практического примера приме-

нения закона (3.1) рассмотрим лампу накаливания с вольфрамовой

21

нитью. При включении лампы температура нити возрастает в среднем

на 2500 К. С учетом приведенных в таблице 3.1 параметров получаем,

что сопротивление нити накала возрастает в 10–12 раз. Соответствен-

но, в момент включения «холодной лампы» ток через нее в 10–12 раз

больше, чем в рабочем режиме (для «горячей лампы»). Поэтому лам-

пы накаливания обычно «перегорают» в момент включения.

Для чистых полупроводников их удельное сопротивление с ро-

стом температуры быстро убывает. Именно исследованию этой зависимости и посвящена данная работа. В качестве образцов рассматриваются сопротивления, выполненные из однородных материалов, и для них температурные зависимости удельного и полного сопротивления фактически отождествляются.

В основе всех процессов переноса заряда в полупроводниках лежит следующее: интенсивность их протекания определяется числом заряженных частиц, имеющих достаточную энергию. Рассмотрим конкретный процесс протекания тока через полупроводник. При температуре абсолютного нуля в полупроводнике нет свободных электронов (не связанных жестко с атомами), которые могут перемещаться внутри кристалла — электропроводность отсутствует. С ростом температуры часть электронов могут стать свободными и определять

электропроводность.

Это качественное рассмотрение можно пояснить на элементарной

энергетической модели полупроводника (рис. 3.1), где изображаются уровни энергии Е электронов. Для полупроводника такая энергетическая схема характеризуется наличием запрещенного энергетического интервала Е = Е2 − Е1 между заполненной электронами и пустой зонами. Запрещенный интервал (запрещенная зона) имеет обычно ширину порядка десятых электрон-вольта (эВ). 1 эВ — энергия, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 В

(заряд электрона е = 1,6 10–19 Кл).

22

Рис. 3.1. Фрагмент зонной структуры полупроводника.

Зона проводимости содержит электроны с энергиями E > E2, она отделена запрещенной зоной Е от валентной зоны электронов с энергиями E < E1

При температуре T = 0 электроны в зоне проводимости (опреде-

ляющие собственную электропроводность полупроводника) отсут-

ствуют, при этом электрическое поле разумной величины не может

перебросить туда электроны из валентной зоны. При ненулевых тем-

пературах T за счет энергии теплового движения появляются элек-

троны с энергиями E > E2 , попавшие в зону проводимости и находя-

щиеся в активном (свободном) состоянии. Количество таких электронов в рамках классической модели определяется формулой Больцмана:

где n0 — концентрация невозбужденных электронов, n(T) — концен-

трация активных (свободных) электронов, получивших энергию Е, k — постоянная Больцмана: k = 1,38 10 –23 Дж/К. С учетом квантовой

статистики для беспримесных полупроводников вместо Е следует

подставлять половину ширины запрещенной зоны:

Е = ЕЗап /2.

В дальнейшем величину Е будем называть энергией активации,

при этом температурную зависимость типа (3.2) применяют при опи-

сании многих процессов в твердом теле.

Как известно, концентрация свободных электронов определяет плотность тока через полупроводник j ~ n(T) и, следовательно, сам ток I = j ∙ S, где S — площадь поперечного сечения полупроводника. Отсюда получаем:

Подобный вид имеют формулы для тока термоэлектронной эмиссии, скорости химических процессов и так далее.

23

Используя закон Ома, получаем формулу для зависимости сопро-

тивления собственного полупроводника от температуры:

где U — напряжение, приложенное к полупроводнику, R0 имеет смысл минимального сопротивления, соответствующего переходу всех электронов в зону проводимости.

Видно, что сопротивление полупроводника быстро убывает с ростом температуры. Этот эффект определяется возрастанием числа носителей, которое превалирует над усилением теплового движения. Последним в случае полупроводников можно пренебречь, в то же время для металлов именно усиление теплового движения при нормальных температурах определяет наблюдающееся линейное возрастание сопротивления с температурой по формуле (3.1).

В данной работе предлагается экспериментально проверить теоретическую зависимость R(T) — формулу (3.4) и на основе ее числен-

ной обработки определить параметры E и R0.

Зависимость R(T), построенная непосредственно (то есть как график R от T), не обладает необходимой наглядностью, допускающей ее проверку на экспоненциальное изменение (рис. 3.2). Для этого графика с учетом экспериментальной погрешности данные могут быть сопоставлены с кривыми различного вида.

