Электрические и магнитные свойства вещества. Учебно-методическое пособие

Таким образом, модуль вектора поляризации равен поверхностной плотности связанного заряда. Учитывая также, что поверхностная плотность свободного заряда в рассматриваемом примере равна модулю вектора электрической индукции, можно соотношение (1.7) преобразовать в соотношение

В изотропном диэлектрике все три вектора ( , , ) коллинеарны друг другу, что позволяет обобщить скалярное соотношение (1.9) на векторное соотношение

Оказывается, что формула (1.10) справедлива и для анизотропных диэлектриков, только все три вектора в этом случае оказываются неколлинеарными друг другу.

Рассмотрим более подробно механизмы индуцированной и ориентационной поляризации диэлектриков.

§ 1.2. Индуцированная поляризация

Формула (1.1), призванная описывать зависимость индуцированного дипольногомомента молекулнеполярногодиэлектрикаотнапряженностиэлектрического поля в этом диэлектрике, имеет весьма ограниченную область применения.Дело втом, что формула(1.1)исходитизпредположенияо тождественности электрического поля, действующего на молекулу (это поле называют также локальным), и среднего электрического поля внутри диэлектрика. Однако в общем случае это не так. Объясняется это тем, что сам диэлектрик, окружающий рассматриваемую молекулу, во внешнем электрическом поле становится источником дополнительного электрического поля. Учтем это обстоятельство следую-

11

щим образом. Будем рассматривать молекулу в диэлектрике как частицу, находящуюся в центре сферической полости, вырезанной в сплошной однородной диэлектрической среде (рис. 1.4). Размеры полости физически малы. Если диэлектрик помещен в электрическое поле, то на поверхности сферической полости появятся связанные заряды, которые и создадут дополнительное электрическое поле ′. В результате действующее на молекулу электрическое поле (локальное поле) будет равно л

Рис. 1.4. Образование связанных зарядов на поверхности полости внутри диэлектрика

Для расчета дополнительного электрического поля определим поверхностную плотность связанного заряда на границе сферической полости. Выберем систему координат таким образом, чтобы направление оси z совпадало с направлением внешнего электрического поля и, соответственно, с направлением вектора поляризации в диэлектрике. Нам известно (см. предыдущий параграф), что когда силовые линии электрического поля перпендикулярны границе раздела диэлектрика, то модуль вектора поляризации равен поверхностной плотности связанного заряда. Ясно, что когда вектор поляризации диэлектрика направлен вдоль

12

оси z вверх, то верхняя часть сферической полости имеет отрицательный связанный заряд, а нижняя часть — положительный (см. рис. 1.4). При изменении углаот 0 до π величина σ* плавно изменяет свое значение от –Р до Р. Поскольку нормальная составляющая вектора поляризации к поверхности сферической полости определяется величиной , то можем записать

Заряд, находящийся на сферическом сегменте, будет равен

Этот заряд создает в точке О результирующую напряженность дополнительного электрического поля (вклад дают только проекции поля на ось z), направленную вдоль оси z и равную

Интегрируя по от 0 до π, получим

13

Выражение (1.16) для дополнительного электрического поля, действующего со стороны ближайшего окружения на молекулу в диэлектрике, было впервые получено Х. Лоренцем (поле Лоренца). Таким образом, локальное поле, действующее на молекулу в диэлектрике, равно

Заменимвформулах(1.1)и(1.4)среднееэлектрическоеполевдиэлектрике на локальное поле и получим (в скалярном виде)

После несложных преобразований формула (1.20) принимает вид:

14

Соотношение (1.21) называется формулой Клаузиуса — Мосотти2. Из этой формулы следует, что диэлектрическая проницаемость неполярных диэлектриков зависит от плотности и практически не зависит от температуры. Если плотность диэлектрика мала (n → 0, т. е. ε → 1, что справедливо для газообразных диэлектриков), формула (1.21) преобразуется к виду

Но соотношение (1.22) непосредственно вытекает из формул (1.4) и (1.1), то есть в предположении, что среднее электрическое поле в диэлектрике совпадаетслокальнымэлектрическимполем.Такимобразом,мыустановили,чтополе Лоренца можно не учитывать при описании процесса поляризации только в газообразных диэлектриках. При описании поляризационных процессов в конденсированных диэлектриках следует пользоваться формулой (1.21).

§1.3. Ориентационная поляризация

Уполярных диэлектриков (например, газообразного СО, жидкого Н2О, твердого KСl и т. п.) молекулы обладают дипольным моментом в исходном состоянии, то есть до приложения внешнего электрического поля. Характерная величина дипольного момента полярных молекул ~10–29 Кл м(так как q ~ 10–19 Кл,

l ~ 1 А= 10–10 м). Во внешнем электрическом поле диполь приобретает потенциальную энергию (( ) = − = − cos), зависящую от ориентации диполя в пространстве. Используя элементарные сведения из статистической физики, покажем, что зависимость ( )ведет к появлению отличного от нуля результирующего дипольного момента единицы объема диэлектрика (т. е. к появлению поляризации).

Выберем в пространстве телесный угол Ω, который ограничен коническими поверхностями с углами (относительно оси z) от до + . Величина этого угла, с учетом (1.13), равна

2 Р. Клаузиус (1822–1888) — немецкий физик, О. Мосотти (1791–1863) — итальянский физик.

15

Все полярные молекулы, вектор дипольного момента которых попадает в этот телесный угол, характеризуются одинаковой величиной проекции дипольного момента на ось z ( = cos ). Количество же молекул dN, у которых дипольный момент находится внутри телесного угла Ω, пропорционально этому

углу,атакжебольцмановскомумножителюexp − .Последний,какизвестно,

описывает распределение молекул по энергии во внешнем силовом поле. Таким образом, в рамках классической статистики с учетом (1.23) имеем

где А’ — коэффициент пропорциональности, определяемый из условия нормировки:

Среднее значение проекции дипольного момента молекул на ось z будет равно:

где

1(α) = α −α

— функция Ланжевена3.

Проанализируем полученное решение. В области низких электрических полей (pE << kT) функция Ланжевена описывается приближенным выражением, которое получается при замене экспонент, фигурирующих в гиперболическом

котангенсе, первыми четырьмя членами разложения в ряд ± ≈ 1±α+ α ±

α :

Перепишем (1.26) с учетом (1.27), т. е. при pE << kT:

3 Эта функция впервые появилась в работах французского физика П. Ланжевена (1872–1946), посвященных разработке теории намагничивания парамагнетиков (см. § 2.3), еще в 1905 году. В теории полярных диэлектриков (созданной в 1912 году) эту функцию использовал П. Дебай (1884–1966), который родился в Голландии, жил и работал в Германии, Швейцарии, США.

17

Нетрудно убедиться, что в области сильных электрических полей (pE >> kT) среднее значение проекции дипольного момента полярных молекул на ось z стремится к p (поскольку асимптотой L(α) при α >> 1 является единица).

Из соображений симметрии ясно, что средние значения проекции дипольного момента на оси x и y равны нулю, поэтому результирующий дипольный момент единицы объема диэлектрика (т. е. модуль вектора поляризации) в случае

где n — концентрация полярных молекул с постоянным дипольным моментом p. Полевая зависимость модуля вектора поляризации в полярном диэлектрике приведена на рис. 1.5 — в области низких полей она практически линейна (см. (1.29)), а в области сильных полей выходит на насыщение. Если провести оценки длякомнатнойтемпературыиреальныхзначений дипольныхмоментовмолекул, то оказывается, что насыщение может быть достигнуто при полях порядка 108 В/м, что практически недостижимо, так как значительно раньше наступает электрический пробой диэлектрика. Таким образом, на практике, как правило, реализуется ситуация, когда модуль вектора поляризации пропорционален напряженности приложенного электрического поля и обратно пропорционален абсолютной температуре диэлектрика.

P n

Рис. 1.5. Зависимость поляризации полярного диэлектрика от напряженности приложенного поля

18

Строго говоря, выражение (1.29) справедливо только для газообразных диэлектриков, у которых локальное (действующее) электрическое поле практически совпадает со средним электрическим полем в диэлектрике. В этом случае,

согласно (1.9) и (1.29),

откуда получаем

где

α= 3

можно трактовать как эффективную ориентационную поляризуемость молекул полярного диэлектрика.

В действительности полярные молекулы в электрическом поле не только ориентируются, но и деформируются, то есть приобретают индуцированные дипольные моменты.

Поляризуемость молекул диэлектрика в этом случае складывается из ори-

Оценки, проведенные для реальных диэлектриков, показывают, что деформационная часть обычно на один-два порядка меньше ориентационной части поляризуемости молекул.

Учет поля Лоренца при определении действующего электрического поля позволяет получить формулу, связывающую диэлектрическую проницаемость

19

с параметрами молекул в полярном диэлектрике, которая применима и к конденсированным диэлектрикам:

— формула Дебая — Ланжевена.

P

1

2

T

Рис. 1.6. Зависимость индуцированной (1) и ориентационной (2) поляризации диэлектрика от температуры

Сравнение индуцированной и ориентационной поляризаций диэлектрика показывает, что эти два механизма поляризации легко различить по температурной зависимости модуля вектора поляризации (в первом случае Р практически не зависит от температуры, а во втором случае наблюдается обратно пропорциональная зависимость (см. рис. 1.6).

§ 1.4. Пьезо-, пиро- и сегнетоэлектрики

Кристаллические диэлектрики, в которых при механическом сжатии или растяжениивопределенныхнаправленияхвозникаетэлектрическаяполяризация (в отсутствии внешних электрических полей) называются пьезоэлектриками, а сам эффект — прямым пьезоэффектом. Между поляризацией и механическим напряжением у пьезоэлектриков наблюдается линейная зависимость (чем больше механическое воздействие, тем больше поверхностная плотность связанного заряда). Изменение знака механического напряжения (сжатие на растяже-

20