Рис. 3.2. Метод функционального масштаба. Слева — экспериментальные данные в переменных R(кОм) от T(К), справа — те же данные в переменных Y = ln(R), X = (1/T) 103. Пунктиром изображены теоретические зависимости

Значительно удобнее воспользоваться методом функционального

масштаба [3, 4]. Действительно, можно откладывать по осям не R и Т,

24

а такие зависящие от них величины, чтобы на соответствующем гра-

фике экспериментальные точки ложились на прямую линию.

Так как ln(R) = ln(R0) + E/(kT), то удобно ввести переменные

Y = ln(R) и X = (1/Т), тогда теоретическая зависимость Y(X) имеет вид

прямой Y=A X + В, где A = E/k, а В = ln(R0). Таким образом, опреде-

ление параметров этой прямой позволяет определить R0 и E.

Для расчетов удобно использовать методы табличного процессо-

ра Excel [4]. Сначала необходимо ввести таблицу данных Ti и Ri, затем

преобразовать ее в таблицу для Xi и Yi, после чего применить метод

наименьших квадратов к зависимости Yi (Xi) и на последнем этапе вы-

числить R0 и E.

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из термостата с термомет-

ром и измерителя сопротивления (омметра). В термостате находится

исследуемый образец из полупроводника, подсоединенный к омметру

(универсальному вольтметру), измеряющему его сопротивление

(рис. 3.3).

Рис. 3.3. Схема экспериментальной установки. R — полупроводниковый терморезистор, помещенный в термостат с регулируемой температурой, T — термометр

Задания и указания к их выполнению

1. Подготовьте универсальный вольтметр для измерения сопротивлений, для чего поставьте указатель вида измерений в положение «rх» и включите прибор. Ручками «0» (ноль) и «∞» (бесконечность) откорректируйте положение стрелки на краях шкалы «Ω» (для корректировки «0» необходимо соединить вспомогательным проводом

входы прибора «*» и «rх»).

2. Измерьте сопротивление терморезистора при комнатной температуре, для этого подключите терморезистор к входным клеммам прибора и ручкой «множитель шкалы» выберите оптимальную шкалу

прибора. При этом абсолютная погрешность измерений считается

25

одинаковой в пределах всей шкалы и определяется как произведение

значения класса точности прибора (например, 2,5), деленного на 100,

иверхнего предела измерений на данном диапазоне. Например, если

множитель шкалы «×103», а шкала содержит 20 делений, то абсолют-

ная погрешность R = (20 103 Ом) (2,5/100) = 500 Ом.

3.Включите термостат, при 20 (или более) различных температу-

рах в диапазоне 20 ÷ 130 °С измерьте сопротивление терморезистора

иполученные данные занесите в таблицу 3.2. В области низких тем-

ператур от 20 до 60°С измеряйте через каждые 2 градуса, а затем пе-

рейдите на интервал 4 градуса.

Таблица 3.2

1

……

4. Постройте график R(T). Пересчитайте экспериментальные данные в удобные для обработки величины и постройте график Y(X). Убедитесь, что в пределах погрешности точки ложатся на прямую линию (метод функционального масштаба). По графику этой прямой определите R0 и энергию активации Е. Переведите полученное значение Е в эВ. Используя подходящее программное обеспечение (рекомендовано MS Excel), вычислите те же параметры методом наименьших квадратов [4] и сравните с предыдущими значениями.

Содержание отчета

В отчете следует привести расчетные формулы, дать таблицу

экспериментальных данных, начертить экспериментальные графики

в обычном и функциональном масштабах, а также вычислить R0 и Е.

Контрольные вопросы

графика непосредственно давала значение Е?

3.Должны ли совпадать графики температурной зависимости сопротивления при нагреве и при охлаждении полупроводника (в одном и том же диапазоне температур).

4.Чему равен 1 эВ в джоулях?

26

4. Экспериментальная проверка законов Кирхгофа

Цель работы: непосредственная проверка первого и второго законов

(правил) Кирхгофа для двухконтурной схемы с двумя источниками;

закрепление навыков измерения электрических величин, полученных

в предыдущих работах.

Вопросы для допуска к выполнению работы

1.Сформулируйте 1 и 2 закон Кирхгофа.

2.Чему равно эквивалентное ЭДС и внутреннее сопротивление для

набора последовательно соединенных источников?

3.Как вывести закон Ома для полной цепи из правил Кирхгофа?

Краткие сведения из теории

Законы Кирхгофа содержат полный набор уравнений, связываю-

щих токи, напряжения и электродвижущие силы в любой электрической цепи постоянного тока [2, 5]. Если задана структура электрической цепи, и известны параметры всех ее элементов (источников и сопротивлений), то законы Кирхгофа порождают систему линейных

В этой формуле входящие токи берутся со знаком «плюс», а выходя-

щие — со знаком «минус».

Второй закон Кирхгофа сводится к утверждению: «в любом замкнутом контуре электрической цепи (с выбранным направлением обхода) сумма падений напряжений равна сумме ЭДС»

В формуле (4.2) падение напряжения RiIi на элементе контура берется со знаком «плюс», если направление тока Ii совпадает с выбранным направлением обхода контура, в противном случае —

со знаком «минус». То же самое относится к знаку ЭДС в правой части формулы (4.2).

27

Применим эти законы к электрической цепи, изображенной на

рисунке 4.1. В схеме источники ЭДС можно считать идеальными, а их

внутренние сопротивления включить в сопротивления R1, R2.

Рис. 4.1. Принципиальная схема экспериментальной установки

Выберем два независимых контура, содержащие по отдельности

ЭДС E1 и E2 соответственно. Используя формулы (4.1) и (4.2) с вы-

бранным на рисунке 4.1 направлением тока, получим систему уравнений Кирхгофа для данной цепи:

Решение этой системы уравнений имеет вид

На основе формул (4.4)–(4.6) легко вычислить параметры состав-

ных источников, представленных на рисунке 4.2.

28

Рис. 4.2. Последовательное и параллельное соединение отдельных источников

При последовательном соединении источников их ЭДС и внут-

ренние сопротивления складываются, что дает для эквивалентного

источника:

Таким образом, имея набор элементарных источников с ЭДС E0,

можно получить составной источник с ЭДС с ЭДС nE0 (n = 2, 3, …).

Такие батареи элементов широко применяются на практике.

Следует отметить, что при соединении источников по типу

«плюс одного к минусу другого» оба значения ЭДС в формуле (4.7) берутся со знаком «плюс». В обратном случае одно из ЭДС берется со знаком «минус».

Задания и указания к их выполнению

Основная цель работы — проверить, насколько адекватно «работают» теоретические формулы при описании реальных электрических схем. При выполнении измерений самостоятельно определите, в каких местах схемы и какие приборы следует подключить. В качестве сопротивлений R1, R2, R12 рекомендуется взять магазины сопротивле-

ний. Магазин сопротивлений — набор переключаемых сопротивлений, величины которых известны с достаточно высокой точностью.

1.С помощью алгоритма, описанного в работе 1, измерьте ЭДС E1 и E2 и внутренние сопротивления источников.

2.Соберите схему, соответствующую рисунку 4.1, но без сопро-

тивления R12. Измерьте ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного (составного) источника при последовательном и встречном

соединении источников E1 и E2. Последовательное соединение соответствует подключению «плюс одного к минусу другого», встречное — наоборот. Проверьте выполнение формул (4.7).

3.Соберите схему, соответствующую рисунку 4.1 (с сопротивле-

нием R12), вставив в каждую ветвь цепи независимый амперметр. При

выборе полярности подключения амперметров необходимо учесть,

29

что реальные направления токов могут не соответствовать направле-

ниям, принятым на рисунке 4.1. Поскольку обычно внутренние со-

противления источников невелики (порядка 1 Ома), рекомендуется

выбирать сопротивления R1, R2, R12 в диапазоне 500–2000 Ом.

В противном случае их следует учесть при вычислениях по точным

формулам.

4.Собрав полную схему, проведите измерения токов I1, I2, I12

вцепи. Заполните таблицу 4.1, взяв несколько различных комбинаций

сопротивлений R1, R2, R12. В качестве этих сопротивлений следует

взять магазины сопротивлений.

Таблица 4.1

Сначала проведите измерения при последовательном, а затем встречном соединении источников E1 и E2.

Последние три столбца заполняются значениями, вычисленными по точным формулам (4.4)–(4.6), полученным из законов Кирхгофа.

Содержание отчета

В отчете следует привести расчетные формулы, подробные электрические схемы для каждого задания, привести полностью заполненную таблицу 4.1. На основании этой таблицы сделать выводы о применимости законов Кирхгофа.

Контрольные вопросы

1.Как изменятся уравнения Кирхгофа (4.3), если добавить в схему

ЭДС E12 в центральный участок?

2.Как выглядит закон Ома для участка цепи, содержащий сопротивление и ЭДС?

3.Сформулируйте законы последовательного и параллельного со-

единений проводников и ЭДС.

4.Запишите условие, при котором ток через сопротивление R12 равен нулю.

30